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1. 如图，一次函数$y=\frac{1}{2}x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点A,B，已知点A的坐标为$(-2,1)$，则点B的坐标为（）
A.$(2,-1)$
B.$(1,-2)$
C.$(1,-\frac{1}{2})$
D.$(\frac{1}{2},-1)$
A.$(2,-1)$
B.$(1,-2)$
C.$(1,-\frac{1}{2})$
D.$(\frac{1}{2},-1)$
答案
A
解析
【分析】
解题思路可从两个角度入手：① 利用函数对称性：正比例函数和反比例函数的图像都关于原点中心对称，因此两个交点也关于原点对称，直接通过点A坐标求其关于原点的对称点即可得到点B坐标；② 计算法：先利用点A坐标求出反比例函数和一次函数的解析式，再联立两个解析式解方程组，得到的另一个解就是点B的坐标。两种方法都可以快速解题，其中对称性法更简便。
【解析】
方法一（对称性法）：
因为正比例函数与反比例函数的图像均关于原点中心对称，所以二者的交点也关于原点对称。
关于原点对称的点的坐标特征为：横、纵坐标均互为相反数。已知点A坐标为$(-2,1)$，因此点B的坐标为$(2,-1)$。
方法二（计算法）：
1. 求反比例函数解析式：将$A(-2,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{-2}$，解得$k=-2$，即反比例函数为$y=-\frac{2}{x}$。
2. 求一次函数解析式：将$A(-2,1)$代入一次函数$y=ax$，得$1=-2a$，解得$a=-\frac{1}{2}$，即一次函数为$y=-\frac{1}{2}x$。
3. 联立解析式求交点：$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x \\ y=-\frac{2}{x} \end{cases}$，消去y得$-\frac{1}{2}x=-\frac{2}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$。将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-1$，即点B坐标为$(2,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数交点性质
2. 中心对称的坐标特征
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，既可以利用函数对称性快速得到答案，也可以通过联立解析式计算求解，两种方法都需要熟练掌握，其中对称性法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路可从两个角度入手：① 利用函数对称性：正比例函数和反比例函数的图像都关于原点中心对称，因此两个交点也关于原点对称，直接通过点A坐标求其关于原点的对称点即可得到点B坐标；② 计算法：先利用点A坐标求出反比例函数和一次函数的解析式，再联立两个解析式解方程组，得到的另一个解就是点B的坐标。两种方法都可以快速解题，其中对称性法更简便。
【解析】
方法一（对称性法）：
因为正比例函数与反比例函数的图像均关于原点中心对称，所以二者的交点也关于原点对称。
关于原点对称的点的坐标特征为：横、纵坐标均互为相反数。已知点A坐标为$(-2,1)$，因此点B的坐标为$(2,-1)$。
方法二（计算法）：
1. 求反比例函数解析式：将$A(-2,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{-2}$，解得$k=-2$，即反比例函数为$y=-\frac{2}{x}$。
2. 求一次函数解析式：将$A(-2,1)$代入一次函数$y=ax$，得$1=-2a$，解得$a=-\frac{1}{2}$，即一次函数为$y=-\frac{1}{2}x$。
3. 联立解析式求交点：$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x \\ y=-\frac{2}{x} \end{cases}$，消去y得$-\frac{1}{2}x=-\frac{2}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$。将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y=-1$，即点B坐标为$(2,-1)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数交点性质
2. 中心对称的坐标特征
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，既可以利用函数对称性快速得到答案，也可以通过联立解析式计算求解，两种方法都需要熟练掌握，其中对称性法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$，当$x＜-2$时，$y$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{-1＜y＜0}$
解析
【分析】
首先根据反比例函数比例系数k的正负判断函数的图象分布、增减性，再找到边界值x=-2对应的y值，结合x＜-2的范围对应第三象限的图象分支，利用增减性和函数值的符号，最终确定y的取值范围。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{2}{x}$中，$k=2＞0$，
∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-2$时，$y=\frac{2}{-2}=-1$。
∵$x＜-2$，此时对应函数图象在第三象限分支，
∴$y＜0$，且根据增减性，$x＜-2$时$y＞-1$，
综上，$y$的取值范围是$-1＜y＜0$。
【答案】
$\boldsymbol{-1＜y＜0}$
【知识点】
反比例函数的性质；函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时需先判断函数所在象限明确函数值符号，再结合增减性判断取值范围，避免因忽略象限或增减性用反导致错误。
【难度系数】
0.7
首先根据反比例函数比例系数k的正负判断函数的图象分布、增减性，再找到边界值x=-2对应的y值，结合x＜-2的范围对应第三象限的图象分支，利用增减性和函数值的符号，最终确定y的取值范围。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{2}{x}$中，$k=2＞0$，
∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$x=-2$时，$y=\frac{2}{-2}=-1$。
∵$x＜-2$，此时对应函数图象在第三象限分支，
∴$y＜0$，且根据增减性，$x＜-2$时$y＞-1$，
综上，$y$的取值范围是$-1＜y＜0$。
【答案】
$\boldsymbol{-1＜y＜0}$
【知识点】
反比例函数的性质；函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时需先判断函数所在象限明确函数值符号，再结合增减性判断取值范围，避免因忽略象限或增减性用反导致错误。
【难度系数】
0.7
3. 已知点$A(1,y_1),B(2,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，且$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围为。
答案
$\boldsymbol{m＜0}$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的增减性规律，先判断点A、B的横坐标均为正数，可知两点位于反比例函数图象的同一象限；再结合已知条件1＜2但y₁＜y₂，可得出该象限内y随x的增大而增大，最后根据反比例函数增减性与系数的关系即可求出m的取值范围。
【解析】
解：
∵点A(1,y₁)、B(2,y₂)的横坐标1＞0，2＞0，
∴A、B两点位于反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象的同一象限内，
已知1＜2，且$y_1＜y_2$，说明在该象限内，y随x的增大而增大，
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k≠0），当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴可得$m＜0$。
【答案】
$m＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先判断两点所处的象限，再结合函数的增减性推导系数的符号，是对反比例函数基础性质的考查。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的增减性规律，先判断点A、B的横坐标均为正数，可知两点位于反比例函数图象的同一象限；再结合已知条件1＜2但y₁＜y₂，可得出该象限内y随x的增大而增大，最后根据反比例函数增减性与系数的关系即可求出m的取值范围。
【解析】
解：
∵点A(1,y₁)、B(2,y₂)的横坐标1＞0，2＞0，
∴A、B两点位于反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象的同一象限内，
已知1＜2，且$y_1＜y_2$，说明在该象限内，y随x的增大而增大，
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k≠0），当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴可得$m＜0$。
【答案】
$m＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先判断两点所处的象限，再结合函数的增减性推导系数的符号，是对反比例函数基础性质的考查。
【难度系数】
0.8
4. 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象经过点 $A(1,6), B(a,3)$。
(1) 求 $a$ 的值；
(2) 若点 $C(m,n)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上，其中 $n＜3$，求 $m$ 的取值范围。
(1) 求 $a$ 的值；
(2) 若点 $C(m,n)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上，其中 $n＜3$，求 $m$ 的取值范围。
答案
解：
(1) 把点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$6=\frac{k}{1}$，
解得$k=6$，
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
把点$B(a,3)$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$3=\frac{6}{a}$，
解得$a=2$。
(2) 由(1)知反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，$k=6＞0$，
∴该反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=3$时，$x=2$。
当点$C$在第一象限时，若$n＜3$，则$m＞2$；
当点$C$在第三象限时，点的纵坐标$n＜0$，满足$n＜3$，此时$m＜0$。
综上，$m$的取值范围是$m＜0$或$m＞2$。
(1) 把点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$6=\frac{k}{1}$，
解得$k=6$，
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
把点$B(a,3)$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$3=\frac{6}{a}$，
解得$a=2$。
(2) 由(1)知反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，$k=6＞0$，
∴该反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=3$时，$x=2$。
当点$C$在第一象限时，若$n＜3$，则$m＞2$；
当点$C$在第三象限时，点的纵坐标$n＜0$，满足$n＜3$，此时$m＜0$。
综上，$m$的取值范围是$m＜0$或$m＞2$。
解析
【分析】
(1) 求解a值的核心是先确定反比例函数的解析式：反比例函数仅含有1个待定系数k，已知函数过点A(1,6)，将A点坐标代入解析式即可求出k的值，得到完整的反比例函数解析式，再将B点坐标代入解析式就能解出a的值。
(2) 求m的取值范围需结合反比例函数的图象性质分析：由k=6＞0可知函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，注意增减性仅在同一象限内成立，因此需分点C在第一象限、第三象限两种情况讨论，结合n＜3的条件分别求出对应m的范围，再合并结果即可。
【解析】
(1) 把点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$6=\frac{k}{1}$，
解得$k=6$，
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
把点$B(a,3)$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$3=\frac{6}{a}$，
解得$a=2$。
(2) 由(1)知反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，$k=6＞0$，
∴该反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=3$时，$x=2$。
当点$C$在第一象限时，若$n＜3$，则$m＞2$；
当点$C$在第三象限时，点的纵坐标$n＜0$，满足$n＜3$，此时$m＜0$。
综上，$m$的取值范围是$m＜0$或$m＞2$。
【答案】
(1) $a=2$；(2) $m＜0$或$m＞2$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的关键是先求出反比例函数的解析式，第二问求解时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分象限讨论，避免遗漏第三象限的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解a值的核心是先确定反比例函数的解析式：反比例函数仅含有1个待定系数k，已知函数过点A(1,6)，将A点坐标代入解析式即可求出k的值，得到完整的反比例函数解析式，再将B点坐标代入解析式就能解出a的值。
(2) 求m的取值范围需结合反比例函数的图象性质分析：由k=6＞0可知函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，注意增减性仅在同一象限内成立，因此需分点C在第一象限、第三象限两种情况讨论，结合n＜3的条件分别求出对应m的范围，再合并结果即可。
【解析】
(1) 把点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$6=\frac{k}{1}$，
解得$k=6$，
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
把点$B(a,3)$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$3=\frac{6}{a}$，
解得$a=2$。
(2) 由(1)知反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$，$k=6＞0$，
∴该反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=3$时，$x=2$。
当点$C$在第一象限时，若$n＜3$，则$m＞2$；
当点$C$在第三象限时，点的纵坐标$n＜0$，满足$n＜3$，此时$m＜0$。
综上，$m$的取值范围是$m＜0$或$m＞2$。
【答案】
(1) $a=2$；(2) $m＜0$或$m＞2$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的关键是先求出反比例函数的解析式，第二问求解时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分象限讨论，避免遗漏第三象限的解。
【难度系数】
0.7
