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8. 下列四种画法中,能使得$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形的有 （
A.①②③④
B.①③④
C.①②
D.③④
A
）A.①②③④
B.①③④
C.①②
D.③④
答案
8. A
解析
【分析】
解题的核心依据是位似图形的判定条件：①两个图形是相似图形；②两个图形对应顶点的连线相交于同一个点（即位似中心）；③对应边互相平行或在同一条直线上。我们只需对照这三个条件，逐一验证4个图形中的△ABC和△DEF是否全部满足即可。
【解析】
根据位似图形的定义：两个图形不仅相似，且对应顶点连线交于一点，对应边互相平行（或共线），则为位似图形，逐一分析：
1. 图①：△DEF与△ABC对应边DE//BC，DF、EF分别和AB、AC共线，对应顶点连线均交于点A，满足位似条件，是位似图形；
2. 图②：△DEF与△ABC对应边互相平行，对应顶点连线AD、BE、CF交于同一点，满足位似条件，是位似图形；
3. 图③：△DEF与△ABC对应边互相平行，对应顶点连线AD、BE、CF均交于点O，满足位似条件，是位似图形；
4. 图④：△DEF与△ABC对应边互相平行，对应顶点连线AD、BE、CF均交于点O，满足位似条件，是位似图形。
综上，①②③④中的两个三角形都是位似图形，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的判定
【点评】
本题考查对位似图形概念的掌握，解题关键是牢记位似图形的三个判定要点，逐一排查即可，注意不要忽略对应边共线的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是位似图形的判定条件：①两个图形是相似图形；②两个图形对应顶点的连线相交于同一个点（即位似中心）；③对应边互相平行或在同一条直线上。我们只需对照这三个条件，逐一验证4个图形中的△ABC和△DEF是否全部满足即可。
【解析】
根据位似图形的定义：两个图形不仅相似，且对应顶点连线交于一点，对应边互相平行（或共线），则为位似图形，逐一分析：
1. 图①：△DEF与△ABC对应边DE//BC，DF、EF分别和AB、AC共线，对应顶点连线均交于点A，满足位似条件，是位似图形；
2. 图②：△DEF与△ABC对应边互相平行，对应顶点连线AD、BE、CF交于同一点，满足位似条件，是位似图形；
3. 图③：△DEF与△ABC对应边互相平行，对应顶点连线AD、BE、CF均交于点O，满足位似条件，是位似图形；
4. 图④：△DEF与△ABC对应边互相平行，对应顶点连线AD、BE、CF均交于点O，满足位似条件，是位似图形。
综上，①②③④中的两个三角形都是位似图形，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的判定
【点评】
本题考查对位似图形概念的掌握，解题关键是牢记位似图形的三个判定要点，逐一排查即可，注意不要忽略对应边共线的特殊情况。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,4),B(-6,-2),以原点O为位似中心,位似比为$\frac{1}{2}$把△ABO缩小,则点A的对应点A'的坐标是 (
A.$(-1,2)$
B.$(-3,-1)$
C.$(-1,2)$或$(1,-2)$
D.$(-3,-1)$或$(3,1)$
C
)A.$(-1,2)$
B.$(-3,-1)$
C.$(-1,2)$或$(1,-2)$
D.$(-3,-1)$或$(3,1)$
答案
9. C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)（与原图形在位似中心同侧）或(-kx,-ky)（与原图形在位似中心异侧）。本题已知位似中心为原点，位似比为$\frac{1}{2}$和点A的坐标，只需分同侧、异侧两种情况计算即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k时，原图形上任意一点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。
已知位似比$k=\frac{1}{2}$，点A的坐标为$(-2,4)$：
① 当缩小后的△A'B'O与原△ABO在原点同侧时，点A'的坐标为$(-2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(-1,2)$；
② 当缩小后的△A'B'O与原△ABO在原点异侧时，点A'的坐标为$(-2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(1,-2)$。
综上，点A的对应点A'的坐标是$(-1,2)$或$(1,-2)$。
【答案】
C
【知识点】
位似变换的坐标规律、位似图形的性质
【点评】
本题是位似变换的基础常考题，解题的关键是掌握以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，易错点是容易忽略位似图形可位于位似中心的两侧，从而漏算异侧的对应点坐标，解题时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)（与原图形在位似中心同侧）或(-kx,-ky)（与原图形在位似中心异侧）。本题已知位似中心为原点，位似比为$\frac{1}{2}$和点A的坐标，只需分同侧、异侧两种情况计算即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k时，原图形上任意一点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。
已知位似比$k=\frac{1}{2}$，点A的坐标为$(-2,4)$：
① 当缩小后的△A'B'O与原△ABO在原点同侧时，点A'的坐标为$(-2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(-1,2)$；
② 当缩小后的△A'B'O与原△ABO在原点异侧时，点A'的坐标为$(-2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(1,-2)$。
综上，点A的对应点A'的坐标是$(-1,2)$或$(1,-2)$。
【答案】
C
【知识点】
位似变换的坐标规律、位似图形的性质
【点评】
本题是位似变换的基础常考题，解题的关键是掌握以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，易错点是容易忽略位似图形可位于位似中心的两侧，从而漏算异侧的对应点坐标，解题时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 在方格图中,以格点为顶点的三角形叫作格点三角形。在如图所示的平面直角坐标系中,格点△ABC和△DEF位似,则位似中心的坐标为
(-1,0)
。答案
10. (-1,0)
解析
【分析】
要确定位似中心，需利用位似图形的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都经过位似中心，即位似中心是任意两组对应顶点连线的交点。解题步骤可按如下思路进行：第一步先确定△ABC和△DEF各顶点的坐标，找到对应顶点；第二步任选两组对应顶点，分别求出过每组对应顶点的直线解析式；第三步联立两个直线解析式，求出的交点就是位似中心，也可通过直接延长对应顶点连线的方式找到交点。
【解析】
首先确定两个三角形各顶点坐标：
A(1,2)，B(2,0)，C(3,3)；D(3,4)，E(5,0)，F(7,6)。
①求过对应点A、D的直线解析式：
设直线AD的解析式为$y=kx+b$，将A(1,2)、D(3,4)代入得：
$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$，即直线AD的解析式为$y=x+1$。
②求过对应点B、E的直线解析式：
B(2,0)和E(5,0)纵坐标都为0，因此直线BE为x轴，解析式为$y=0$。
③联立两个直线解析式求交点：
联立$\begin{cases}y=x+1\\y=0\end{cases}$，解得$x=-1,y=0$，即交点坐标为$(-1,0)$。
验证：对应点C(3,3)、F(7,6)的连线也经过点$(-1,0)$，因此该点为位似中心。
【答案】
$(-1,0)$
【知识点】
位似的性质；一次函数解析式求解
【点评】
本题是位似图形的基础应用题，解题核心是抓住位似中心是对应点连线交点的性质，既可以通过几何作图直接找交点，也可以通过代数计算直线交点得到结果，考查了数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
要确定位似中心，需利用位似图形的性质：位似图形的所有对应顶点的连线都经过位似中心，即位似中心是任意两组对应顶点连线的交点。解题步骤可按如下思路进行：第一步先确定△ABC和△DEF各顶点的坐标，找到对应顶点；第二步任选两组对应顶点，分别求出过每组对应顶点的直线解析式；第三步联立两个直线解析式，求出的交点就是位似中心，也可通过直接延长对应顶点连线的方式找到交点。
【解析】
首先确定两个三角形各顶点坐标：
A(1,2)，B(2,0)，C(3,3)；D(3,4)，E(5,0)，F(7,6)。
①求过对应点A、D的直线解析式：
设直线AD的解析式为$y=kx+b$，将A(1,2)、D(3,4)代入得：
$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$，即直线AD的解析式为$y=x+1$。
②求过对应点B、E的直线解析式：
B(2,0)和E(5,0)纵坐标都为0，因此直线BE为x轴，解析式为$y=0$。
③联立两个直线解析式求交点：
联立$\begin{cases}y=x+1\\y=0\end{cases}$，解得$x=-1,y=0$，即交点坐标为$(-1,0)$。
验证：对应点C(3,3)、F(7,6)的连线也经过点$(-1,0)$，因此该点为位似中心。
【答案】
$(-1,0)$
【知识点】
位似的性质；一次函数解析式求解
【点评】
本题是位似图形的基础应用题，解题核心是抓住位似中心是对应点连线交点的性质，既可以通过几何作图直接找交点，也可以通过代数计算直线交点得到结果，考查了数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,用下面的方法可以画$△ AOB$的内接等边三角形,阅读后解答相应问题。
画法:①在$△ AOB$内画等边三角形$CDE$,使点$C$在$OA$上,点$D$在$OB$上。
②连结$OE$并延长,交$AB$于点$E'$,过点$E'$作$E'C'// EC$,交$OA$于点$C'$,作$E'D'// ED$,交$OB$于点$D'$。
③连结$C'D'$,则$△ C'D'E'$是$△ AOB$的内接三角形。
求证:$△ C'D'E'$是等边三角形。
画法:①在$△ AOB$内画等边三角形$CDE$,使点$C$在$OA$上,点$D$在$OB$上。
②连结$OE$并延长,交$AB$于点$E'$,过点$E'$作$E'C'// EC$,交$OA$于点$C'$,作$E'D'// ED$,交$OB$于点$D'$。
③连结$C'D'$,则$△ C'D'E'$是$△ AOB$的内接三角形。
求证:$△ C'D'E'$是等边三角形。
答案
11. 证明:因为$E'C'// EC,E'D'// ED$,
所以$△ OCE∽△ OC'E',△ ODE∽△ OD'E'$,
所以$CE:C'E'=OE:OE',DE:D'E'=OE:OE'$,
$∠ CEO=∠ C'E'O,∠ DEO=∠ D'E'O$,
所以$CE:C'E'=DE:D'E',∠ CED=∠ C'E'D'$,
所以$△ CDE∽△ C'D'E'$。
因为$△ CDE$是等边三角形,
所以$△ C'D'E'$也是等边三角形。
所以$△ OCE∽△ OC'E',△ ODE∽△ OD'E'$,
所以$CE:C'E'=OE:OE',DE:D'E'=OE:OE'$,
$∠ CEO=∠ C'E'O,∠ DEO=∠ D'E'O$,
所以$CE:C'E'=DE:D'E',∠ CED=∠ C'E'D'$,
所以$△ CDE∽△ C'D'E'$。
因为$△ CDE$是等边三角形,
所以$△ C'D'E'$也是等边三角形。
解析
【分析】
要证明△C'D'E'是等边三角形，已知△CDE为等边三角形，可通过证明二者相似推导结论。首先根据题中两组平行线，得到两组以O为公共顶点的相似三角形，进而得到对应边成比例、对应角相等，再推导得出△CDE和△C'D'E'的两边成比例且夹角相等，证明两三角形相似，最后结合等边三角形的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵$E'C'// EC$，$E'D'// ED$，
∴$△ OCE ∽ △ OC'E'$，$△ ODE ∽ △ OD'E'$，
∴$CE:C'E'=OE:OE'$，$DE:D'E'=OE:OE'$，$∠ CEO=∠ C'E'O$，$∠ DEO=∠ D'E'O$，
∴$CE:C'E'=DE:D'E'$，$∠ CED=∠ C'E'D'$，
∴$△ CDE ∽ △ C'D'E'$。
∵$△ CDE$是等边三角形，
∴$△ C'D'E'$也是等边三角形。
【答案】
$△ C'D'E'$是等边三角形
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的关键是结合平行线得到相似三角形，再通过相似的性质推导待证三角形与已知等边三角形相似，属于相似性质的典型应用，解题时需注意对应角、对应边的对应关系。
【难度系数】
0.7
要证明△C'D'E'是等边三角形，已知△CDE为等边三角形，可通过证明二者相似推导结论。首先根据题中两组平行线，得到两组以O为公共顶点的相似三角形，进而得到对应边成比例、对应角相等，再推导得出△CDE和△C'D'E'的两边成比例且夹角相等，证明两三角形相似，最后结合等边三角形的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵$E'C'// EC$，$E'D'// ED$，
∴$△ OCE ∽ △ OC'E'$，$△ ODE ∽ △ OD'E'$，
∴$CE:C'E'=OE:OE'$，$DE:D'E'=OE:OE'$，$∠ CEO=∠ C'E'O$，$∠ DEO=∠ D'E'O$，
∴$CE:C'E'=DE:D'E'$，$∠ CED=∠ C'E'D'$，
∴$△ CDE ∽ △ C'D'E'$。
∵$△ CDE$是等边三角形，
∴$△ C'D'E'$也是等边三角形。
【答案】
$△ C'D'E'$是等边三角形
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的关键是结合平行线得到相似三角形，再通过相似的性质推导待证三角形与已知等边三角形相似，属于相似性质的典型应用，解题时需注意对应角、对应边的对应关系。
【难度系数】
0.7
