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1.「2026江苏常州二十四中期中」已知$\odot O$的半径为5，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d的取值范围为（
A.$d＜5$
B.$d=5$
C.$d＞5$
D.$0≤ d＜5$
D
）A.$d＜5$
B.$d=5$
C.$d＞5$
D.$0≤ d＜5$
答案
1.D
∵点P在圆内,且⊙O的半径为5,
∴0≤d＜5.故选D.
∵点P在圆内,且⊙O的半径为5,
∴0≤d＜5.故选D.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确点与圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径；同时要注意，点到圆心的距离属于两点间的距离，具有非负性，最小可以为0（即点与圆心重合的情况），结合这两个条件就能确定d的取值范围，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
已知⊙O的半径r=5，点P在圆内，根据点在圆内的判定条件，可得点P到圆心的距离d ＜ r，也就是d ＜ 5；
又因为d表示点到圆心的距离，距离是非负数，因此d≥0；
综上，d的取值范围是0≤d＜5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；距离的非负性
【点评】
本题是基础概念题，主要考查点在圆内时距离与半径的大小关系，易错点是忽略距离的非负性，漏了d可以等于0的情况，误选A选项，解题时要注意结合几何量的实际意义分析问题。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确点与圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径；同时要注意，点到圆心的距离属于两点间的距离，具有非负性，最小可以为0（即点与圆心重合的情况），结合这两个条件就能确定d的取值范围，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
已知⊙O的半径r=5，点P在圆内，根据点在圆内的判定条件，可得点P到圆心的距离d ＜ r，也就是d ＜ 5；
又因为d表示点到圆心的距离，距离是非负数，因此d≥0；
综上，d的取值范围是0≤d＜5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；距离的非负性
【点评】
本题是基础概念题，主要考查点在圆内时距离与半径的大小关系，易错点是忽略距离的非负性，漏了d可以等于0的情况，误选A选项，解题时要注意结合几何量的实际意义分析问题。
【难度系数】
0.7
2.「2026江苏无锡宜兴期中」若点M是等腰△ABC的底边BC的中点，则点M与以AB为直径的圆的位置关系是（
A.在圆内
B.在圆上
C.在圆外
D.不能确定
B
）A.在圆内
B.在圆上
C.在圆外
D.不能确定
答案
2.B 如图,取AB的中点O,连接OM,AM,
∵AB=AC,点M是BC的中点,
∴AM⊥BC,
∵O为AB的中点,
∴OM=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB,
∴点M在⊙O上.故选B.
解析
【分析】
要判断点M与以AB为直径的圆的位置关系，核心是比较点M到圆心的距离与圆的半径的大小：若距离等于半径，则点在圆上。首先确定以AB为直径的圆的圆心是AB的中点O，半径为$\frac{1}{2}$AB；再结合已知条件，等腰△ABC中M是底边BC中点，可联想到等腰三角形三线合一得到AM⊥BC，即△AMB是直角三角形；最后利用直角三角形斜边中线的性质，推导OM的长度与半径的关系，即可得出结论。
【解析】
取AB的中点O（即⊙O的圆心），连接OM、AM。
∵AB=AC，点M是等腰△ABC底边BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AM⊥BC，即∠AMB=90°，△AMB为直角三角形。
∵O为AB的中点，在Rt△AMB中，斜边中线等于斜边的一半，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB，而⊙O的半径为$\frac{1}{2}$AB，
∴OM等于⊙O的半径，因此点M在⊙O上。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系判定；等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等腰三角形、直角三角形的性质与点和圆的位置关系判定相结合，解题的关键是合理作出辅助线，通过性质推导得到点到圆心的距离与半径相等，要熟练掌握各类基础几何性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
要判断点M与以AB为直径的圆的位置关系，核心是比较点M到圆心的距离与圆的半径的大小：若距离等于半径，则点在圆上。首先确定以AB为直径的圆的圆心是AB的中点O，半径为$\frac{1}{2}$AB；再结合已知条件，等腰△ABC中M是底边BC中点，可联想到等腰三角形三线合一得到AM⊥BC，即△AMB是直角三角形；最后利用直角三角形斜边中线的性质，推导OM的长度与半径的关系，即可得出结论。
【解析】
取AB的中点O（即⊙O的圆心），连接OM、AM。
∵AB=AC，点M是等腰△ABC底边BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AM⊥BC，即∠AMB=90°，△AMB为直角三角形。
∵O为AB的中点，在Rt△AMB中，斜边中线等于斜边的一半，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB，而⊙O的半径为$\frac{1}{2}$AB，
∴OM等于⊙O的半径，因此点M在⊙O上。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系判定；等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将等腰三角形、直角三角形的性质与点和圆的位置关系判定相结合，解题的关键是合理作出辅助线，通过性质推导得到点到圆心的距离与半径相等，要熟练掌握各类基础几何性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
3. 学科特色教材变式「2026江苏无锡江阴青阳中学月考」如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=12，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是
5＜r＜13
。答案
3.答案 5＜r＜13
解析 如图,连接BD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,CD=AB=12,
∵AD=5,
∴BD=$\sqrt{AD^2+AB^2}$=$\sqrt{5^2+12^2}$=13,
∵顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,
∴r的取值范围为5＜r＜13.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用点与圆的位置关系的判定规则：点到圆心的距离d＜半径r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外。本题中圆心为D，我们先计算A、B、C三个点到D的距离，三个距离里最小的是AD=5，最大的是对角线BD=13。要满足“至少一个点在圆内、至少一个点在圆外”，只需要让r大于最小距离（保证距离最小的点在圆内），同时小于最大距离（保证距离最大的点在圆外），即可得到r的取值范围。
【解析】
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，CD=AB=12，
又
∵AD=5，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
由此可得三个顶点到圆心D的距离分别为：$DA=5$，$DC=12$，$DB=13$。
∵要求A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，
∴半径r需要大于最小的距离5，且小于最大的距离13，即$5＜r＜13$。
【答案】
$5＜r＜13$
【知识点】
点与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的典型应用，解题的核心是先确定各点到圆心的距离，再结合题目给出的位置要求推导半径范围，能很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用点与圆的位置关系的判定规则：点到圆心的距离d＜半径r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外。本题中圆心为D，我们先计算A、B、C三个点到D的距离，三个距离里最小的是AD=5，最大的是对角线BD=13。要满足“至少一个点在圆内、至少一个点在圆外”，只需要让r大于最小距离（保证距离最小的点在圆内），同时小于最大距离（保证距离最大的点在圆外），即可得到r的取值范围。
【解析】
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，CD=AB=12，
又
∵AD=5，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
由此可得三个顶点到圆心D的距离分别为：$DA=5$，$DC=12$，$DB=13$。
∵要求A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，
∴半径r需要大于最小的距离5，且小于最大的距离13，即$5＜r＜13$。
【答案】
$5＜r＜13$
【知识点】
点与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的典型应用，解题的核心是先确定各点到圆心的距离，再结合题目给出的位置要求推导半径范围，能很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
4.如图,点A表示一座风景秀美的小山,市政府计划以点A为中心,修建一个半径为12 km的“桃园山庄”.因此,在此范围内的其他建筑物将被拆除.从点A出发向东走8 km,再向南走6 km有一砖厂B,砖厂B的正东方向3 km处有一古塔C,问砖厂和古塔是否需要拆除?
答案
4.解析 以点A为圆心,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向,建立平面直角坐标系,连接AB,AC,过点B,C分别作x轴、y轴的垂线(图略),则AB=$\sqrt{8^2+6^2}$=10(km),AC=$\sqrt{(8+3)^2+6^2}$=$\sqrt{157}$(km),
∵10＜12,
∴砖厂需要拆除,
∵$\sqrt{157}$＞12,
∴古塔不需要拆除.
∵10＜12,
∴砖厂需要拆除,
∵$\sqrt{157}$＞12,
∴古塔不需要拆除.
解析
【分析】
要判断砖厂和古塔是否需要拆除，本质是判断点B、点C与以A为圆心、半径12km的圆的位置关系：若点到圆心的距离小于半径，点在圆内，需要拆除；若大于等于半径，则不需要拆除。首先以点A为原点建立平面直角坐标系，确定B、C两点的坐标，再利用勾股定理分别计算AB、AC的长度，最后将长度与半径12km比较即可得出结论。
【解析】
以点A为原点，正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系：
由题意可知，点B的坐标为$(8, -6)$，点C在B的正东3km处，故点C的坐标为$(8+3, -6)$即$(11, -6)$。
根据勾股定理计算两点到A的距离：
$AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10(\mathrm{km})$
$AC=\sqrt{11^2+6^2}=\sqrt{121+36}=\sqrt{157}(\mathrm{km})$
∵$10＜12$，即点B到A的距离小于半径，
∴砖厂B在“桃园山庄”范围内，需要拆除；
∵$\sqrt{157}＞12$，即点C到A的距离大于半径，
∴古塔C不在“桃园山庄”范围内，不需要拆除。
【答案】
砖厂需要拆除，古塔不需要拆除。
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理的应用；平面直角坐标系的应用
【点评】
本题是生活实际与数学知识结合的典型题型，解题核心是将实际问题转化为点与圆位置关系的判定问题，通过建模、计算、比较三步即可得到结果，侧重考查学生将知识应用于实际的能力。
【难度系数】
0.8
要判断砖厂和古塔是否需要拆除，本质是判断点B、点C与以A为圆心、半径12km的圆的位置关系：若点到圆心的距离小于半径，点在圆内，需要拆除；若大于等于半径，则不需要拆除。首先以点A为原点建立平面直角坐标系，确定B、C两点的坐标，再利用勾股定理分别计算AB、AC的长度，最后将长度与半径12km比较即可得出结论。
【解析】
以点A为原点，正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系：
由题意可知，点B的坐标为$(8, -6)$，点C在B的正东3km处，故点C的坐标为$(8+3, -6)$即$(11, -6)$。
根据勾股定理计算两点到A的距离：
$AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10(\mathrm{km})$
$AC=\sqrt{11^2+6^2}=\sqrt{121+36}=\sqrt{157}(\mathrm{km})$
∵$10＜12$，即点B到A的距离小于半径，
∴砖厂B在“桃园山庄”范围内，需要拆除；
∵$\sqrt{157}＞12$，即点C到A的距离大于半径，
∴古塔C不在“桃园山庄”范围内，不需要拆除。
【答案】
砖厂需要拆除，古塔不需要拆除。
【知识点】
点与圆的位置关系判定；勾股定理的应用；平面直角坐标系的应用
【点评】
本题是生活实际与数学知识结合的典型题型，解题核心是将实际问题转化为点与圆位置关系的判定问题，通过建模、计算、比较三步即可得到结果，侧重考查学生将知识应用于实际的能力。
【难度系数】
0.8
5. 学科特色易错题「2026江苏无锡惠山月考改编，★☆」已知$\odot O$的半径为3，点$P$到圆心$O$的距离恰好是一元二次方程$x^2 -4x -8=0$的根，则点$P$与$\odot O$的位置关系是（
A.点$P$在$\odot O$的内部
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$的外部
D.点$P$在$\odot O$的内部或点$P$在$\odot O$的外部
C
）A.点$P$在$\odot O$的内部
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$的外部
D.点$P$在$\odot O$的内部或点$P$在$\odot O$的外部
答案
5.C 解方程$x^2-4x-8=0$,得$x_1=2+2\sqrt{3}$,$x_2=2-2\sqrt{3}$,
∵点P到圆心O的距离大于0,
∴$x=2+2\sqrt{3}$,
∵$2+2\sqrt{3}＞3$,即点P到圆心O的距离大于半径,
∴点P在⊙O的外部.故选C.
易错警示 虽然本题的方程有两个根,但是距离必须大于0,因此需要根据题意对方程根进行取舍,避免因忽略实际条件而选错答案.
∵点P到圆心O的距离大于0,
∴$x=2+2\sqrt{3}$,
∵$2+2\sqrt{3}＞3$,即点P到圆心O的距离大于半径,
∴点P在⊙O的外部.故选C.
易错警示 虽然本题的方程有两个根,但是距离必须大于0,因此需要根据题意对方程根进行取舍,避免因忽略实际条件而选错答案.
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，首先要明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若$d＜r$则点在圆内，$d=r$则点在圆上，$d＞r$则点在圆外。解题分三步进行：第一步求解一元二次方程，得到点P到圆心O距离的可能值；第二步结合“距离为正数”的实际意义，舍去不符合题意的根；第三步将有效距离值与半径3比较大小，即可对应判定位置关系。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 -4x -8=0$：
用配方法解方程，移项得$x^2 -4x = 8$，
配方得$x^2 -4x +4 = 8+4$，即$(x-2)^2=12$，
开方得$x-2 = ±2\sqrt{3}$，
解得$x_1=2+2\sqrt{3}$，$x_2=2-2\sqrt{3}$。
2. 结合实际意义取舍根：
点P到圆心O的距离为正数，而$2-2\sqrt{3}＜0$，不符合距离的定义，因此舍去负根，可得点P到O的距离$d=2+2\sqrt{3}$。
3. 比较距离与半径的大小：
已知$\odot O$的半径$r=3$，$\sqrt{3}≈1.732$，因此$2+2\sqrt{3}≈5.464＞3$，即$d＞r$，故点P在$\odot O$的外部。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；一元二次方程的求解；无理数大小比较
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略“距离为正”的实际条件，不对一元二次方程的根进行取舍，从而误选D。解题时需先结合实际意义筛选有效根，再根据点和圆的位置关系判定规则判断即可。
【难度系数】
0.6
要判断点P与$\odot O$的位置关系，首先要明确判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若$d＜r$则点在圆内，$d=r$则点在圆上，$d＞r$则点在圆外。解题分三步进行：第一步求解一元二次方程，得到点P到圆心O距离的可能值；第二步结合“距离为正数”的实际意义，舍去不符合题意的根；第三步将有效距离值与半径3比较大小，即可对应判定位置关系。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 -4x -8=0$：
用配方法解方程，移项得$x^2 -4x = 8$，
配方得$x^2 -4x +4 = 8+4$，即$(x-2)^2=12$，
开方得$x-2 = ±2\sqrt{3}$，
解得$x_1=2+2\sqrt{3}$，$x_2=2-2\sqrt{3}$。
2. 结合实际意义取舍根：
点P到圆心O的距离为正数，而$2-2\sqrt{3}＜0$，不符合距离的定义，因此舍去负根，可得点P到O的距离$d=2+2\sqrt{3}$。
3. 比较距离与半径的大小：
已知$\odot O$的半径$r=3$，$\sqrt{3}≈1.732$，因此$2+2\sqrt{3}≈5.464＞3$，即$d＞r$，故点P在$\odot O$的外部。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系；一元二次方程的求解；无理数大小比较
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略“距离为正”的实际条件，不对一元二次方程的根进行取舍，从而误选D。解题时需先结合实际意义筛选有效根，再根据点和圆的位置关系判定规则判断即可。
【难度系数】
0.6
6.「★☆」如图，已知P是$\odot O$外一点，Q是$\odot O$上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM，若$\odot O$的半径为4，$OP=8$，则线段OM的最小值是（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
6.A 设OP与⊙O交于点N,连接MN,OQ,如图.
∵OP=8,ON=4,
∴N是OP的中点.又
∵M是PQ的中点,
∴MN为△POQ的中位线,
∴MN=$\frac{1}{2}OQ$=$\frac{1}{2}×4=2$,
∴点M在以N为圆心,2为半径的圆上.易知当点M在ON上时,OM的值最小,最小值为4-2=2,
∴线段OM的最小值为2.故选A.
解析
【分析】
要计算定点O到动点M的最短距离，首先需要确定M的运动轨迹。已知M是PQ的中点，Q是⊙O上的动点，我们可以取OP的中点N，构造△POQ的中位线MN。由中位线性质可得MN长度为定值，因此M的轨迹是以N为圆心、MN长为半径的圆，再根据“定点到圆上点的最短距离=定点到圆心的距离-圆的半径”即可求出OM的最小值。
【解析】
设OP与$\odot O$交于点N，连接MN、OQ，如图。
∵$\odot O$的半径为4，
∴$ON=OQ=4$。
已知$OP=8$，因此N是OP的中点。
又
∵M是PQ的中点，
∴MN是$△ POQ$的中位线，
根据三角形中位线定理得：$MN=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}×4=2$。
由此可知点M的运动轨迹是以N为圆心，2为半径的圆。
当点M在线段ON上时，OM取得最小值，最小值为$ON - MN = 4 - 2 = 2$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，动点轨迹判断，点到圆的最短距离
【点评】
本题核心是通过构造中位线确定动点的运动轨迹，将未知的线段最值问题转化为点到圆的最短距离问题，体现了几何中转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要计算定点O到动点M的最短距离，首先需要确定M的运动轨迹。已知M是PQ的中点，Q是⊙O上的动点，我们可以取OP的中点N，构造△POQ的中位线MN。由中位线性质可得MN长度为定值，因此M的轨迹是以N为圆心、MN长为半径的圆，再根据“定点到圆上点的最短距离=定点到圆心的距离-圆的半径”即可求出OM的最小值。
【解析】
设OP与$\odot O$交于点N，连接MN、OQ，如图
。∵$\odot O$的半径为4，
∴$ON=OQ=4$。
已知$OP=8$，因此N是OP的中点。
又
∵M是PQ的中点，
∴MN是$△ POQ$的中位线，
根据三角形中位线定理得：$MN=\frac{1}{2}OQ=\frac{1}{2}×4=2$。
由此可知点M的运动轨迹是以N为圆心，2为半径的圆。
当点M在线段ON上时，OM取得最小值，最小值为$ON - MN = 4 - 2 = 2$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，动点轨迹判断，点到圆的最短距离
【点评】
本题核心是通过构造中位线确定动点的运动轨迹，将未知的线段最值问题转化为点到圆的最短距离问题，体现了几何中转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
7.「2026江苏南京溧水一中月考，★☆」已知点P到圆上的最远距离是5 cm，最近距离是1 cm，则此圆的半径是
3 cm或2 cm
。答案
7.答案 3 cm或2 cm
解析 当点P在圆内时,
∵点P到圆上的最远距离是5 cm,最近距离是1 cm,
∴圆的直径为5+1=6(cm),
∴圆的半径为3 cm;当点P在圆外时,
∵点P到圆上的最远距离是5 cm,最近距离是1 cm,
∴圆的直径为5-1=4(cm),
∴圆的半径为2 cm.综上,圆的半径为3 cm或2 cm.
解析 当点P在圆内时,
∵点P到圆上的最远距离是5 cm,最近距离是1 cm,
∴圆的直径为5+1=6(cm),
∴圆的半径为3 cm;当点P在圆外时,
∵点P到圆上的最远距离是5 cm,最近距离是1 cm,
∴圆的直径为5-1=4(cm),
∴圆的半径为2 cm.综上,圆的半径为3 cm或2 cm.
解析
【分析】
本题需要结合点与圆的位置关系分类讨论求解。首先明确点到圆上的最远距离和最近距离，都是过该点与圆心的直线和圆相交得到的两个交点到该点的距离，因此需要分点P在圆内、点P在圆外两种情况分别计算直径，再求出半径即可，注意不要遗漏任何一种情况。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
①当点P在圆内时，
∵点P到圆上的最远距离为5cm，最近距离为1cm，
∴此时圆的直径为最远距离加最近距离，即$d=5+1=6\mathrm{cm}$，
∴圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\mathrm{cm}$；
②当点P在圆外时，
∵点P到圆上的最远距离为5cm，最近距离为1cm，
∴此时圆的直径为最远距离减最近距离，即$d=5-1=4\mathrm{cm}$，
∴圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{4}{2}=2\mathrm{cm}$。
综上，此圆的半径为3cm或2cm。
【答案】
3 cm或2 cm
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的半径与直径的关系
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确点与圆的不同位置关系，结合题意分类讨论点在圆内、圆外两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合点与圆的位置关系分类讨论求解。首先明确点到圆上的最远距离和最近距离，都是过该点与圆心的直线和圆相交得到的两个交点到该点的距离，因此需要分点P在圆内、点P在圆外两种情况分别计算直径，再求出半径即可，注意不要遗漏任何一种情况。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
①当点P在圆内时，
∵点P到圆上的最远距离为5cm，最近距离为1cm，
∴此时圆的直径为最远距离加最近距离，即$d=5+1=6\mathrm{cm}$，
∴圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\mathrm{cm}$；
②当点P在圆外时，
∵点P到圆上的最远距离为5cm，最近距离为1cm，
∴此时圆的直径为最远距离减最近距离，即$d=5-1=4\mathrm{cm}$，
∴圆的半径$r=\frac{d}{2}=\frac{4}{2}=2\mathrm{cm}$。
综上，此圆的半径为3cm或2cm。
【答案】
3 cm或2 cm
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的半径与直径的关系
【点评】
本题是易错题，解题的关键是明确点与圆的不同位置关系，结合题意分类讨论点在圆内、圆外两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8.「2026江苏连云港东海月考，★☆」设$\odot O$的半径为2，点P到圆心的距离$OP=m$，且$m$使关于$x$的方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根，试确定点P与$\odot O$的位置关系。
答案
8.解析 由题意可知$(-2\sqrt{2})^2-4×2×(m-1)＞0$,解得$m＜2$,又
∵⊙O的半径为2,
∴点P在⊙O内.
∵⊙O的半径为2,
∴点P在⊙O内.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程有两个不相等实数根的性质，利用根的判别式Δ＞0列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围；第二步，结合点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外，将m的取值与⊙O的半径2比较，即可确定点P的位置。
【解析】
解：
∵关于x的方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，
其中$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=m-1$，代入得：
$(-2\sqrt{2})^2 - 4×2×(m-1) ＞ 0$
计算化简得：$8 - 8(m-1) ＞ 0$
$16 - 8m ＞ 0$
解得$m ＜ 2$
又
∵$\odot O$的半径为2，点P到圆心的距离$OP=m＜2$
∴点P在$\odot O$内部。
【答案】
点P在$\odot O$内
【知识点】
一元二次方程根的判别式；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于代数与几何的基础综合题，结合了一元二次方程根的判定和点与圆位置关系两个基础考点，只要掌握相关核心规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程有两个不相等实数根的性质，利用根的判别式Δ＞0列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围；第二步，结合点与圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外，将m的取值与⊙O的半径2比较，即可确定点P的位置。
【解析】
解：
∵关于x的方程$2x^2 - 2\sqrt{2}x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，
其中$a=2$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=m-1$，代入得：
$(-2\sqrt{2})^2 - 4×2×(m-1) ＞ 0$
计算化简得：$8 - 8(m-1) ＞ 0$
$16 - 8m ＞ 0$
解得$m ＜ 2$
又
∵$\odot O$的半径为2，点P到圆心的距离$OP=m＜2$
∴点P在$\odot O$内部。
【答案】
点P在$\odot O$内
【知识点】
一元二次方程根的判别式；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于代数与几何的基础综合题，结合了一元二次方程根的判定和点与圆位置关系两个基础考点，只要掌握相关核心规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
