课前预习
|序号|基础知识|
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|1|一元二次方程的概念
(1)方程的两边都是，只含有，并且，这样的方程叫作一元二次方程；
(2)一元二次方程必须同时满足三个条件、、。|
|2|一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是。其中、、分别叫作这个方程的二次项、一次项和常数项，，分别叫作二次项系数和一次项系数。|
|3|一元二次方程的根
使一元二次方程就是这个方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。|
困惑疑问：

1.(1)整式 一个未知数 整理后未知数的最高次数是2
(2)方程两边都是整式 只含有一个未知数 整理后未知数的最高次数是2
2.$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ $ax^2$ $bx$ $c$ $a$ $b$
3.左右两边相等的未知数的值

【分析】
本题考查一元二次方程的相关基础概念，解题时紧扣概念的核心要素逐一对应填空即可：
1. 回忆一元二次方程的定义，明确定义包含的三个核心要素，即可完成第1题的两个小问；
2. 回忆一元二次方程的一般形式，注意二次项系数不为0的限制条件，再区分二次项、一次项、常数项及对应系数，完成第2题；
3. 结合方程解的通用定义，对应一元二次方程的特点即可完成第3题。
【解析】
1. (1) 根据一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程，因此三个空依次对应填整式、一个未知数、整理后未知数的最高次数是2；
(2) 一元二次方程的三个必要条件是定义拆分出的三个核心要求，即：方程两边都是整式、只含有一个未知数、整理后未知数的最高次数是2；
2. 一元二次方程的一般形式是$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$，其中次数为2的$ax^2$是二次项，次数为1的$bx$是一次项，不含未知数的$c$是常数项；二次项的系数$a$叫作二次项系数，一次项的系数$b$叫作一次项系数，要求$a≠0$是为了保证方程的最高次数为2，符合二次方程的要求；
3. 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根，因此对应填左右两边相等的未知数的值。
【答案】
1.(1)整式 一个未知数 整理后未知数的最高次数是2
(2)方程两边都是整式 只含有一个未知数 整理后未知数的最高次数是2
2.$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$ $ax^2$ $bx$ $c$ $a$ $b$
3.左右两边相等的未知数的值
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是学习一元二次方程相关知识的入门内容，掌握这些基础概念是后续学习一元二次方程解法、实际应用的前提，要特别注意一元二次方程一般形式中$a≠0$的限制条件，这是常见的易错点。
【难度系数】
0.9

思考 1. 一元二次方程定义的三要素是什么？

1.方程两边都是整式，只含有一个未知数，整理后未知数的最高次数是2。

【分析】
本题考查一元二次方程定义的核心要素，解题时可通过拆分“一元二次方程”的名称关键词逐步推导：①首先明确方程的属性，需为整式方程，即两边都为整式；②“一元”对应未知数的数量要求，仅含1个未知数；③“二次”对应未知数的次数要求，需注意是整理合并同类项后的最高次数为2，三者缺一不可，由此即可梳理出三个要素。
【解析】
结合一元二次方程的定义，逐一明确三要素：
1. 从方程类型来看，一元二次方程属于整式方程，因此方程两边都必须是整式，不得含有分母含未知数、被开方数含未知数的式子；
2. 从未知数个数来看，“一元”即方程中只含有一个未知数；
3. 从未知数的最高次数来看，方程经过去括号、移项、合并同类项等整理操作后，未知数的最高次数为2。
以上三个要素必须同时满足，才属于一元二次方程。
【答案】
方程两边都是整式，只含有一个未知数，整理后未知数的最高次数是2。
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，是学习一元二次方程相关内容的入门知识点，需准确牢记三要素，判断某方程是否为一元二次方程时，要先对方程进行整理，再结合三要素判断，避免被原式的表面形式误导。
【难度系数】
0.9

1. 下列方程中属于一元二次方程的是()。

A.$2(x+1)^2 = x+1$
B.$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$
C.$ax^2 + bx + c = 0$
D.$x(x+3) = x^2 - 2$

A

【分析】
解答本题首先要明确一元二次方程的判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2；④二次项系数不为0。接下来我们只需要逐个验证每个选项是否同时满足这几个条件，即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。
逐个分析选项：
选项A：对$2(x+1)^2 = x+1$整理，展开左边得$2(x^2+2x+1)=x+1$，移项合并同类项得$2x^2+3x+1=0$，满足一元二次方程的所有条件，符合要求；
选项B：$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$的分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，排除；
选项C：$ax^2 + bx + c = 0$未说明$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数不是2，不符合要求，排除；
选项D：对$x(x+3) = x^2 - 2$整理，左边展开得$x^2+3x$，移项合并同类项得$3x+2=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握一元二次方程的判定条件，尤其要注意不要忽略“二次项系数不为0”“是整式方程”这两个容易出错的隐含条件。
【难度系数】
0.8

2.下列方程:①$(x-1)(x-3)=x^2$;②$(x-1)^2+y^2=2$;③$x^2=2$;④$ax^2+bx+c=0$($a≠0$),其中是一元二次方程的有(填序号)。

③④

【分析】
要解决这道题，首先需要牢记一元二次方程的3个判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。接下来我们对给出的4个方程逐一核对这3个条件，就能筛选出符合要求的一元二次方程。
【解析】
我们先明确一元二次方程的判定规则，再逐个判断：
1. 处理方程①：将左边展开得$x^2 - 4x + 3 = x^2$，移项化简后得到$-4x + 3 = 0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
2. 分析方程②：方程中同时含有x、y两个未知数，属于二元方程，不满足“只含一个未知数”的要求，不符合；
3. 分析方程③：$x^2 = 2$只含有未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
4. 分析方程④：已经明确给出条件$a≠0$，即二次项系数不为0，该式是一元二次方程的一般形式，符合要求。
综上，是一元二次方程的为③④。
【答案】
③④
【知识点】
1. 一元二次方程的判定
2. 一元二次方程的一般形式
3. 整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对一元二次方程定义的理解和应用，判断时需注意先对方程化简再核对条件，尤其要关注二次项系数不为0、未知数个数这两个容易出错的点。
【难度系数】
0.9