登录
例题1 如图，牧童在点A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别是AC=200 m，BD=100 m，CD=400 m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，所走的最短路程是
（例题1）
思路分析：利用轴对称的性质将“线段和最短”的问题转化成“两点之间线段最短”的问题，确定最短路径，然后构造直角三角形，根据勾股定理，求出最短路程。
方法点拨：(1)“线段和最短”的问题，往往需要利用轴对称的性质，将其转化成两点间线段长度的问题；(2)线段长度的确定，可以通过建模，构造直角三角形，利用勾股定理来求解。
500
m。（例题1）
思路分析：利用轴对称的性质将“线段和最短”的问题转化成“两点之间线段最短”的问题，确定最短路径，然后构造直角三角形，根据勾股定理，求出最短路程。
方法点拨：(1)“线段和最短”的问题，往往需要利用轴对称的性质，将其转化成两点间线段长度的问题；(2)线段长度的确定，可以通过建模，构造直角三角形，利用勾股定理来求解。
答案
解析:如图，作点A关于河岸CD的对称点A'，连接A'，B，交CD于点P，连接AP。根据题意，当把牛牵到河边P处饮水后回家，所走路程最短，即AP+BP最短。根据轴对称的性质，可知AP=A'P，于是AP+BP=A'P+BP=A'B，结合图示，构造直角三角形A'BE，且易得BE=100+200=300(m)，A'E=CD=400 m，由勾股定理得，A'B=500 m，所以把牛牵到河边的点P处饮水后回家所走的路程最短，最短路程是500 m。
解析
【分析】
要解决牧童从A处牵牛到河边饮水再回家的最短路程问题，首先明确A、B在河岸CD同侧，直接连接AB无法和河岸相交得到最短路径，因此需要用轴对称转化：作点A关于CD的对称点A'，根据轴对称性质，河岸上任意点P到A的距离等于到A'的距离，那么总路程AP+BP就转化为A'P+BP，根据“两点之间线段最短”，A'P+BP的最小值就是线段A'B的长度，接下来构造直角三角形，用勾股定理计算A'B的长度即可得到最短路程。
【解析】
1. 作点A关于河岸CD的对称点A'，连接A'B交CD于点P，连接AP，此时P为最优饮水点，总路程AP+BP最短。
2. 由轴对称的性质可得AP=A'P，因此总路程$AP+BP=A'P+BP=A'B$。
3. 过点A'作A'E⊥BD，交BD的延长线于点E，得到Rt△A'EB：
水平边$A'E=CD=400\ \mathrm{m}$；
竖直边$BE=BD+DE=BD+A'C=BD+AC=100+200=300\ \mathrm{m}$。
4. 根据勾股定理，在Rt△A'EB中：
$A'B=\sqrt{A'E^2+BE^2}=\sqrt{400^2+300^2}=\sqrt{250000}=500\ \mathrm{m}$。
【答案】
500 m
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的基础题型，核心考查了轴对称的转化思想，将同侧两点的路径和最值问题转化为异侧两点间线段长度问题，再结合勾股定理计算线段长度，掌握这类转化思路是解决同类最值问题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决牧童从A处牵牛到河边饮水再回家的最短路程问题，首先明确A、B在河岸CD同侧，直接连接AB无法和河岸相交得到最短路径，因此需要用轴对称转化：作点A关于CD的对称点A'，根据轴对称性质，河岸上任意点P到A的距离等于到A'的距离，那么总路程AP+BP就转化为A'P+BP，根据“两点之间线段最短”，A'P+BP的最小值就是线段A'B的长度，接下来构造直角三角形，用勾股定理计算A'B的长度即可得到最短路程。
【解析】
1. 作点A关于河岸CD的对称点A'，连接A'B交CD于点P，连接AP，此时P为最优饮水点，总路程AP+BP最短。
2. 由轴对称的性质可得AP=A'P，因此总路程$AP+BP=A'P+BP=A'B$。
3. 过点A'作A'E⊥BD，交BD的延长线于点E，得到Rt△A'EB：
水平边$A'E=CD=400\ \mathrm{m}$；
竖直边$BE=BD+DE=BD+A'C=BD+AC=100+200=300\ \mathrm{m}$。
4. 根据勾股定理，在Rt△A'EB中：
$A'B=\sqrt{A'E^2+BE^2}=\sqrt{400^2+300^2}=\sqrt{250000}=500\ \mathrm{m}$。
【答案】
500 m
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的基础题型，核心考查了轴对称的转化思想，将同侧两点的路径和最值问题转化为异侧两点间线段长度问题，再结合勾股定理计算线段长度，掌握这类转化思路是解决同类最值问题的关键。
【难度系数】
0.7
练习1 如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值是多少？
（练习1）
（练习1）
答案
解:如图，作点C关于线段AB的对称点C'，连接C'D，交AB于点P，连接CP，BC'。
因为点C与点C'关于AB对称，
所以CC'被AB垂直平分，
所以CP=C'P，BC=BC'。
所以当CP+DP=C'P+DP=C'D时，PC+PD的值最小。
又因为BP=BP，所以△BCP≌△BC'P(SSS)，
所以∠CBA=∠C'BA=45°，所以∠C'BC=90°。
在Rt△BDC'中，BD=3，BC'=4，由勾股定理得
DC'²=BD²+BC'²=3²+4²=25=5²，
所以DC'=5。所以PC+PD的最小值是5。
解析
【分析】
这是典型的“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：首先明确动点P在直线AB上，要计算PC+PD的最小值，需用对称法把折线段转化为直线段：作定点C关于AB的对称点C'，利用轴对称性质可得PC=PC'，此时PC+PD转化为PC'+PD；再根据“两点之间线段最短”，可知当C'、P、D三点共线时，PC'+PD的最小值就是线段C'D的长度；最后结合等腰直角三角形和轴对称的性质，证明△BDC'是直角三角形，用勾股定理计算C'D的长度即可得到结果。
【解析】
解：如图，作点C关于线段AB的对称点C'，连接C'D，交AB于点P，连接CP，BC'。
∵点C与点C'关于AB对称，
∴AB垂直平分CC'，
∴CP=C'P，BC=BC'。
此时PC+PD = C'P + PD，根据两点之间线段最短，当C'、P、D三点共线时，PC+PD的值最小，最小值为C'D的长度。
又
∵BP=BP，CP=C'P，BC=BC'，
∴△BCP≌△BC'P（SSS），
∴∠C'BA=∠CBA=45°，
∴∠C'BC=∠CBA + ∠C'BA = 45°+45°=90°，即△BDC'为直角三角形。
由题意得BC=BD+DC=3+1=4，
∴BC'=BC=4，
在Rt△BDC'中，BD=3，BC'=4，由勾股定理得：
$C'D^2=BD^2+BC'^2=3^2+4^2=25$，
∴$C'D=5$。
即PC+PD的最小值是5。
【答案】
PC+PD的最小值是5。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径类问题的典型考法，核心是利用轴对称将折线段之和转化为两点之间的线段长度，再结合几何图形的性质和勾股定理计算，熟练掌握对称构造的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
这是典型的“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：首先明确动点P在直线AB上，要计算PC+PD的最小值，需用对称法把折线段转化为直线段：作定点C关于AB的对称点C'，利用轴对称性质可得PC=PC'，此时PC+PD转化为PC'+PD；再根据“两点之间线段最短”，可知当C'、P、D三点共线时，PC'+PD的最小值就是线段C'D的长度；最后结合等腰直角三角形和轴对称的性质，证明△BDC'是直角三角形，用勾股定理计算C'D的长度即可得到结果。
【解析】
解：如图，作点C关于线段AB的对称点C'，连接C'D，交AB于点P，连接CP，BC'。
∵点C与点C'关于AB对称，
∴AB垂直平分CC'，
∴CP=C'P，BC=BC'。
此时PC+PD = C'P + PD，根据两点之间线段最短，当C'、P、D三点共线时，PC+PD的值最小，最小值为C'D的长度。
又
∵BP=BP，CP=C'P，BC=BC'，
∴△BCP≌△BC'P（SSS），
∴∠C'BA=∠CBA=45°，
∴∠C'BC=∠CBA + ∠C'BA = 45°+45°=90°，即△BDC'为直角三角形。
由题意得BC=BD+DC=3+1=4，
∴BC'=BC=4，
在Rt△BDC'中，BD=3，BC'=4，由勾股定理得：
$C'D^2=BD^2+BC'^2=3^2+4^2=25$，
∴$C'D=5$。
即PC+PD的最小值是5。
【答案】
PC+PD的最小值是5。
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径类问题的典型考法，核心是利用轴对称将折线段之和转化为两点之间的线段长度，再结合几何图形的性质和勾股定理计算，熟练掌握对称构造的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
例题2 如图,有一个圆柱,底面圆的直径为$\frac{16}{π}$ cm,高BC为12 cm,点P为BC的中点,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱表面爬行到点P的最短路程为(
A.11 cm
B.12 cm
C.9 cm
D.10 cm
(例题2)
思路分析:先将圆柱的侧面展开,在平面上找到A,P两点,根据"两点之间线段最短",知AP的长度即所求,以AP为斜边构造直角三角形,利用勾股定理即可求解。
方法点拨:在所构造的直角三角形中,其中一条直角边长为圆柱底面周长的一半,另一条直角边长为线段BP的长,这条线段的长往往会与圆柱的高存在一定的关联,需结合题意进行分析。
D
)。A.11 cm
B.12 cm
C.9 cm
D.10 cm
(例题2)
思路分析:先将圆柱的侧面展开,在平面上找到A,P两点,根据"两点之间线段最短",知AP的长度即所求,以AP为斜边构造直角三角形,利用勾股定理即可求解。
方法点拨:在所构造的直角三角形中,其中一条直角边长为圆柱底面周长的一半,另一条直角边长为线段BP的长,这条线段的长往往会与圆柱的高存在一定的关联,需结合题意进行分析。
答案
解析:将圆柱的侧面展开,易得长方形如图所示,找到展开后点A,B,C,D,P的位置,易得AB=圆柱底面周长的一半=8 cm,BP=圆柱高的一半=6 cm,根据“两点之间线段最短”,可知在从点A到点P的所有路径中,线段AP最短,连接AP,易得直角三角形APB,由勾股定理得$AP^2=8^2+6^2=10^2$,所以$AP=10$ cm。
解析
【分析】
要解决圆柱表面的最短爬行路径问题，首先要将立体的圆柱侧面展开为平面图形，依据“两点之间线段最短”的原理，连接起点A和终点P的线段长度就是所求的最短路程。接下来先确定展开后构造的直角三角形的两条直角边长度：一条直角边是圆柱底面周长的一半，另一条直角边是点P到底面的垂直高度，最后用勾股定理计算线段AP的长度即可。
【解析】
1. 计算侧面展开后AB的长度：已知圆柱底面直径为$\frac{16}{π}$cm，根据圆的周长公式$C=πd$，可得底面周长为$π×\frac{16}{π}=16$cm，因此AB为底面周长的一半，即$AB=16÷2=8$cm。
2. 计算BP的长度：已知圆柱的高$BC=12$cm，点P是BC的中点，因此$BP=12÷2=6$cm。
3. 连接AP，可得Rt△ABP，其中∠ABP为直角，根据勾股定理可得：
$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$cm。
因此蚂蚁从A爬行到P的最短路程为10cm。
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型考题，核心是将立体问题转化为平面问题求解，解题的关键是准确找到展开后直角三角形的两条直角边长度，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决圆柱表面的最短爬行路径问题，首先要将立体的圆柱侧面展开为平面图形，依据“两点之间线段最短”的原理，连接起点A和终点P的线段长度就是所求的最短路程。接下来先确定展开后构造的直角三角形的两条直角边长度：一条直角边是圆柱底面周长的一半，另一条直角边是点P到底面的垂直高度，最后用勾股定理计算线段AP的长度即可。
【解析】
1. 计算侧面展开后AB的长度：已知圆柱底面直径为$\frac{16}{π}$cm，根据圆的周长公式$C=πd$，可得底面周长为$π×\frac{16}{π}=16$cm，因此AB为底面周长的一半，即$AB=16÷2=8$cm。
2. 计算BP的长度：已知圆柱的高$BC=12$cm，点P是BC的中点，因此$BP=12÷2=6$cm。
3. 连接AP，可得Rt△ABP，其中∠ABP为直角，根据勾股定理可得：
$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$cm。
因此蚂蚁从A爬行到P的最短路程为10cm。
【答案】
D
【知识点】
圆柱侧面展开图、勾股定理、最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型考题，核心是将立体问题转化为平面问题求解，解题的关键是准确找到展开后直角三角形的两条直角边长度，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
练习2如图，圆柱的底面周长是24 cm，高为25 cm，在圆柱表面有相对的A，B两点，其中点A距离下底面4 cm，点B距离上底面5 cm，则从点A到点B的最短路程是
（练习2）
20 cm
。（练习2）答案
20 cm
解析
【分析】
遇到圆柱表面两点的最短路径问题，首先要把立体图形的侧面展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”，连接两点的线段长度就是最短路程。接下来确定展开后两点的水平和竖直距离：水平距离等于圆柱底面周长的一半（因为A、B在圆柱上相对），竖直距离用圆柱总高减去A到下底的距离、B到上底的距离，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：将圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，展开得到矩形。
1. 计算水平方向距离：圆柱底面周长为24 cm，A、B两点在圆柱侧面相对，因此展开后两点的水平距离为底面周长的一半，即 $24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
2. 计算竖直方向距离：圆柱高25 cm，点A距下底面4 cm，点B距上底面5 cm，因此两点的竖直距离为 $25-4-5=16\ \mathrm{cm}$。
3. 根据勾股定理，A到B的最短路程为两点连线的长度：
$l=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心是将立体问题转化为平面问题求解，需要掌握圆柱侧面展开的特征，准确找到两点在展开图中的相对位置，再运用勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
遇到圆柱表面两点的最短路径问题，首先要把立体图形的侧面展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”，连接两点的线段长度就是最短路程。接下来确定展开后两点的水平和竖直距离：水平距离等于圆柱底面周长的一半（因为A、B在圆柱上相对），竖直距离用圆柱总高减去A到下底的距离、B到上底的距离，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
解：将圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，展开得到矩形。
1. 计算水平方向距离：圆柱底面周长为24 cm，A、B两点在圆柱侧面相对，因此展开后两点的水平距离为底面周长的一半，即 $24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
2. 计算竖直方向距离：圆柱高25 cm，点A距下底面4 cm，点B距上底面5 cm，因此两点的竖直距离为 $25-4-5=16\ \mathrm{cm}$。
3. 根据勾股定理，A到B的最短路程为两点连线的长度：
$l=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20 cm
【知识点】
圆柱侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心是将立体问题转化为平面问题求解，需要掌握圆柱侧面展开的特征，准确找到两点在展开图中的相对位置，再运用勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
