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1. 若$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$2:1$，则$△ ABC$与$△ DEF$对应的高线长之比为 （
A.$1:2$
B.$2:1$
C.$4:1$
D.$1:4$
B
）A.$1:2$
B.$2:1$
C.$4:1$
D.$1:4$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质，相似三角形的所有对应线段（包括高线、中线、角平分线等）的比值都等于相似比。首先明确本题中相似比是△ABC与△DEF的比为2:1，对应高线的比和相似比顺序一致，直接套用性质即可得到答案，注意不要搞反相似比的前后项。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高线的比等于相似比。
已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2:1，因此二者对应的高线长之比等于相似比，即2:1。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形对应线段比与相似比的关系，解题时需注意相似比的对应顺序，避免因前后项颠倒失分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的相关性质，相似三角形的所有对应线段（包括高线、中线、角平分线等）的比值都等于相似比。首先明确本题中相似比是△ABC与△DEF的比为2:1，对应高线的比和相似比顺序一致，直接套用性质即可得到答案，注意不要搞反相似比的前后项。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高线的比等于相似比。
已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2:1，因此二者对应的高线长之比等于相似比，即2:1。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形对应线段比与相似比的关系，解题时需注意相似比的对应顺序，避免因前后项颠倒失分。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$4×4$的正方形网格纸中,$△ ABC$的顶点均在格点上,BC边与网格线交于点D,AC边过格点E,连结AD,BE相交于点O,则点O为$△ ABC$的 (
A.重心
B.外心
C.三条角平分线的交点
D.垂心
A
)A.重心
B.外心
C.三条角平分线的交点
D.垂心
答案
2. A
解析
【分析】
要判断点O是△ABC的哪个特殊点，首先明确各选项对应心的定义：重心是三条中线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，内心是三条角平分线的交点，垂心是三条高的交点。因此我们只需判断AD、BE是否为△ABC的中线即可，可通过建立平面直角坐标系，计算中点坐标结合网格特征验证。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以点A为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，可得各点坐标：A(0,0)，B(3,0)，C(4,2)。
1. 判断E是否为AC中点：
AC两端点坐标为A(0,0)、C(4,2)，根据中点坐标公式，AC中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。由图可知格点E的坐标为(2,1)，因此E是AC的中点，BE是△ABC中AC边上的中线。
2. 判断D是否为BC中点：
BC两端点坐标为B(3,0)、C(4,2)，BC中点坐标为$(\frac{3+4}{2},\frac{0+2}{2})=(3.5,1)$。
求BC的直线解析式：设解析式为$y=kx+b$，代入B、C坐标得$\begin{cases} 3k+b=0 \\ 4k+b=2 \end{cases}$，解得$k=2,b=-6$，即$y=2x-6$。
当$y=1$时，$1=2x-6$，解得$x=3.5$，即D点坐标为(3.5,1)，因此D是BC的中点，AD是△ABC中BC边上的中线。
因为三角形的重心是三条中线的交点，AD和BE是△ABC的两条中线，它们的交点O即为△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心定义，中点坐标公式，一次函数的应用
【点评】
本题结合网格考查三角形特殊点的判定，解题的核心是掌握各类心的定义，灵活运用坐标法验证线段是否为三角形的中线，是网格类几何问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
要判断点O是△ABC的哪个特殊点，首先明确各选项对应心的定义：重心是三条中线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，内心是三条角平分线的交点，垂心是三条高的交点。因此我们只需判断AD、BE是否为△ABC的中线即可，可通过建立平面直角坐标系，计算中点坐标结合网格特征验证。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，以点A为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，可得各点坐标：A(0,0)，B(3,0)，C(4,2)。
1. 判断E是否为AC中点：
AC两端点坐标为A(0,0)、C(4,2)，根据中点坐标公式，AC中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。由图可知格点E的坐标为(2,1)，因此E是AC的中点，BE是△ABC中AC边上的中线。
2. 判断D是否为BC中点：
BC两端点坐标为B(3,0)、C(4,2)，BC中点坐标为$(\frac{3+4}{2},\frac{0+2}{2})=(3.5,1)$。
求BC的直线解析式：设解析式为$y=kx+b$，代入B、C坐标得$\begin{cases} 3k+b=0 \\ 4k+b=2 \end{cases}$，解得$k=2,b=-6$，即$y=2x-6$。
当$y=1$时，$1=2x-6$，解得$x=3.5$，即D点坐标为(3.5,1)，因此D是BC的中点，AD是△ABC中BC边上的中线。
因为三角形的重心是三条中线的交点，AD和BE是△ABC的两条中线，它们的交点O即为△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心定义，中点坐标公式，一次函数的应用
【点评】
本题结合网格考查三角形特殊点的判定，解题的核心是掌握各类心的定义，灵活运用坐标法验证线段是否为三角形的中线，是网格类几何问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，已知$△ ABC$与$△ DEF$位似，位似中心为点$O$，且$△ ABC$与$△ DEF$的周长之比是$4:3$，则$AO:DO=$（
A.$4:7$
B.$4:3$
C.$3:4$
D.$16:9$
B
）A.$4:7$
B.$4:3$
C.$3:4$
D.$16:9$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆位似图形的相关性质：位似图形属于特殊的相似图形，满足相似图形的所有性质。第一步先根据周长比确定两个三角形的相似比，第二步利用位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比，即可求出AO与DO的比值。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，且对应点到位似中心的距离之比等于两个三角形的相似比。
∵相似三角形的周长之比等于相似比，已知△ABC与△DEF的周长之比为4:3，
∴△ABC与△DEF的相似比为4:3。
又
∵点A和点D是一组对应顶点，
∴AO:DO=相似比=4:3。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形周长性质、相似比
【点评】
本题是基础类题型，将位似性质和相似三角形的性质结合考查，解题的关键是明确位似是特殊的相似，牢记周长比与相似比、位似距离比的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆位似图形的相关性质：位似图形属于特殊的相似图形，满足相似图形的所有性质。第一步先根据周长比确定两个三角形的相似比，第二步利用位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比，即可求出AO与DO的比值。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，且对应点到位似中心的距离之比等于两个三角形的相似比。
∵相似三角形的周长之比等于相似比，已知△ABC与△DEF的周长之比为4:3，
∴△ABC与△DEF的相似比为4:3。
又
∵点A和点D是一组对应顶点，
∴AO:DO=相似比=4:3。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形周长性质、相似比
【点评】
本题是基础类题型，将位似性质和相似三角形的性质结合考查，解题的关键是明确位似是特殊的相似，牢记周长比与相似比、位似距离比的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 学完“相似三角形”一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度。如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即$PE=20$米）的点$P$处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在$C$，$D$两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即$A$，$C$，$P$三点共线，$B$，$D$，$P$三点共线）。已知电线杆$A$，$B$之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离$CD$为30米，则这条河的宽度为（
A.25米
B.30米
C.45米
D.50米
B
）A.25米
B.30米
C.45米
D.50米
答案
4. B
解析
【分析】
首先观察图形，河的南北两岸平行，可得$AB// CD$，进而可证$△ PAB$与$△ PCD$相似。相似三角形对应高的比等于相似比，其中点$P$到南岸$CD$的距离已知为20米，点$P$到北岸$AB$的距离为河宽加20米，$AB$、$CD$的长度已知，设河宽为未知数，根据相似比列方程即可求解。
【解析】
设这条河的宽度为$x$米。
因为河的两岸互相平行，所以$AB// CD$，
所以$∠ PAB = ∠ PCD$，$∠ PBA = ∠ PDC$，
所以$△ PAB ∽ △ PCD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，
点$P$到$CD$的距离为$PE = 20$米，点$P$到$AB$的距离为$(x + 20)$米，
因此$\frac{CD}{AB} = \frac{PE}{x + PE}$，
代入已知数据$CD=30$米，$AB=75$米，$PE=20$米，得：
$\frac{30}{75} = \frac{20}{20 + x}$，
交叉相乘得：$30(20 + x) = 75 × 20$，
即$600 + 30x = 1500$，
解得$x = 30$。
所以这条河的宽度为30米。
【答案】B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的应用，解题的核心是通过平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，河的南北两岸平行，可得$AB// CD$，进而可证$△ PAB$与$△ PCD$相似。相似三角形对应高的比等于相似比，其中点$P$到南岸$CD$的距离已知为20米，点$P$到北岸$AB$的距离为河宽加20米，$AB$、$CD$的长度已知，设河宽为未知数，根据相似比列方程即可求解。
【解析】
设这条河的宽度为$x$米。
因为河的两岸互相平行，所以$AB// CD$，
所以$∠ PAB = ∠ PCD$，$∠ PBA = ∠ PDC$，
所以$△ PAB ∽ △ PCD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，
点$P$到$CD$的距离为$PE = 20$米，点$P$到$AB$的距离为$(x + 20)$米，
因此$\frac{CD}{AB} = \frac{PE}{x + PE}$，
代入已知数据$CD=30$米，$AB=75$米，$PE=20$米，得：
$\frac{30}{75} = \frac{20}{20 + x}$，
交叉相乘得：$30(20 + x) = 75 × 20$，
即$600 + 30x = 1500$，
解得$x = 30$。
所以这条河的宽度为30米。
【答案】B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的应用，解题的核心是通过平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系求解，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均相等,四边形ABCD的面积是$\frac{9}{2}$。若四边形EFGH与四边形ABCD相似,则四边形EFGH的面积是（
A.2
B.3
C.$\frac{27}{4}$
D.$\frac{81}{8}$
D
）A.2
B.3
C.$\frac{27}{4}$
D.$\frac{81}{8}$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决本题，需利用相似多边形的核心性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方。解题思路如下：第一步，设小正方形边长为单位1，在网格中找到两个四边形的一组对应边，分别计算长度得到相似比；第二步，根据相似比求出两个四边形的面积比；第三步，结合已知的四边形ABCD的面积，通过比例计算求出四边形EFGH的面积。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察网格可得，四边形ABCD的边BC长度为4，与四边形EFGH的对应边FG长度为6，因此四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
根据相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此：
$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形EFGH}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
已知$S_{四边形ABCD}=\frac{9}{2}$，代入得：
$\frac{\frac{9}{2}}{S_{四边形EFGH}}=\frac{4}{9}$
交叉相乘解得：
$S_{四边形EFGH}=\frac{9}{2} × \frac{9}{4}=\frac{81}{8}$
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质、比例运算、网格线段长度计算
【点评】
本题重点考查相似多边形性质的应用，解题的关键是准确识别网格中对应边的长度，正确计算相似比，同时要注意相似比的前后项对应关系，避免因比例关系颠倒出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需利用相似多边形的核心性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方。解题思路如下：第一步，设小正方形边长为单位1，在网格中找到两个四边形的一组对应边，分别计算长度得到相似比；第二步，根据相似比求出两个四边形的面积比；第三步，结合已知的四边形ABCD的面积，通过比例计算求出四边形EFGH的面积。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察网格可得，四边形ABCD的边BC长度为4，与四边形EFGH的对应边FG长度为6，因此四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
根据相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此：
$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形EFGH}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
已知$S_{四边形ABCD}=\frac{9}{2}$，代入得：
$\frac{\frac{9}{2}}{S_{四边形EFGH}}=\frac{4}{9}$
交叉相乘解得：
$S_{四边形EFGH}=\frac{9}{2} × \frac{9}{4}=\frac{81}{8}$
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质、比例运算、网格线段长度计算
【点评】
本题重点考查相似多边形性质的应用，解题的关键是准确识别网格中对应边的长度，正确计算相似比，同时要注意相似比的前后项对应关系，避免因比例关系颠倒出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图,若把矩形ABCD截除一个正方形CDFE(阴影部分)后,剩下的矩形ABEF仍与原矩形相似,那么原矩形ABCD的两边AB与BC的长度应满足的关系是 (
A.$AB:BC=1:\sqrt{2}$
B.$AB:BC=(\sqrt{5}-1):2$
C.$AB:BC=(\sqrt{2}-1):2$
D.$AB:BC=(\sqrt{3}-1):2$
B
)A.$AB:BC=1:\sqrt{2}$
B.$AB:BC=(\sqrt{5}-1):2$
C.$AB:BC=(\sqrt{2}-1):2$
D.$AB:BC=(\sqrt{3}-1):2$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决本题，需运用相似多边形对应边成比例的性质：第一步，设出原矩形两边AB=x、BC=y，先确定截去正方形后剩余矩形ABEF的各边长度，正方形CDFE的边长等于AB=x，因此剩余矩形的宽为BC-x=y-x；第二步，根据矩形ABEF与原矩形ABCD相似，找准对应边列出比例式；第三步，整理比例式得到一元二次方程，结合边长为正的条件求解比值即可。
【解析】
设$ AB = x $，$ BC = y $。
∵ 四边形CDFE是正方形，
∴ $ EC = CD = AB = x $，
∴ 剩余矩形ABEF的宽$ BE = BC - EC = y - x $。
∵ 矩形ABEF∽矩形ABCD，
∴ 对应边成比例：$ \frac{AB}{BC} = \frac{BE}{AB} $，
代入边长可得：$ \frac{x}{y} = \frac{y - x}{x} $，
交叉相乘整理得：$ x^2 + xy - y^2 = 0 $，
将方程看作关于x的一元二次方程，由求根公式得：
$ x = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 + 4y^2}}{2} = \frac{(-1 \pm \sqrt{5})y}{2} $，
∵ 线段长度为正数，
∴ 舍去负根，得$ x = \frac{(\sqrt{5} - 1)y}{2} $，
∴ $ \frac{AB}{BC} = \frac{x}{y} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $，即$ AB:BC = (\sqrt{5} - 1):2 $。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，比例的性质
【点评】
本题考查相似图形性质的应用，解题关键是准确匹配相似矩形的对应边，避免因对应边混淆出错，求解时要结合线段的实际意义舍去负根，是相似章节的经典基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需运用相似多边形对应边成比例的性质：第一步，设出原矩形两边AB=x、BC=y，先确定截去正方形后剩余矩形ABEF的各边长度，正方形CDFE的边长等于AB=x，因此剩余矩形的宽为BC-x=y-x；第二步，根据矩形ABEF与原矩形ABCD相似，找准对应边列出比例式；第三步，整理比例式得到一元二次方程，结合边长为正的条件求解比值即可。
【解析】
设$ AB = x $，$ BC = y $。
∵ 四边形CDFE是正方形，
∴ $ EC = CD = AB = x $，
∴ 剩余矩形ABEF的宽$ BE = BC - EC = y - x $。
∵ 矩形ABEF∽矩形ABCD，
∴ 对应边成比例：$ \frac{AB}{BC} = \frac{BE}{AB} $，
代入边长可得：$ \frac{x}{y} = \frac{y - x}{x} $，
交叉相乘整理得：$ x^2 + xy - y^2 = 0 $，
将方程看作关于x的一元二次方程，由求根公式得：
$ x = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 + 4y^2}}{2} = \frac{(-1 \pm \sqrt{5})y}{2} $，
∵ 线段长度为正数，
∴ 舍去负根，得$ x = \frac{(\sqrt{5} - 1)y}{2} $，
∴ $ \frac{AB}{BC} = \frac{x}{y} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $，即$ AB:BC = (\sqrt{5} - 1):2 $。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，比例的性质
【点评】
本题考查相似图形性质的应用，解题关键是准确匹配相似矩形的对应边，避免因对应边混淆出错，求解时要结合线段的实际意义舍去负根，是相似章节的经典基础题型。
【难度系数】
0.6
