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8.「2025福建福州期中」如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ BAD = 90°$,$BC = 2$,$CD = 3$,则$\odot O$的直径为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{5}$
C
）A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{5}$
答案
8.C 如图,连接 BD,
$\because ∠ BAD=90°$,
$\therefore BD$ 是 $\odot O$ 的直径,$∠ BCD=90°$,
$\because BC=2$,$CD=3$,$\therefore BD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,
即 $\odot O$ 的直径为 $\sqrt{13}$.故选 C.
解析
【分析】
拿到题目首先看已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠BAD=90°。首先回忆圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，所以我们可以先连接BD，就能确定BD是⊙O的直径；接下来，根据圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD和∠BCD是对角，所以∠BCD=180°-90°=90°，即△BCD是直角三角形，已知BC和CD的长度，直接用勾股定理计算斜边BD的长度，就得到了⊙O的直径长度，对应选项即可。
【解析】
解：如图，连接BD，
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，
∴ BD是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ ∠BCD=90°（圆内接四边形对角互补，或直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△BCD中，BC=2，CD=3，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
即⊙O的直径为$\sqrt{13}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，圆内接四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题核心是利用90°圆周角对应直径的性质作辅助线，将直径求解转化为直角三角形斜边计算，这类辅助线作法在圆的长度计算类题型中非常常见，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先看已知条件：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠BAD=90°。首先回忆圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，所以我们可以先连接BD，就能确定BD是⊙O的直径；接下来，根据圆内接四边形对角互补的性质，∠BAD和∠BCD是对角，所以∠BCD=180°-90°=90°，即△BCD是直角三角形，已知BC和CD的长度，直接用勾股定理计算斜边BD的长度，就得到了⊙O的直径长度，对应选项即可。
【解析】
解：如图，连接BD，
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，
∴ BD是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴ ∠BCD=90°（圆内接四边形对角互补，或直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△BCD中，BC=2，CD=3，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，
即⊙O的直径为$\sqrt{13}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，圆内接四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题核心是利用90°圆周角对应直径的性质作辅助线，将直径求解转化为直角三角形斜边计算，这类辅助线作法在圆的长度计算类题型中非常常见，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
9.如图,矩形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,点 $E$ 在$\odot O$ 上, $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}$,连接 $AE,BE,CE,AD$ 分别交 $BE,CE$ 于点 $F,G$.
(1)求证:$BC=CE$.
(2)若 $AF=1,FG=3$,求$\odot O$ 的半径.
(1)求证:$BC=CE$.
(2)若 $AF=1,FG=3$,求$\odot O$ 的半径.
答案
9.解析 (1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore AB=CD$,$AD=BC$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
$\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$.
$\therefore \overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}$,即 $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$.
$\therefore AD=CE$,$\therefore BC=CE$.
(2)如图,连接 $AC$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore ∠ ADC=90°$,$AD// BC$,
$\therefore AC$ 是直径,$∠ AEC=90°$.
$\because BC=CE$,$\therefore ∠ BEC=∠ CBE$.
$\because AD// BC$,$\therefore ∠ EFG=∠ CBE$,
$\therefore ∠ EFG=∠ BEC$,$\therefore GE=GF=3$.
在 $Rt△ AEG$ 中,$AG=AF+FG=1+3=4$,$GE=3$,
$\therefore AE=\sqrt{AG^2-EG^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$.
由(1)得,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore AE=CD=\sqrt{7}$,
又 $\because ∠ AGE=∠ CGD$,$∠ AEG=∠ CDG$,
$\therefore △ AGE≌ △ CGD(\mathrm{AAS})$,
$\therefore GD=GE=3$,$\therefore AD=7$,
在 $Rt△ ACD$ 中,$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{7^2+(\sqrt{7})^2}=2\sqrt{14}$.
$\therefore \odot O$ 的半径为 $\sqrt{14}$.
解析
【分析】
(1)要证明$BC=CE$，可利用圆中“等弧对等弦”的性质推导：首先根据矩形对边相等得到对应弧相等，结合已知$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}$，通过弧的和差关系推导出$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AD}$，再结合矩形对边$AD=BC$即可得证。
(2)求$\odot O$的半径，矩形外接圆的直径为矩形的对角线$AC$，因此只需算出$AC$的长度即可。首先连接$AC$，由矩形性质可知$AC$是直径，得$∠ AEC=90°$；再结合$AD// BC$、$BC=CE$推导得$△ EFG$为等腰三角形，可得$GE=FG=3$；接着在$Rt△ AEG$中用勾股定理求出$AE$的长，由等弧对等弦得$AE=CD$，再证明$△ AGE≌△ CGD$求出$GD$的长，得到$AD$的总长；最后在$Rt△ ACD$中用勾股定理求出$AC$，除以2即为$\odot O$的半径。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AB=CD$，$AD=BC$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$。
$\therefore \overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}$，即 $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$。
$\therefore AD=CE$，$\therefore BC=CE$。
(2)如图，连接 $AC$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore ∠ ADC=90°$，$AD// BC$，
$\therefore AC$ 是$\odot O$的直径，$∠ AEC=90°$。
$\because BC=CE$，$\therefore ∠ BEC=∠ CBE$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EFG=∠ CBE$，
$\therefore ∠ EFG=∠ BEC$，$\therefore GE=GF=3$。
在 $Rt△ AEG$ 中，$AG=AF+FG=1+3=4$，$GE=3$，
$\therefore AE=\sqrt{AG^2-EG^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
由(1)得，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AE=CD=\sqrt{7}$，
又 $\because ∠ AGE=∠ CGD$，$∠ AEG=∠ CDG$，
$\therefore △ AGE≌ △ CGD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore GD=GE=3$，$\therefore AD=AF+FG+GD=1+3+3=7$，
在 $Rt△ ACD$ 中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{7^2+(\sqrt{7})^2}=2\sqrt{14}$。
$\therefore \odot O$ 的半径为 $\frac{1}{2}AC=\sqrt{14}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\odot O$的半径为$\sqrt{14}$。
【知识点】
1. 弧与弦的关系
2. 矩形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆与四边形结合的综合题型，解题核心是灵活转化圆中弧、弦的等量关系，结合矩形性质构造直角，借助等腰三角形判定、全等三角形、勾股定理求解线段长度，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)要证明$BC=CE$，可利用圆中“等弧对等弦”的性质推导：首先根据矩形对边相等得到对应弧相等，结合已知$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}$，通过弧的和差关系推导出$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AD}$，再结合矩形对边$AD=BC$即可得证。
(2)求$\odot O$的半径，矩形外接圆的直径为矩形的对角线$AC$，因此只需算出$AC$的长度即可。首先连接$AC$，由矩形性质可知$AC$是直径，得$∠ AEC=90°$；再结合$AD// BC$、$BC=CE$推导得$△ EFG$为等腰三角形，可得$GE=FG=3$；接着在$Rt△ AEG$中用勾股定理求出$AE$的长，由等弧对等弦得$AE=CD$，再证明$△ AGE≌△ CGD$求出$GD$的长，得到$AD$的总长；最后在$Rt△ ACD$中用勾股定理求出$AC$，除以2即为$\odot O$的半径。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AB=CD$，$AD=BC$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}$，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$。
$\therefore \overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}$，即 $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CE}$。
$\therefore AD=CE$，$\therefore BC=CE$。
(2)如图，连接 $AC$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore ∠ ADC=90°$，$AD// BC$，
$\therefore AC$ 是$\odot O$的直径，$∠ AEC=90°$。
$\because BC=CE$，$\therefore ∠ BEC=∠ CBE$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ EFG=∠ CBE$，
$\therefore ∠ EFG=∠ BEC$，$\therefore GE=GF=3$。
在 $Rt△ AEG$ 中，$AG=AF+FG=1+3=4$，$GE=3$，
$\therefore AE=\sqrt{AG^2-EG^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
由(1)得，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AE=CD=\sqrt{7}$，
又 $\because ∠ AGE=∠ CGD$，$∠ AEG=∠ CDG$，
$\therefore △ AGE≌ △ CGD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore GD=GE=3$，$\therefore AD=AF+FG+GD=1+3+3=7$，
在 $Rt△ ACD$ 中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{7^2+(\sqrt{7})^2}=2\sqrt{14}$。
$\therefore \odot O$ 的半径为 $\frac{1}{2}AC=\sqrt{14}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\odot O$的半径为$\sqrt{14}$。
【知识点】
1. 弧与弦的关系
2. 矩形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆与四边形结合的综合题型，解题核心是灵活转化圆中弧、弦的等量关系，结合矩形性质构造直角，借助等腰三角形判定、全等三角形、勾股定理求解线段长度，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10.「2026江苏苏州振华中学月考」如图，A,B,C,D四点均在$\odot O$上，$∠ AOD=68°$，$AO// DC$，则$∠ B$的度数为（
A.$62°$
B.$56°$
C.$34°$
D.$54°$
B
）A.$62°$
B.$56°$
C.$34°$
D.$54°$
答案
10.B 如图,连接 $AD$,$\because ∠ AOD = 68°$,$AO // DC$,
$\therefore ∠ ODC=∠ AOD = 68°$,$\because OA = OD$,$\therefore ∠ ADO = \frac{180°-∠ AOD}{2} = \frac{180°-68°}{2} = 56°$,$\therefore ∠ ADC = ∠ ADO + ∠ ODC=56°+68°=124°$,$\because$ 四边形 $ADCB$ 是圆内接四边形,$\therefore ∠ B=180°-∠ ADC=180°-124°=56°$.故选 B.
解析
【分析】
要求∠B的度数，观察可知∠B是圆内接四边形ADCB的内角，根据圆内接四边形对角互补的性质，只需求出∠ADC的度数即可。∠ADC由∠ADO和∠ODC组成：①由AO//DC，利用平行线内错角相等可直接得到∠ODC=∠AOD=68°；②OA、OD都是⊙O的半径，故△AOD是等腰三角形，结合已知∠AOD的度数，利用等腰三角形两底角相等可求出∠ADO的度数；两者相加得到∠ADC后，即可根据圆内接四边形性质求出∠B。
【解析】
解：如图，连接AD，
∵ $∠ AOD=68°$，$AO// DC$，
∴ $∠ ODC=∠ AOD=68°$（两直线平行，内错角相等），
∵ $OA=OD$（同圆的半径相等），
∴ $△ AOD$为等腰三角形，
∴ $∠ ADO = \frac{180°-∠ AOD}{2} = \frac{180°-68°}{2} = 56°$，
∴ $∠ ADC = ∠ ADO + ∠ ODC = 56°+68°=124°$，
∵ 四边形$ADCB$是圆内接四边形，
∴ $∠ B + ∠ ADC=180°$（圆内接四边形对角互补），
∴ $∠ B=180°-∠ ADC=180°-124°=56°$。
故选B。
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形性质；圆内接四边形的性质
【点评】本题是圆与三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过添加辅助线AD，将待求角与已知条件关联，结合平行线、等腰三角形、圆内接四边形的性质逐步推导角度，是圆相关角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
要求∠B的度数，观察可知∠B是圆内接四边形ADCB的内角，根据圆内接四边形对角互补的性质，只需求出∠ADC的度数即可。∠ADC由∠ADO和∠ODC组成：①由AO//DC，利用平行线内错角相等可直接得到∠ODC=∠AOD=68°；②OA、OD都是⊙O的半径，故△AOD是等腰三角形，结合已知∠AOD的度数，利用等腰三角形两底角相等可求出∠ADO的度数；两者相加得到∠ADC后，即可根据圆内接四边形性质求出∠B。
【解析】
解：如图，连接AD，
∵ $∠ AOD=68°$，$AO// DC$，
∴ $∠ ODC=∠ AOD=68°$（两直线平行，内错角相等），
∵ $OA=OD$（同圆的半径相等），
∴ $△ AOD$为等腰三角形，
∴ $∠ ADO = \frac{180°-∠ AOD}{2} = \frac{180°-68°}{2} = 56°$，
∴ $∠ ADC = ∠ ADO + ∠ ODC = 56°+68°=124°$，
∵ 四边形$ADCB$是圆内接四边形，
∴ $∠ B + ∠ ADC=180°$（圆内接四边形对角互补），
∴ $∠ B=180°-∠ ADC=180°-124°=56°$。
故选B。
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形性质；圆内接四边形的性质
【点评】本题是圆与三角形性质的综合应用题，解题的关键是通过添加辅助线AD，将待求角与已知条件关联，结合平行线、等腰三角形、圆内接四边形的性质逐步推导角度，是圆相关角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
11.如图,点A,B,C,D,E都是$\odot O$上的点,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$, $∠ B=122°$,则$∠ D=$ (
A.$58°$
B.$116°$
C.$122°$
D.$128°$
B
)A.$58°$
B.$116°$
C.$122°$
D.$128°$
答案
11.B 如图,连接 $AC$,$CE$.
$\because$ 点 $A$,$B$,$C$,$E$ 都是 $\odot O$ 上的点,
$\therefore ∠ AEC=180°-∠ B=58°$,
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$,$\therefore ∠ ACE = ∠ AEC = 58°$,$\therefore ∠ CAE = 180°-58°-58°= 64°$,$\because$ 点 $A$,$C$,$D$,$E$ 都是 $\odot O$ 上的点,$\therefore ∠ D=180°-∠ CAE=180°-64°=116°$,故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察到所有点都在圆上，优先考虑圆内接四边形对角互补的性质。已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，可推出它们所对的圆周角相等，因此需要添加辅助线$AC$、$CE$，把弧的等量关系转化为角的等量关系。第一步先利用四边形$ABCE$是圆内接四边形，结合已知$∠ B$的度数求出$∠ AEC$的度数；第二步根据等弧对等圆周角得到$∠ ACE=∠ AEC$，利用三角形内角和求出$∠ CAE$的度数；第三步再利用四边形$ACDE$是圆内接四边形，对角互补即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
解：如图，连接$AC$，$CE$。
$\because$ 点$A$、$B$、$C$、$E$都在$\odot O$上，即四边形$ABCE$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ B + ∠ AEC = 180°$，
$\because ∠ B=122°$，$\therefore ∠ AEC = 180° - 122° = 58°$。
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，
$\therefore$ 弧$AC$和弧$AE$所对的圆周角相等，即$∠ ACE = ∠ AEC = 58°$。
在$△ ACE$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ CAE = 180° - ∠ ACE - ∠ AEC = 180° - 58° - 58° = 64°$。
又$\because$ 点$A$、$C$、$D$、$E$都在$\odot O$上，即四边形$ACDE$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ D + ∠ CAE = 180°$，
$\therefore ∠ D = 180° - 64° = 116°$。
故选：B。
【答案】
11.B 如图,连接 $AC$,$CE$.
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查圆的相关性质的综合应用，解题的关键是合理添加辅助线，构造圆内接四边形，将弧的等量关系转化为角的等量关系，逐步建立已知角和未知角之间的联系，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先观察到所有点都在圆上，优先考虑圆内接四边形对角互补的性质。已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，可推出它们所对的圆周角相等，因此需要添加辅助线$AC$、$CE$，把弧的等量关系转化为角的等量关系。第一步先利用四边形$ABCE$是圆内接四边形，结合已知$∠ B$的度数求出$∠ AEC$的度数；第二步根据等弧对等圆周角得到$∠ ACE=∠ AEC$，利用三角形内角和求出$∠ CAE$的度数；第三步再利用四边形$ACDE$是圆内接四边形，对角互补即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
解：如图，连接$AC$，$CE$。
$\because$ 点$A$、$B$、$C$、$E$都在$\odot O$上，即四边形$ABCE$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ B + ∠ AEC = 180°$，
$\because ∠ B=122°$，$\therefore ∠ AEC = 180° - 122° = 58°$。
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，
$\therefore$ 弧$AC$和弧$AE$所对的圆周角相等，即$∠ ACE = ∠ AEC = 58°$。
在$△ ACE$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ CAE = 180° - ∠ ACE - ∠ AEC = 180° - 58° - 58° = 64°$。
又$\because$ 点$A$、$C$、$D$、$E$都在$\odot O$上，即四边形$ACDE$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ D + ∠ CAE = 180°$，
$\therefore ∠ D = 180° - 64° = 116°$。
故选：B。
【答案】
11.B 如图,连接 $AC$,$CE$.
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查圆的相关性质的综合应用，解题的关键是合理添加辅助线，构造圆内接四边形，将弧的等量关系转化为角的等量关系，逐步建立已知角和未知角之间的联系，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
12.「2026江苏徐州期中」如图，AB为圆O的一条弦，∠ACB=45°，若圆O的直径为10，则AB=
5√2
。答案
12.答案 $5\sqrt{2}$
解析 如图,连接 $AO$ 并延长,交 $\odot O$ 于点 $D$,连接 $BD$,
$\because AD$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ABD=90°$,$\because ∠ ACB=45°$,
$\therefore ∠ D=∠ ACB=45°$,$\therefore AB=BD$,$\because \odot O$ 的直径为 $10$,
$\therefore AD=10$,在 $Rt△ ABD$ 中,$AB^2+BD^2=AD^2=10^2$,
$\therefore AB=BD=5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要求弦AB的长度，已知圆周角∠ACB=45°和圆的直径，我们可以通过构造辅助线转化条件：首先利用直径所对的圆周角为直角的性质，作过点A的直径AD，连接BD得到Rt△ABD；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠D=∠ACB=45°，由此判断△ABD为等腰直角三角形，最后结合勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
如图，连接 $AO$ 并延长，交 $\odot O$ 于点 $D$，连接 $BD$，
$\because AD$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ABD=90°$，
$\because ∠ ACB$ 和 $∠ D$ 都是弧AB所对的圆周角，$\therefore ∠ D=∠ ACB=45°$，
$\therefore △ ABD$ 是等腰直角三角形，$AB=BD$，
$\because \odot O$ 的直径为 $10$，$\therefore AD=10$，
在 $Rt△ ABD$ 中，由勾股定理得 $AB^2+BD^2=AD^2=10^2$，
代入$AB=BD$得$2AB^2=100$，解得$AB=5\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及推论、勾股定理
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题关键是掌握“作直径构造直角三角形”的常用辅助线做法，结合圆周角的性质和勾股定理即可求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
要求弦AB的长度，已知圆周角∠ACB=45°和圆的直径，我们可以通过构造辅助线转化条件：首先利用直径所对的圆周角为直角的性质，作过点A的直径AD，连接BD得到Rt△ABD；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠D=∠ACB=45°，由此判断△ABD为等腰直角三角形，最后结合勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
如图，连接 $AO$ 并延长，交 $\odot O$ 于点 $D$，连接 $BD$，
$\because AD$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ABD=90°$，
$\because ∠ ACB$ 和 $∠ D$ 都是弧AB所对的圆周角，$\therefore ∠ D=∠ ACB=45°$，
$\therefore △ ABD$ 是等腰直角三角形，$AB=BD$，
$\because \odot O$ 的直径为 $10$，$\therefore AD=10$，
在 $Rt△ ABD$ 中，由勾股定理得 $AB^2+BD^2=AD^2=10^2$，
代入$AB=BD$得$2AB^2=100$，解得$AB=5\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理及推论、勾股定理
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题关键是掌握“作直径构造直角三角形”的常用辅助线做法，结合圆周角的性质和勾股定理即可求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
13.学科特色多解法「2026江苏扬州期中」如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，OD是半径，且$OD// AC$。求证：$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$。
答案
13.证明 【证法一】如图,连接 $OC$,
$\because OD// AC$,$\therefore ∠ BOD=∠ A$,$∠ COD=∠ C$,
$\because OA=OC$,$\therefore ∠ A=∠ C$,
$\therefore ∠ COD=∠ BOD$,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$.
【证法二】如图,连接 $AD$,
$\because OD// AC$,$\therefore ∠ CAD=∠ D$,
$\because OA=OD$,$\therefore ∠ BAD=∠ D$,
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$.
解析
【分析】
要证明$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，根据圆的基本性质，在同圆中相等的圆心角或相等的圆周角所对的弧相等，因此可将弧相等的证明转化为对应角相等的证明。有两种常见解题思路：①连接OC，结合$OD// AC$的平行线性质得到同位角、内错角相等，再利用同圆半径相等推出的等腰三角形角相等的性质，推导两个圆心角$∠ COD$和$∠ BOD$相等，即可得弧相等；②连接AD，结合$OD// AC$的平行线性质得到内错角相等，再利用同圆半径相等推出的等腰三角形角相等的性质，推导两个圆周角$∠ CAD$和$∠ BAD$相等，即可得弧相等。
【解析】
证法一：
连接$OC$，
$\because OD// AC$，根据两直线平行，同位角相等可得$∠ BOD=∠ A$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠ COD=∠ C$，
$\because OA$和$OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，根据等边对等角可得$∠ A=∠ C$，
$\therefore ∠ COD=∠ BOD$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$。
证法二：
连接$AD$，
$\because OD// AC$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠ CAD=∠ D$，
$\because OA$和$OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OD$，根据等边对等角可得$∠ BAD=∠ D$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
【证法一】如图,连接 $OC$,
$\because OD// AC$,$\therefore ∠ BOD=∠ A$,$∠ COD=∠ C$,
$\because OA=OC$,$\therefore ∠ A=∠ C$,
$\therefore ∠ COD=∠ BOD$,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$.
【证法二】如图,连接 $AD$,
$\because OD// AC$,$\therefore ∠ CAD=∠ D$,
$\because OA=OD$,$\therefore ∠ BAD=∠ D$,
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$.
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，弧与角的对应关系
【点评】
本题是圆性质应用的基础典型题，解题核心是掌握同圆中弧相等的判定方法，学会结合已知条件构造合适的辅助线，将弧相等的证明转化为角相等的证明，能够帮助学生巩固平行线、等腰三角形与圆性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，根据圆的基本性质，在同圆中相等的圆心角或相等的圆周角所对的弧相等，因此可将弧相等的证明转化为对应角相等的证明。有两种常见解题思路：①连接OC，结合$OD// AC$的平行线性质得到同位角、内错角相等，再利用同圆半径相等推出的等腰三角形角相等的性质，推导两个圆心角$∠ COD$和$∠ BOD$相等，即可得弧相等；②连接AD，结合$OD// AC$的平行线性质得到内错角相等，再利用同圆半径相等推出的等腰三角形角相等的性质，推导两个圆周角$∠ CAD$和$∠ BAD$相等，即可得弧相等。
【解析】
证法一：
连接$OC$，
$\because OD// AC$，根据两直线平行，同位角相等可得$∠ BOD=∠ A$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠ COD=∠ C$，
$\because OA$和$OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，根据等边对等角可得$∠ A=∠ C$，
$\therefore ∠ COD=∠ BOD$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$。
证法二：
连接$AD$，
$\because OD// AC$，根据两直线平行，内错角相等可得$∠ CAD=∠ D$，
$\because OA$和$OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OD$，根据等边对等角可得$∠ BAD=∠ D$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
【证法一】如图,连接 $OC$,
$\because OD// AC$,$\therefore ∠ BOD=∠ A$,$∠ COD=∠ C$,
$\because OA=OC$,$\therefore ∠ A=∠ C$,
$\therefore ∠ COD=∠ BOD$,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$.
【证法二】如图,连接 $AD$,
$\because OD// AC$,$\therefore ∠ CAD=∠ D$,
$\because OA=OD$,$\therefore ∠ BAD=∠ D$,
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$.
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，弧与角的对应关系
【点评】
本题是圆性质应用的基础典型题，解题核心是掌握同圆中弧相等的判定方法，学会结合已知条件构造合适的辅助线，将弧相等的证明转化为角相等的证明，能够帮助学生巩固平行线、等腰三角形与圆性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
