7. 已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=-\dfrac{3}{2x}$的图象上，如果$x_1 ＜ x_2$，而且$x_1$，$x_2$同号，那么$y_1$，$y_2$的大小关系是。

$\boldsymbol{y_1＜y_2}$

【分析】
解题思路分为三步：第一步先把给定的反比例函数整理为$y=\frac{k}{x}$的标准形式，确定比例系数$k$的符号，明确函数的图象分布和增减性规律；第二步结合$x_1$、$x_2$同号的条件，判断点A、B是否在同一个象限内；第三步结合同一象限内的增减性和$x_1＜x_2$的大小关系，推导$y_1$、$y_2$的大小关系。
【解析】
首先将反比例函数$y=-\dfrac{3}{2x}$变形为标准形式：$y=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{x}$，可得比例系数$k=-\dfrac{3}{2}＜0$。
根据反比例函数的性质：当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$x_1＜x_2$，且$x_1$、$x_2$同号，因此点A、B处于同一象限内，符合增减性的应用前提，可得当$x_1＜x_2$时，$y_1＜y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意：反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，必须先判断两点是否同象限，再用增减性比较大小，避免忽略条件出错。
【难度系数】
0.8

8. 反比例函数 $y_1=\frac{k_1}{x}, y_2=\frac{k_2}{x}, y_3=\frac{k_3}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象的一支如图所示，则 $k_1,k_2,k_3$ 的大小关系为 ______。（用“＜”连接）

$\boldsymbol{k_1＜k_2＜k_3}$

【分析】
解题时先结合反比例函数图象与系数k的关系判断k的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k=xy$，x和y同号时k为正，图象在一、三象限；x和y异号时k为负，图象在二、四象限。观察图象可知$y_1、y_2$的图象在第四象限，$y_3$的图象在第三象限，可先得出$k_3$为正，$k_1、k_2$为负，$k_3$最大。再比较$k_1、k_2$：取同一个正的x值，此时y值越大，对应的$k=xy$越大，结合图象中$y_2$在$y_1$上方，可得$k_2＞k_1$，最终整理得到大小关系。
【解析】
1. 判断三个系数的符号：
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，变形得$k=xy$。
$y_1、y_2$的图象分支在第四象限，取任意$x＞0$，对应$y＜0$，因此$k_1=xy＜0$，$k_2=xy＜0$；
$y_3$的图象分支在第三象限，取任意$x＜0$，对应$y＜0$，因此$k_3=xy＞0$，故$k_3$大于$k_1、k_2$。
2. 比较$k_1$和$k_2$的大小：
取$x=a$（$a＞0$），分别代入$y_1、y_2$得$y_1=\frac{k_1}{a}$，$y_2=\frac{k_2}{a}$。
由图象可知，同一x值下$y_2$的图象在$y_1$上方，即$y_2＞y_1$，因此$\frac{k_2}{a}＞\frac{k_1}{a}$，两边同乘正数a，得$k_2＞k_1$。
3. 综上可得大小关系为$k_1＜k_2＜k_3$。
【答案】
$k_1＜k_2＜k_3$
【知识点】
反比例函数的图象性质；反比例函数系数k的判断
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的关键是掌握反比例函数系数k与图象所在象限、图象位置的关系，结合特殊值法就能快速判断k的大小关系。
【难度系数】
0.7

9. 已知反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、四象限.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若点$A(-4,y_1),B(-1,y_2)$是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值$y_1,y_2$的大小.

解：
(1) ∵反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、四象限，
∴比例系数$k-2＜0$，
解得$k＜2$。
(2) ∵$k-2＜0$，
∴该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(-4,y_1)$，$B(-1,y_2)$的横坐标均为负数，
∴两点都在第二象限的函数图象上，
又∵$-4 ＜ -1$，
∴$y_1 ＜ y_2$。

【分析】
（1）反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a≠0$）的图象所在象限由比例系数$a$的符号决定：当$a＜0$时图象位于第二、四象限。本题已知图象在第二、四象限，因此可列出不等式$k-2＜0$，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）比较反比例函数上两点的函数值大小，首先要根据比例系数的符号判断函数的增减性：当$a＜0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。随后判断两点是否在同一象限，本题中A、B两点横坐标均为负，都在第二象限，因此可结合横坐标的大小关系和增减性，直接比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k-2}{x}$的图象位于第二、四象限，
∴比例系数满足$k-2＜0$，
解得$k＜2$。
(2) 由(1)可知$k-2＜0$，
∴该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(-4,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标均为负数，两点都在第二象限的函数图象上，
又
∵$-4 ＜ -1$，
∴$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) $k＜2$；(2) $y_1 ＜ y_2$
【知识点】
反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握反比例函数图象位置、增减性与比例系数符号的对应关系，比较函数值大小时要先判断两点是否在同一象限，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.85

10. 设$A,B,C,D$是反比例函数$y=\frac{1}{x}$图象上的任意四点，现有以下结论：
① 四边形$ABCD$可以是平行四边形；
② 四边形$ABCD$可以是菱形；
③ 四边形$ABCD$不可能是矩形；
④ 四边形$ABCD$不可能是正方形.
其中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)

解：
反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象关于原点中心对称：
1. 对结论①：取两组关于原点对称的点$A(a,\frac{1}{a})$、$C(-a,-\frac{1}{a})$，$B(b,\frac{1}{b})$、$D(-b,-\frac{1}{b})$，此时对角线$AC$、$BD$的中点均为原点，对角线互相平分，四边形$ABCD$是平行四边形，故①正确。
2. 对结论②：若四边形$ABCD$是菱形，则对角线需互相垂直。由于$y=\frac{1}{x}$的图象仅分布在第一、三象限，所有过原点且与图象相交的直线斜率均为正，不存在两条过原点且斜率乘积为$-1$（即互相垂直）的直线同时与$y=\frac{1}{x}$相交，因此对角线无法互相垂直，四边形不可能是菱形，故②错误。
3. 对结论③：取点$A(2,\frac{1}{2})$、$B(\frac{1}{2},2)$、$C(-2,-\frac{1}{2})$、$D(-\frac{1}{2},-2)$，四点均在$y=\frac{1}{x}$上，此时对角线$AC=BD=\sqrt{17}$，对角线互相平分且相等，四边形$ABCD$是矩形，故③错误。
4. 对结论④：若四边形$ABCD$是正方形，则对角线需同时相等且互相垂直，由②可知对角线无法互相垂直，因此四边形不可能是正方形，故④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①④}$。

【分析】
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象特征：它是关于原点中心对称的双曲线，仅分布在第一、三象限。再结合特殊四边形的判定条件逐一分析四个结论：①判断平行四边形需验证对角线是否互相平分，利用反比例函数的中心对称性，可取两组关于原点对称的点即可满足对角线平分的要求；②判断菱形需对角线互相垂直，可分析过原点且与反比例函数图象相交的直线的特征，判断是否存在互相垂直的两条对角线；③判断矩形需对角线互相平分且相等，可尝试构造对角线长度相等的两组对称点验证；④正方形需同时满足矩形和菱形的判定条件，结合②的结论即可判断。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象关于原点中心对称，
1. 对结论①：取两组关于原点对称的点$A(a,\frac{1}{a})$、$C(-a,-\frac{1}{a})$，$B(b,\frac{1}{b})$、$D(-b,-\frac{1}{b})$（$a≠b$，且$a、b$均不为0），此时对角线$AC$、$BD$的中点均为原点，即对角线互相平分，因此四边形$ABCD$是平行四边形，故①正确。
2. 对结论②：若四边形$ABCD$是菱形，则对角线需互相垂直。由于$y=\frac{1}{x}$的图象仅分布在第一、三象限，所有过原点且与图象相交的直线的倾斜方向均为一、三象限，不存在两条过原点且互相垂直的直线同时与$y=\frac{1}{x}$相交，因此对角线无法互相垂直，四边形不可能是菱形，故②错误。
3. 对结论③：取点$A(2,\frac{1}{2})$、$B(\frac{1}{2},2)$、$C(-2,-\frac{1}{2})$、$D(-\frac{1}{2},-2)$，四点均在$y=\frac{1}{x}$的图象上，计算得对角线$AC=BD=\sqrt{(2+2)^2+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^2}=\sqrt{17}$，即对角线互相平分且相等，因此四边形$ABCD$是矩形，故③错误。
4. 对结论④：若四边形$ABCD$是正方形，则对角线需同时相等且互相垂直，由②可知对角线无法互相垂直，因此四边形不可能是正方形，故④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①④}$
【知识点】
反比例函数的性质；特殊四边形的判定；中心对称的性质
【点评】
本题综合考查反比例函数的图象性质与特殊四边形的判定，解题核心是利用反比例函数的中心对称性构造符合条件的点，再结合各类特殊四边形的判定定理逐一验证，能有效锻炼学生的知识综合运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6