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7.如图，$\odot M$的外切正六边形的边AB在x轴上，点F在y轴上，已知点F的坐标是$(0,2\sqrt{3})$。求正六边形ABCDEF的半径。
答案
7.4
解析
【分析】
解题首先要回忆正六边形的核心性质：正六边形的边长等于其外接圆半径（即本题所求的正六边形半径），每个内角为120°。首先结合坐标系的特点，判断△OAF是直角三角形，通过正六边形的内角求出∠FAO的度数，再利用点F的坐标得到OF的长度，最后用三角函数求出边长AF，即可得到正六边形的半径。
【解析】
解：
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴它的每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且边长等于正六边形的半径。
∵边AB在x轴上，
∴$∠ FAB + ∠ FAO = 180°$，
∴$∠ FAO = 180° - 120° = 60°$。
∵点F在y轴上，
∴$∠ AOF = 90°$，即$△ AOF$是直角三角形。
已知$F(0,2\sqrt{3})$，故$OF=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，$\sin∠ FAO = \frac{OF}{AF}$，
∴$AF = \frac{OF}{\sin60°} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$。
∴正六边形ABCDEF的半径为4。
【答案】
4
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形，正多边形与圆
【点评】
本题结合平面直角坐标系考察正多边形相关性质，解题的关键是利用正六边形内角得到直角三角形的锐角度数，再通过三角函数求出边长，属于基础类题目，侧重对基础知识的应用考察。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆正六边形的核心性质：正六边形的边长等于其外接圆半径（即本题所求的正六边形半径），每个内角为120°。首先结合坐标系的特点，判断△OAF是直角三角形，通过正六边形的内角求出∠FAO的度数，再利用点F的坐标得到OF的长度，最后用三角函数求出边长AF，即可得到正六边形的半径。
【解析】
解：
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴它的每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且边长等于正六边形的半径。
∵边AB在x轴上，
∴$∠ FAB + ∠ FAO = 180°$，
∴$∠ FAO = 180° - 120° = 60°$。
∵点F在y轴上，
∴$∠ AOF = 90°$，即$△ AOF$是直角三角形。
已知$F(0,2\sqrt{3})$，故$OF=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，$\sin∠ FAO = \frac{OF}{AF}$，
∴$AF = \frac{OF}{\sin60°} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4$。
∴正六边形ABCDEF的半径为4。
【答案】
4
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形，正多边形与圆
【点评】
本题结合平面直角坐标系考察正多边形相关性质，解题的关键是利用正六边形内角得到直角三角形的锐角度数，再通过三角函数求出边长，属于基础类题目，侧重对基础知识的应用考察。
【难度系数】
0.7
8.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利出圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率。如图，多边形$ A_1A_2A_3··· A_n $是$ \odot O $的内接正n边形。已知$ \odot O $的半径为r，$ ∠ A_1OA_2 $的度数为$ α $，点O到$ A_1A_2 $的距离为d，$ △ A_1OA_2 $的面积为S。下面推断中，①当n变化时，$ α $随n的
变化而变化，$ α $与n满足函数关系$ α = \frac{360°}{n} $；②无论n，r为何值，总有$ nS = π r^2 $；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足二次函数关系。其中正确的是
变化而变化，$ α $与n满足函数关系$ α = \frac{360°}{n} $；②无论n，r为何值，总有$ nS = π r^2 $；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足二次函数关系。其中正确的是
①③
（填序号）。答案
8. ①③
解析
【分析】
解题时需逐一验证三个推断的正确性：首先回忆正n边形中心角的计算公式判断①；再结合割圆术“正多边形逐步逼近圆”的含义，明确nS是正n边形面积，只有n足够大时才近似等于圆面积，以此判断②；最后推导△A₁OA₂的面积表达式，结合二次函数的定义判断③即可。
【解析】
对三个推断逐一分析：
1. 推断①：正n边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角大小相等，因此中心角$α=\frac{360°}{n}$，n变化时α随之对应变化，故①正确。
2. 推断②：$nS$是该圆内接正n边形的总面积，根据割圆术的原理，只有当n趋近于无穷大时，正n边形的面积才会无限逼近圆的面积$πr^2$，并非无论n取何值都有$nS=πr^2$，故②错误。
3. 推断③：当n为定值时，中心角$α=\frac{360°}{n}$为定值，△A₁OA₂的面积$S=\frac{1}{2}r^2\sinα$，其中$\frac{1}{2}\sinα$为常数，因此S是关于r的二次函数，r变化时S随之对应变化，故③正确。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
正多边形的性质，二次函数的概念，三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代“割圆术”的数学成果设置问题，既考查了正多边形与圆的相关基础性质，也考查了函数类型的判断，同时渗透了极限的数学思想，解题时要注意“近似逼近”和“完全相等”的区别。
【难度系数】
0.7
解题时需逐一验证三个推断的正确性：首先回忆正n边形中心角的计算公式判断①；再结合割圆术“正多边形逐步逼近圆”的含义，明确nS是正n边形面积，只有n足够大时才近似等于圆面积，以此判断②；最后推导△A₁OA₂的面积表达式，结合二次函数的定义判断③即可。
【解析】
对三个推断逐一分析：
1. 推断①：正n边形的所有中心角之和为360°，且每个中心角大小相等，因此中心角$α=\frac{360°}{n}$，n变化时α随之对应变化，故①正确。
2. 推断②：$nS$是该圆内接正n边形的总面积，根据割圆术的原理，只有当n趋近于无穷大时，正n边形的面积才会无限逼近圆的面积$πr^2$，并非无论n取何值都有$nS=πr^2$，故②错误。
3. 推断③：当n为定值时，中心角$α=\frac{360°}{n}$为定值，△A₁OA₂的面积$S=\frac{1}{2}r^2\sinα$，其中$\frac{1}{2}\sinα$为常数，因此S是关于r的二次函数，r变化时S随之对应变化，故③正确。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
正多边形的性质，二次函数的概念，三角形面积计算
【点评】
本题结合我国古代“割圆术”的数学成果设置问题，既考查了正多边形与圆的相关基础性质，也考查了函数类型的判断，同时渗透了极限的数学思想，解题时要注意“近似逼近”和“完全相等”的区别。
【难度系数】
0.7
9.在学习圆与正多边形时，小亮、小莹两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
①如图，作直径AD；
②作半径OD的垂直平分线，交$\odot O$于B，C两点；
③连接AB，AC，BC，那么$△ ABC$为所求的三角形。
请你判断两位同学的画法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出$△ ABC$，然后给出$△ ABC$是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由。
①如图，作直径AD；
②作半径OD的垂直平分线，交$\odot O$于B，C两点；
③连接AB，AC，BC，那么$△ ABC$为所求的三角形。
请你判断两位同学的画法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出$△ ABC$，然后给出$△ ABC$是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由。
答案
9.两位同学的方法正确。画图与证明略。
解析
【分析】
要判断该画法是否正确，核心是证明得到的△ABC是等边三角形，可借助圆的性质与垂直平分线的性质推导：首先设圆的半径为r，连接OB、OC构造直角三角形，利用垂直平分线得到OE的长度，再通过直角三角形的边角关系求出各段圆心角的度数，若AB、BC、AC对应的圆心角相等，根据同圆中相等圆心角对应弦相等，即可得三边相等，证明△ABC是等边三角形。
【解析】
两位同学的画法正确，画图如下：按照题目的步骤，作出直径AD后，作OD的垂直平分线交⊙O于B、C两点，再依次连接AB、AC、BC即可得到△ABC。
证明过程：
设⊙O的半径为r，BC与OD交于点E，连接OB、OC。
1. 由BC垂直平分OD，可得$OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}r$，且$∠ OEB=90°$。
2. 在$Rt△ OBE$中，$OB=r$，$OE=\frac{1}{2}r$，即$OE=\frac{1}{2}OB$，因此$∠ OBE=30°$，可得$∠ BOE=90°-30°=60°$，同理可证$∠ COE=60°$，因此$∠ BOC=∠ BOE+∠ COE=120°$。
3. 由AD是直径，$∠ AOB=180°-∠ BOE=180°-60°=120°$，同理可得$∠ AOC=120°$。
4. 因此$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120°$，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AB=BC=AC$，故$△ ABC$是等边三角形，画法正确。
【答案】
两位同学的画法正确，△ABC为等边三角形。
【知识点】
垂直平分线的性质；圆的基本性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于操作类证明题，将画图实践与几何证明结合，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，结合所学的线段、角度关系推导圆心角的度数，进而得到弦长的关系，能够很好地考查对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要判断该画法是否正确，核心是证明得到的△ABC是等边三角形，可借助圆的性质与垂直平分线的性质推导：首先设圆的半径为r，连接OB、OC构造直角三角形，利用垂直平分线得到OE的长度，再通过直角三角形的边角关系求出各段圆心角的度数，若AB、BC、AC对应的圆心角相等，根据同圆中相等圆心角对应弦相等，即可得三边相等，证明△ABC是等边三角形。
【解析】
两位同学的画法正确，画图如下：按照题目的步骤，作出直径AD后，作OD的垂直平分线交⊙O于B、C两点，再依次连接AB、AC、BC即可得到△ABC。
证明过程：
设⊙O的半径为r，BC与OD交于点E，连接OB、OC。
1. 由BC垂直平分OD，可得$OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}r$，且$∠ OEB=90°$。
2. 在$Rt△ OBE$中，$OB=r$，$OE=\frac{1}{2}r$，即$OE=\frac{1}{2}OB$，因此$∠ OBE=30°$，可得$∠ BOE=90°-30°=60°$，同理可证$∠ COE=60°$，因此$∠ BOC=∠ BOE+∠ COE=120°$。
3. 由AD是直径，$∠ AOB=180°-∠ BOE=180°-60°=120°$，同理可得$∠ AOC=120°$。
4. 因此$∠ AOB=∠ BOC=∠ AOC=120°$，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AB=BC=AC$，故$△ ABC$是等边三角形，画法正确。
【答案】
两位同学的画法正确，△ABC为等边三角形。
【知识点】
垂直平分线的性质；圆的基本性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于操作类证明题，将画图实践与几何证明结合，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，结合所学的线段、角度关系推导圆心角的度数，进而得到弦长的关系，能够很好地考查对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
