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1.如果一个正多边形的中心角是$45°$，那么这个正多边形的边数是(
A.4
B.8
C.6
D.9
B
)。A.4
B.8
C.6
D.9
答案
1.B
解析
【分析】
拿到本题，已知正多边形的中心角度数求边数，首先回忆正多边形的相关性质：正n边形的n个中心角完全相等，且所有中心角的和为周角360°，由此可推导出“正多边形边数=360°÷单个中心角的度数”的计算关系，代入题干给出的中心角度数计算即可得到答案。
【解析】
设该正多边形的边数为n。
∵正多边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角大小相等，
∴单个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$，
根据题意列等式：$\frac{360°}{n}=45°$，
解得：$n=360°÷45°=8$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形中心角性质；正多边形边数计算
【点评】
本题是基础常考题，核心考查正多边形中心角和边数的对应关系，牢记正多边形中心角总和为360°即可快速解题，属于必须得分的题型。
【难度系数】
0.9
拿到本题，已知正多边形的中心角度数求边数，首先回忆正多边形的相关性质：正n边形的n个中心角完全相等，且所有中心角的和为周角360°，由此可推导出“正多边形边数=360°÷单个中心角的度数”的计算关系，代入题干给出的中心角度数计算即可得到答案。
【解析】
设该正多边形的边数为n。
∵正多边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角大小相等，
∴单个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$，
根据题意列等式：$\frac{360°}{n}=45°$，
解得：$n=360°÷45°=8$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形中心角性质；正多边形边数计算
【点评】
本题是基础常考题，核心考查正多边形中心角和边数的对应关系，牢记正多边形中心角总和为360°即可快速解题，属于必须得分的题型。
【难度系数】
0.9
2.用直尺和圆规作圆内接正六边形ABC-DEF时,先任意作一条半径OA,再在$\odot O$上自点A起依次截取的弦等于(
A.OA
B.AB
C.OB
D.CD
A
)。A.OA
B.AB
C.OB
D.CD
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确圆内接正六边形的核心特征：正六边形的每条边对应的中心角相等，且边长和外接圆半径存在特殊关系。首先计算正六边形的中心角：正六边形有6条边，对应圆心角总和为360°，因此单个中心角为360°÷6=60°。若截取的弦长等于半径OA，那么弦与两端的半径可构成等边三角形，恰好对应60°的中心角，依次截取6次就能将圆六等分，顺次连接等分点即可得到正六边形，由此可判断需截取的弦长。
【解析】
步骤1：计算圆内接正六边形的中心角
正六边形的中心角总和为周角360°，共6个相等的中心角，因此每个中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
步骤2：分析弦长与半径的关系
若在$\odot O$上截取的弦长等于半径OA，那么弦的两个端点与圆心O连接后，得到的三角形三边均等于OA，为等边三角形，对应的圆心角恰好为60°，与正六边形的中心角相等。
步骤3：验证作图逻辑
自点A起依次截取等于OA的弦，共截取6次即可将$\odot O$六等分，顺次连接六个等分点即可得到圆内接正六边形ABCDEF，因此需截取的弦等于OA。
【答案】
A
【知识点】
圆内接正六边形性质；等边三角形判定；正多边形中心角计算
【点评】
本题考查圆内接正六边形的基础性质，是尺规作正六边形的核心依据，只需牢记“圆内接正六边形的边长等于外接圆半径”这一关键结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确圆内接正六边形的核心特征：正六边形的每条边对应的中心角相等，且边长和外接圆半径存在特殊关系。首先计算正六边形的中心角：正六边形有6条边，对应圆心角总和为360°，因此单个中心角为360°÷6=60°。若截取的弦长等于半径OA，那么弦与两端的半径可构成等边三角形，恰好对应60°的中心角，依次截取6次就能将圆六等分，顺次连接等分点即可得到正六边形，由此可判断需截取的弦长。
【解析】
步骤1：计算圆内接正六边形的中心角
正六边形的中心角总和为周角360°，共6个相等的中心角，因此每个中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
步骤2：分析弦长与半径的关系
若在$\odot O$上截取的弦长等于半径OA，那么弦的两个端点与圆心O连接后，得到的三角形三边均等于OA，为等边三角形，对应的圆心角恰好为60°，与正六边形的中心角相等。
步骤3：验证作图逻辑
自点A起依次截取等于OA的弦，共截取6次即可将$\odot O$六等分，顺次连接六个等分点即可得到圆内接正六边形ABCDEF，因此需截取的弦等于OA。
【答案】
A
【知识点】
圆内接正六边形性质；等边三角形判定；正多边形中心角计算
【点评】
本题考查圆内接正六边形的基础性质，是尺规作正六边形的核心依据，只需牢记“圆内接正六边形的边长等于外接圆半径”这一关键结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.用等分圆周的方法，画一个圆的内接正十边形，则相邻等分点之间的弧所对的圆心角度数为
$36°$
。答案
3.$36°$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确圆的内接正十边形的构造本质：是将圆周平均分成10等份，每段等弧对应的圆心角就是所求的角度。我们知道整个圆周对应的圆心角是周角360°，且等分后每段弧对应的圆心角度数相等，因此用周角总度数除以等分数，即可得到单个圆心角的度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角为周角，度数为360°，
圆的内接正十边形需要将圆等分为10份，相邻等分点之间的弧所对的圆心角度数相等，
∴ 相邻等分点之间的弧所对的圆心角度数为：$360° ÷ 10 = 36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
1.正多边形与圆的关系
2.正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是掌握正$n$边形的中心角计算公式$\frac{360°}{n}$，理解正多边形和等分圆周的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先明确圆的内接正十边形的构造本质：是将圆周平均分成10等份，每段等弧对应的圆心角就是所求的角度。我们知道整个圆周对应的圆心角是周角360°，且等分后每段弧对应的圆心角度数相等，因此用周角总度数除以等分数，即可得到单个圆心角的度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角为周角，度数为360°，
圆的内接正十边形需要将圆等分为10份，相邻等分点之间的弧所对的圆心角度数相等，
∴ 相邻等分点之间的弧所对的圆心角度数为：$360° ÷ 10 = 36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
1.正多边形与圆的关系
2.正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是掌握正$n$边形的中心角计算公式$\frac{360°}{n}$，理解正多边形和等分圆周的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.9
1. 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为 $ r $ 的 $ \odot O $ 六等分，依次得到 $ A,B,C,D,E,F $ 六个分点；②分别以点 $ A,D $ 为圆心，$ AC $ 长为半径画弧，$ G $ 是两弧的一个交点；③连接 $ OG $，以 $ OG $ 长为半径，从点 $ A $ 开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分。顺次连接这些等分点构成的多边形面积为多少？大臣给出的正确答案应是(
A.$ r^2 $
B.$ 2r^2 $
C.$ 3r^2 $
D.$ 4r^2 $
①将半径为 $ r $ 的 $ \odot O $ 六等分，依次得到 $ A,B,C,D,E,F $ 六个分点；②分别以点 $ A,D $ 为圆心，$ AC $ 长为半径画弧，$ G $ 是两弧的一个交点；③连接 $ OG $，以 $ OG $ 长为半径，从点 $ A $ 开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分。顺次连接这些等分点构成的多边形面积为多少？大臣给出的正确答案应是(
B
)。A.$ r^2 $
B.$ 2r^2 $
C.$ 3r^2 $
D.$ 4r^2 $
答案
1.B
解析
【分析】
解题时我们按照作图步骤逐步推导：首先利用圆六等分的性质求出AC的长度，再结合等腰三角形性质和勾股定理求出OG的长度，接着根据OG的长度判断以OG为边长在圆周上截取得到的正多边形的边数，最后计算该正多边形的面积即可。
【解析】
1. 求AC的长度：
将$\odot O$六等分，相邻分点对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此$∠ AOC=2×60°=120°$。过O作$OH⊥ AC$于H，在$Rt△ AOH$中，$OA=r$，$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$，则$AH=OA·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，故$AC=2AH=\sqrt{3}r$。
2. 求OG的长度：
由作图可知$AG=DG=AC=\sqrt{3}r$，AD是$\odot O$的直径，O为AD中点，根据等腰三角形三线合一，得$OG⊥ AD$。在$Rt△ AOG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{AG^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{3}r)^2-r^2}=\sqrt{2}r$。
3. 判断正多边形的形状：
以$OG=\sqrt{2}r$为边长在$\odot O$上截取，设该边对应的圆心角为$θ$，在边长为$r、r、\sqrt{2}r$的三角形中，满足$r^2+r^2=(\sqrt{2}r)^2$，因此该三角形是等腰直角三角形，$θ=90°$。正多边形的边数为$\frac{360°}{90°}=4$，即得到的是边长为$\sqrt{2}r$的正方形。
4. 计算正方形面积：
$S=(\sqrt{2}r)^2=2r^2$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题结合趣味尺规作图考查正多边形和圆的相关性质，解题核心是按照作图步骤逐步推导边长和圆心角，最终确定正多边形的类型，需要熟练掌握圆的性质、勾股定理以及正多边形的相关计算。
【难度系数】
0.6
解题时我们按照作图步骤逐步推导：首先利用圆六等分的性质求出AC的长度，再结合等腰三角形性质和勾股定理求出OG的长度，接着根据OG的长度判断以OG为边长在圆周上截取得到的正多边形的边数，最后计算该正多边形的面积即可。
【解析】
1. 求AC的长度：
将$\odot O$六等分，相邻分点对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此$∠ AOC=2×60°=120°$。过O作$OH⊥ AC$于H，在$Rt△ AOH$中，$OA=r$，$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$，则$AH=OA·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，故$AC=2AH=\sqrt{3}r$。
2. 求OG的长度：
由作图可知$AG=DG=AC=\sqrt{3}r$，AD是$\odot O$的直径，O为AD中点，根据等腰三角形三线合一，得$OG⊥ AD$。在$Rt△ AOG$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{AG^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{3}r)^2-r^2}=\sqrt{2}r$。
3. 判断正多边形的形状：
以$OG=\sqrt{2}r$为边长在$\odot O$上截取，设该边对应的圆心角为$θ$，在边长为$r、r、\sqrt{2}r$的三角形中，满足$r^2+r^2=(\sqrt{2}r)^2$，因此该三角形是等腰直角三角形，$θ=90°$。正多边形的边数为$\frac{360°}{90°}=4$，即得到的是边长为$\sqrt{2}r$的正方形。
4. 计算正方形面积：
$S=(\sqrt{2}r)^2=2r^2$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题结合趣味尺规作图考查正多边形和圆的相关性质，解题核心是按照作图步骤逐步推导边长和圆心角，最终确定正多边形的类型，需要熟练掌握圆的性质、勾股定理以及正多边形的相关计算。
【难度系数】
0.6
2. 下列关于用尺规等分圆周的说法中，正确的个数有(
①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
)。①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查尺规等分圆周的相关判断，解题核心是明确等分圆周的本质：将360°的周角平均分成n份，每份圆心角为$\frac{360°}{n}$，对应弧长、弦长均相等，我们只需逐一验证4个说法对应的圆心角度数是否符合等分要求即可。
【解析】
我们结合圆心角、弦、弧的对应关系逐一判断：
1. 验证①：弦长等于半径时，弦与两条半径构成等边三角形，对应圆心角为$60°$，$360°÷60°=6$，因此依次截取等于半径的弦可六等分圆，①正确。
2. 验证②：两条相互垂直的直径将周角分成4个$90°$的圆心角，$360°÷90°=4$，因此可四等分圆，②正确。
3. 验证③：六等分圆时每个相邻等分点的圆心角为$60°$，取三个不相邻的点，相邻两点间隔2个等分点，对应圆心角为$60°×2=120°$，$360°÷120°=3$，因此这三个点三等分圆，③正确。
4. 验证④：四等分圆时每条弧对应圆心角为$90°$，平分四条弧后每条弧对应圆心角为$45°$，$360°÷45°=8$，因此可八等分圆，④正确。
综上4个说法均正确，正确个数为4个。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；尺规等分圆周；圆心角弧弦的关系
【点评】
本题侧重考查等分圆周的基础原理，属于基础题型，掌握圆心角与等分份数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查尺规等分圆周的相关判断，解题核心是明确等分圆周的本质：将360°的周角平均分成n份，每份圆心角为$\frac{360°}{n}$，对应弧长、弦长均相等，我们只需逐一验证4个说法对应的圆心角度数是否符合等分要求即可。
【解析】
我们结合圆心角、弦、弧的对应关系逐一判断：
1. 验证①：弦长等于半径时，弦与两条半径构成等边三角形，对应圆心角为$60°$，$360°÷60°=6$，因此依次截取等于半径的弦可六等分圆，①正确。
2. 验证②：两条相互垂直的直径将周角分成4个$90°$的圆心角，$360°÷90°=4$，因此可四等分圆，②正确。
3. 验证③：六等分圆时每个相邻等分点的圆心角为$60°$，取三个不相邻的点，相邻两点间隔2个等分点，对应圆心角为$60°×2=120°$，$360°÷120°=3$，因此这三个点三等分圆，③正确。
4. 验证④：四等分圆时每条弧对应圆心角为$90°$，平分四条弧后每条弧对应圆心角为$45°$，$360°÷45°=8$，因此可八等分圆，④正确。
综上4个说法均正确，正确个数为4个。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆；尺规等分圆周；圆心角弧弦的关系
【点评】
本题侧重考查等分圆周的基础原理，属于基础题型，掌握圆心角与等分份数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为
$2aπ$
。答案
3.$2aπ$
解析
【分析】
解题时首先结合正六边形的性质分析：正六边形的中心到各顶点的距离等于边长a。再分析滚动过程中中心O的运动形式：六角螺帽无滑动滚动时，每滚过一条边，中心O会以当前与桌面接触的顶点为圆心、a为半径旋转一个角度，该角度等于正六边形的外角度数。正六边形共6条边，滚动一周共经历6次旋转，计算总旋转角度后即可结合弧长公式求出总路径长。
【解析】
1. 求正六边形单个外角的度数：正多边形外角和为$360°$，正六边形的6个外角都相等，因此每个外角为$\frac{360°}{6}=60°$，即每次滚动时中心旋转的角度为$60°$。
2. 计算滚动一周时中心的总旋转角度：螺帽滚动一周共经过6次旋转，总旋转角度为$6×60°=360°$，即中心运动的轨迹是半径为$a$的完整圆周。
3. 计算路径长度：根据圆的周长公式$C=2π r$，代入半径$r=a$，可得总路径长为$2π a$。
【答案】
$2aπ$
【知识点】
正多边形的性质，弧长计算，旋转的性质
【点评】
本题属于动态几何类问题，解题的核心是准确判断运动过程中中心点的轨迹特征，将复杂的运动拆解为多次旋转过程，结合正多边形和弧长相关知识求解，能很好地锻炼动态问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正六边形的性质分析：正六边形的中心到各顶点的距离等于边长a。再分析滚动过程中中心O的运动形式：六角螺帽无滑动滚动时，每滚过一条边，中心O会以当前与桌面接触的顶点为圆心、a为半径旋转一个角度，该角度等于正六边形的外角度数。正六边形共6条边，滚动一周共经历6次旋转，计算总旋转角度后即可结合弧长公式求出总路径长。
【解析】
1. 求正六边形单个外角的度数：正多边形外角和为$360°$，正六边形的6个外角都相等，因此每个外角为$\frac{360°}{6}=60°$，即每次滚动时中心旋转的角度为$60°$。
2. 计算滚动一周时中心的总旋转角度：螺帽滚动一周共经过6次旋转，总旋转角度为$6×60°=360°$，即中心运动的轨迹是半径为$a$的完整圆周。
3. 计算路径长度：根据圆的周长公式$C=2π r$，代入半径$r=a$，可得总路径长为$2π a$。
【答案】
$2aπ$
【知识点】
正多边形的性质，弧长计算，旋转的性质
【点评】
本题属于动态几何类问题，解题的核心是准确判断运动过程中中心点的轨迹特征，将复杂的运动拆解为多次旋转过程，结合正多边形和弧长相关知识求解，能很好地锻炼动态问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
4.如图,在正八边形ABCDEFGH中,若AC=2,则AE=
$2\sqrt{2}$
。答案
4.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路：正多边形的所有顶点都在同一个外接圆上，我们可以先结合正八边形的特征计算各段弧对应的中心角，判断出AE是外接圆的直径，进而得到∠ACE为直角，再结合正八边形的对称性得到AC=CE，确定△ACE是等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算AE的长度。
第一步：回忆正多边形的性质，正八边形所有顶点共外接圆，每个中心角为360°÷8=45°；
第二步：计算各弧对应的中心角，确定AE是直径，得到∠ACE=90°；
第三步：由对称性得AC=CE，用勾股定理计算斜边AE。
【解析】
解：
∵正八边形ABCDEFGH的顶点都在同一个外接圆上，
∴正八边形的每个中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
弧AC对应2个相邻边的间隔，对应中心角为$2×45°=90°$，同理弧CE对应的中心角也为$90°$，弧AE对应4个相邻边的间隔，对应中心角为$4×45°=180°$，
∴AE是外接圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACE=90°$，
由正八边形的对称性可知$AC=CE=2$，即△ACE为等腰直角三角形，
根据勾股定理：$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的常规计算题，解题的核心是利用正多边形的外接圆特征和圆周角定理快速判断三角形的形状，再结合勾股定理求解，能有效考查学生对正多边形相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路：正多边形的所有顶点都在同一个外接圆上，我们可以先结合正八边形的特征计算各段弧对应的中心角，判断出AE是外接圆的直径，进而得到∠ACE为直角，再结合正八边形的对称性得到AC=CE，确定△ACE是等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算AE的长度。
第一步：回忆正多边形的性质，正八边形所有顶点共外接圆，每个中心角为360°÷8=45°；
第二步：计算各弧对应的中心角，确定AE是直径，得到∠ACE=90°；
第三步：由对称性得AC=CE，用勾股定理计算斜边AE。
【解析】
解：
∵正八边形ABCDEFGH的顶点都在同一个外接圆上，
∴正八边形的每个中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
弧AC对应2个相邻边的间隔，对应中心角为$2×45°=90°$，同理弧CE对应的中心角也为$90°$，弧AE对应4个相邻边的间隔，对应中心角为$4×45°=180°$，
∴AE是外接圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACE=90°$，
由正八边形的对称性可知$AC=CE=2$，即△ACE为等腰直角三角形，
根据勾股定理：$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆结合的常规计算题，解题的核心是利用正多边形的外接圆特征和圆周角定理快速判断三角形的形状，再结合勾股定理求解，能有效考查学生对正多边形相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
5.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,得$\overset{\frown}{EC}$,连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为
$2π$
。答案
5.$2π$
解析
【分析】
观察可知阴影部分为以A为圆心、AC为半径的扇形，求扇形面积需先确定扇形的圆心角和半径：第一步先根据正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数；第二步结合等腰三角形的性质计算出∠BAC、∠FAE的度数，进而得到扇形的圆心角∠EAC的度数；第三步利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出半径AC的长度；最后代入扇形面积公式计算即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形，边长为2
∴正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且$AB=BC=2$
在$△ ABC$中，$AB=BC=2$，$∠ B=120°$
∴$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-120°}{2}=30°$
同理可得$∠ FAE=30°$
∴$∠ EAC=∠ FAB-∠ BAC-∠ FAE=120°-30°-30°=60°$
过点B作$BG⊥ AC$于点G，根据等腰三角形三线合一可知$AC=2AG$
在$Rt△ ABG$中，$∠ BAG=30°$，$AB=2$
∴$BG=\frac{1}{2}AB=1$，$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴$AC=2AG=2\sqrt{3}$
∴阴影部分的面积为：$S_{扇形EAC}=\frac{60°}{360°}×π×(2\sqrt{3})^2=\frac{1}{6}×π×12=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是几何阴影面积计算的常见题型，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积计算，需要熟练掌握正多边形、等腰三角形的相关性质及扇形面积公式。
【难度系数】
0.7
观察可知阴影部分为以A为圆心、AC为半径的扇形，求扇形面积需先确定扇形的圆心角和半径：第一步先根据正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数；第二步结合等腰三角形的性质计算出∠BAC、∠FAE的度数，进而得到扇形的圆心角∠EAC的度数；第三步利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出半径AC的长度；最后代入扇形面积公式计算即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形，边长为2
∴正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且$AB=BC=2$
在$△ ABC$中，$AB=BC=2$，$∠ B=120°$
∴$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-120°}{2}=30°$
同理可得$∠ FAE=30°$
∴$∠ EAC=∠ FAB-∠ BAC-∠ FAE=120°-30°-30°=60°$
过点B作$BG⊥ AC$于点G，根据等腰三角形三线合一可知$AC=2AG$
在$Rt△ ABG$中，$∠ BAG=30°$，$AB=2$
∴$BG=\frac{1}{2}AB=1$，$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴$AC=2AG=2\sqrt{3}$
∴阴影部分的面积为：$S_{扇形EAC}=\frac{60°}{360°}×π×(2\sqrt{3})^2=\frac{1}{6}×π×12=2π$
【答案】
$2π$
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是几何阴影面积计算的常见题型，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积计算，需要熟练掌握正多边形、等腰三角形的相关性质及扇形面积公式。
【难度系数】
0.7
6.如图，BC是$\odot O$的一个内接正五边形的一边，请用等分圆周的方法，在$\odot A$中用尺规作图作出一个$\odot A$的内接正五边形
（请保留作图痕迹）。
（请保留作图痕迹）。
答案
6.解:如图，①连接$OB,OC$，在$\odot A$中作$∠ EAF=∠ BOC$。②在$\odot A$上截取$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HL}=\overset{\frown}{EF}$，五边形$EFGHL$即为所求。
解析
【分析】
要作$\odot A$的内接正五边形，首先明确正五边形的所有中心角均相等，大小为$360°÷5=72°$。已知$BC$是$\odot O$内接正五边形的一边，所以它对应的中心角$∠ BOC$就是正五边形的中心角。我们可以先测量得到这个角，再将这个角复制到$\odot A$中得到第一个中心角及对应的弧，之后在$\odot A$的圆周上顺次截取和这段弧相等的弧，得到五个分点，顺次连接五个分点即可得到$\odot A$的内接正五边形。
【解析】
1. 连接$OB$、$OC$，得到$\odot O$中正五边形的中心角$∠ BOC$；
2. 用尺规作一个角等于已知角的方法，在$\odot A$中作$∠ EAF=∠ BOC$，角的两边分别交$\odot A$于点$E$、$F$；
3. 以$F$为圆心，弦$EF$的长度为半径画弧，交$\odot A$于点$G$；再以$G$为圆心，弦$EF$的长度为半径画弧，交$\odot A$于点$H$；再以$H$为圆心，弦$EF$的长度为半径画弧，交$\odot A$于点$L$，即得到$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HL}=\overset{\frown}{EF}$；
4. 顺次连接$E$、$F$、$G$、$H$、$L$，所得五边形就是$\odot A$的内接正五边形。
【答案】
如图，①连接$OB,OC$，在$\odot A$中作$∠ EAF=∠ BOC$。②在$\odot A$上截取$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HL}=\overset{\frown}{EF}$，五边形$EFGHL$即为所求。
【知识点】
正多边形与圆、作一个角等于已知角、等分圆周
【点评】
本题考查正多边形和圆的性质以及尺规作图的应用，解题核心是利用同圆内相等的中心角对应等弧、等弦的性质，将已知正五边形的中心角迁移到目标圆中再等分圆周，对学生的动手操作能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.7
要作$\odot A$的内接正五边形，首先明确正五边形的所有中心角均相等，大小为$360°÷5=72°$。已知$BC$是$\odot O$内接正五边形的一边，所以它对应的中心角$∠ BOC$就是正五边形的中心角。我们可以先测量得到这个角，再将这个角复制到$\odot A$中得到第一个中心角及对应的弧，之后在$\odot A$的圆周上顺次截取和这段弧相等的弧，得到五个分点，顺次连接五个分点即可得到$\odot A$的内接正五边形。
【解析】
1. 连接$OB$、$OC$，得到$\odot O$中正五边形的中心角$∠ BOC$；
2. 用尺规作一个角等于已知角的方法，在$\odot A$中作$∠ EAF=∠ BOC$，角的两边分别交$\odot A$于点$E$、$F$；
3. 以$F$为圆心，弦$EF$的长度为半径画弧，交$\odot A$于点$G$；再以$G$为圆心，弦$EF$的长度为半径画弧，交$\odot A$于点$H$；再以$H$为圆心，弦$EF$的长度为半径画弧，交$\odot A$于点$L$，即得到$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HL}=\overset{\frown}{EF}$；
4. 顺次连接$E$、$F$、$G$、$H$、$L$，所得五边形就是$\odot A$的内接正五边形。
【答案】
如图，①连接$OB,OC$，在$\odot A$中作$∠ EAF=∠ BOC$。②在$\odot A$上截取$\overset{\frown}{FG}=\overset{\frown}{GH}=\overset{\frown}{HL}=\overset{\frown}{EF}$，五边形$EFGHL$即为所求。
【知识点】
正多边形与圆、作一个角等于已知角、等分圆周
【点评】
本题考查正多边形和圆的性质以及尺规作图的应用，解题核心是利用同圆内相等的中心角对应等弧、等弦的性质，将已知正五边形的中心角迁移到目标圆中再等分圆周，对学生的动手操作能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.7
