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例题3 如图,一个无盖的长方体形盒子放在地面上,其高为9 cm,底面是边长为6 cm的正方形,一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B,那么它爬行的最短路程是多少?
（例题3）
思路分析:求长方体表面相对两点之间的最短距离,可将其相邻的两个面展开,将其转化为"两点之间的最短路径"问题,再构造直角三角形求解。
方法点拨:当长方体的长、宽、高不同时,通常有三种展开方式,沿最长的棱展开得到的路线是最短的;对于正方体,三种展开方式中,沿哪条棱展开所得的两点间的距离都相等。
（例题3）
思路分析:求长方体表面相对两点之间的最短距离,可将其相邻的两个面展开,将其转化为"两点之间的最短路径"问题,再构造直角三角形求解。
方法点拨:当长方体的长、宽、高不同时,通常有三种展开方式,沿最长的棱展开得到的路线是最短的;对于正方体,三种展开方式中,沿哪条棱展开所得的两点间的距离都相等。
答案
解:根据“两点之间线段最短”,可知在从点A到点B的路线中,线段AB最短。故需要将点A,B放到一个平面内,根据题意,有以下三种情况：
(1)如图①,由勾股定理得,$AB^2=12^2+9^2=225$；
(2)如图②,由勾股定理得,$AB^2=6^2+15^2=261$；
(3)如图③,由勾股定理得,$AB^2=6^2+15^2=261$。
因为$225＜261$,所以当$AB^2=225$,即$AB=15$ cm时,从点A爬向点B的路程最短，
所以蚂蚁爬行的最短路程是15 cm。
解析
【分析】
要求长方体表面蚂蚁从A到B的最短路程，首先明确蚂蚁只能沿盒子表面爬行，不能穿透盒子，因此要将长方体相邻的两个面展开，把立体问题转化为平面上的“两点之间线段最短”问题。由于长方体的展开方式共有3种，需要分别计算每种展开方式下A、B两点的距离，再比较大小，最小的结果就是最短路程，计算距离时使用勾股定理即可。
【解析】
解：根据“两点之间线段最短”，需将点A、B所在的相邻面展开到同一平面内，构造直角三角形利用勾股定理计算AB的长度，共有三种展开情况：
(1) 如图①，展开后直角三角形的两条直角边分别为$6+6=12\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：$AB^2=12^2+9^2=144+81=225$；
(2) 如图②，展开后直角三角形的两条直角边分别为$6\ \mathrm{cm}$、$9+6=15\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：$AB^2=6^2+15^2=36+225=261$；
(3) 如图③，展开后直角三角形的两条直角边分别为$9+6=15\ \mathrm{cm}$、$6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：$AB^2=15^2+6^2=225+36=261$。
比较三个结果可知$225＜261$，因此$AB=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$为最短路径长度。
【答案】
蚂蚁爬行的最短路程是15 cm。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，核心解题思路是将立体问题转化为平面问题求解，解题时要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免漏算导致结果错误。
【难度系数】
0.6
要求长方体表面蚂蚁从A到B的最短路程，首先明确蚂蚁只能沿盒子表面爬行，不能穿透盒子，因此要将长方体相邻的两个面展开，把立体问题转化为平面上的“两点之间线段最短”问题。由于长方体的展开方式共有3种，需要分别计算每种展开方式下A、B两点的距离，再比较大小，最小的结果就是最短路程，计算距离时使用勾股定理即可。
【解析】
解：根据“两点之间线段最短”，需将点A、B所在的相邻面展开到同一平面内，构造直角三角形利用勾股定理计算AB的长度，共有三种展开情况：
(1) 如图①，展开后直角三角形的两条直角边分别为$6+6=12\ \mathrm{cm}$、$9\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：$AB^2=12^2+9^2=144+81=225$；
(2) 如图②，展开后直角三角形的两条直角边分别为$6\ \mathrm{cm}$、$9+6=15\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：$AB^2=6^2+15^2=36+225=261$；
(3) 如图③，展开后直角三角形的两条直角边分别为$9+6=15\ \mathrm{cm}$、$6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：$AB^2=15^2+6^2=225+36=261$。
比较三个结果可知$225＜261$，因此$AB=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$为最短路径长度。
【答案】
蚂蚁爬行的最短路程是15 cm。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，核心解题思路是将立体问题转化为平面问题求解，解题时要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免漏算导致结果错误。
【难度系数】
0.6
练习3 如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B与点C之间的距离是5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短路程是多少厘米？
（练习3）
（练习3）
答案
解:根据“两点之间线段最短”,在从点A到点C的所有路径中,线段AC最短。故需要将点A和点C展开到同一平面,根据题意,有以下三种情况：
如图①,由勾股定理得,$AC^2=15^2+20^2=625$；
如图②,由勾股定理得,$AC^2=30^2+5^2=925$；
如图③,由勾股定理得,$AC^2=25^2+10^2=725$。
因为$625＜725＜925$,所以当$AC^2=625$,即$AC=25$ cm时,从点A爬到点C的路程最短,即需要爬行的最短路程是25 cm。
解析
【分析】
要解决长方体表面的最短爬行路径问题，首先明确蚂蚁只能沿长方体表面爬行，无法穿过长方体内部，因此需要将长方体的面展开，把点A和点C放到同一个平面内，根据“两点之间线段最短”，此时线段AC的长度就是对应展开方式下的路径长度。由于长方体相邻面的组合展开共有三种不同的情况，因此需要分别计算三种情况下AC的长度，再比较大小，最小的结果就是最短路程。
【解析】
要计算沿长方体表面从A到C的最短路程，需将点A、C所在的面展开到同一平面，结合勾股定理计算，共有三种展开情况：
1. 对应图①的展开方式：此时直角三角形的两条直角边分别为15cm、20cm，由勾股定理得：$AC^2=15^2+20^2=225+400=625$；
2. 对应图②的展开方式：此时直角三角形的两条直角边分别为30cm（20+10）、5cm，由勾股定理得：$AC^2=30^2+5^2=900+25=925$；
3. 对应图③的展开方式：此时直角三角形的两条直角边分别为25cm（20+5）、10cm，由勾股定理得：$AC^2=25^2+10^2=625+100=725$。
比较三个结果可得$625＜725＜925$，因此最短路径对应的$AC=\sqrt{625}=25$cm。
【答案】
需要爬行的最短路程是25厘米。
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；立体图形表面展开
【点评】
本题是典型的立体图形表面最短路径问题，解题核心是将空间立体问题转化为平面问题求解，需要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免遗漏情况得到错误的最短路径。
【难度系数】
0.6
要解决长方体表面的最短爬行路径问题，首先明确蚂蚁只能沿长方体表面爬行，无法穿过长方体内部，因此需要将长方体的面展开，把点A和点C放到同一个平面内，根据“两点之间线段最短”，此时线段AC的长度就是对应展开方式下的路径长度。由于长方体相邻面的组合展开共有三种不同的情况，因此需要分别计算三种情况下AC的长度，再比较大小，最小的结果就是最短路程。
【解析】
要计算沿长方体表面从A到C的最短路程，需将点A、C所在的面展开到同一平面，结合勾股定理计算，共有三种展开情况：
1. 对应图①的展开方式：此时直角三角形的两条直角边分别为15cm、20cm，由勾股定理得：$AC^2=15^2+20^2=225+400=625$；
2. 对应图②的展开方式：此时直角三角形的两条直角边分别为30cm（20+10）、5cm，由勾股定理得：$AC^2=30^2+5^2=900+25=925$；
3. 对应图③的展开方式：此时直角三角形的两条直角边分别为25cm（20+5）、10cm，由勾股定理得：$AC^2=25^2+10^2=625+100=725$。
比较三个结果可得$625＜725＜925$，因此最短路径对应的$AC=\sqrt{625}=25$cm。
【答案】
需要爬行的最短路程是25厘米。
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；立体图形表面展开
【点评】
本题是典型的立体图形表面最短路径问题，解题核心是将空间立体问题转化为平面问题求解，需要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免遗漏情况得到错误的最短路径。
【难度系数】
0.6
