登录
1.「2025山东东营中考」2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼.将分别印有“巳”“巳”“如”“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（
A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
D
）A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1.D 从中随机抽取一张,一共有4种等可能的结果,其中抽取到的卡片上印有汉字“巳”的结果有2种,概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.故选D.
解析
【分析】
本题考查简单概率的计算，解题思路清晰：首先明确本题属于等可能事件的概率求解问题，第一步先确定随机抽取1张卡片所有等可能的结果总数；第二步统计抽取到印有“巳”的卡片的符合条件的结果数；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：已知4张卡片质地均匀、大小相同，因此从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果。
其中印有汉字“巳”的卡片共有2张，即抽取到“巳”的结果有2种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得抽取到印有“巳”的卡片的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式；简单概率计算
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，核心考查学生对概率公式的理解和运用，只要准确统计总情况数和符合要求的情况数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查简单概率的计算，解题思路清晰：首先明确本题属于等可能事件的概率求解问题，第一步先确定随机抽取1张卡片所有等可能的结果总数；第二步统计抽取到印有“巳”的卡片的符合条件的结果数；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：已知4张卡片质地均匀、大小相同，因此从中随机抽取1张，共有4种等可能的结果。
其中印有汉字“巳”的卡片共有2张，即抽取到“巳”的结果有2种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得抽取到印有“巳”的卡片的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式；简单概率计算
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，核心考查学生对概率公式的理解和运用，只要准确统计总情况数和符合要求的情况数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.「2025四川资阳中考」一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,抛掷这枚骰子,则朝上一面所标的数字为奇数的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
2.答案 $\frac{1}{2}$
解析 由题意可知,共有6种等可能的结果,其中朝上一面所标的数字为奇数的结果是1,3,5,共3种,
∴朝上一面所标的数字为奇数的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
解析 由题意可知,共有6种等可能的结果,其中朝上一面所标的数字为奇数的结果是1,3,5,共3种,
∴朝上一面所标的数字为奇数的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰：首先明确抛掷质地均匀的骰子时，所有朝上数字的结果都是等可能的，先统计总共有多少种等可能的结果；再统计其中朝上数字为奇数的结果数量；最后代入等可能事件的概率公式，即“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”，计算即可得到答案。
【解析】
抛掷该质地均匀的正方体骰子，朝上一面的数字可能为1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果；
其中朝上一面所标数字为奇数的结果有1、3、5，共3种；
根据概率计算公式可得，所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 简单事件概率计算
2. 奇数的判定
【点评】
本题是概率模块的基础考题，考查一次试验下的等可能事件概率求解，只要能准确梳理总结果数和符合要求的结果数，代入公式即可快速解答，属于送分类题型。
【难度系数】
0.9
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路清晰：首先明确抛掷质地均匀的骰子时，所有朝上数字的结果都是等可能的，先统计总共有多少种等可能的结果；再统计其中朝上数字为奇数的结果数量；最后代入等可能事件的概率公式，即“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”，计算即可得到答案。
【解析】
抛掷该质地均匀的正方体骰子，朝上一面的数字可能为1、2、3、4、5、6，共6种等可能的结果；
其中朝上一面所标数字为奇数的结果有1、3、5，共3种；
根据概率计算公式可得，所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 简单事件概率计算
2. 奇数的判定
【点评】
本题是概率模块的基础考题，考查一次试验下的等可能事件概率求解，只要能准确梳理总结果数和符合要求的结果数，代入公式即可快速解答，属于送分类题型。
【难度系数】
0.9
3.「2026 江苏连云港海州月考」从$2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}$，$\sqrt{27}$，$\sqrt{75}$中随机抽取一个根式，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的概率是
$\frac{3}{4}$
。答案
3.答案 $\frac{3}{4}$
解析 $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$,$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$,$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$,
∴与$\sqrt{3}$是同类二次根式的有$2\sqrt{3}$,$\sqrt{27}$,$\sqrt{75}$,
∴随机抽取一个根式,与$\sqrt{3}$是同类二次根式的概率是$\frac{3}{4}$.
解析 $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$,$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$,$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$,
∴与$\sqrt{3}$是同类二次根式的有$2\sqrt{3}$,$\sqrt{27}$,$\sqrt{75}$,
∴随机抽取一个根式,与$\sqrt{3}$是同类二次根式的概率是$\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心解题依据：一是同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式；二是简单概率的计算规则，概率等于符合要求的情况数除以总情况数。解题按三步推进：第一步先将题目给出的所有根式化为最简二次根式；第二步筛选出最简后被开方数和$\sqrt{3}$的被开方数（即3）相同的根式，统计符合条件的数量；第三步用符合条件的数量除以根式总数量，即可求出所求概率。
【解析】
先将题中4个根式逐一化简为最简二次根式：
1. $2\sqrt{3}$已经是最简二次根式，被开方数为3；
2. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2；
3. $\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数为3；
4. $\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，被开方数为3。
由此可知，和$\sqrt{3}$是同类二次根式的有$2\sqrt{3}$、$\sqrt{27}$、$\sqrt{75}$，共3个，总共有4个待抽取的根式。
根据概率计算公式，所求概率$=\frac{\mathrm{符合条件的根式个数}}{\mathrm{总根式个数}}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
同类二次根式的判断，二次根式的化简，概率公式
【点评】
本题是二次根式相关知识与概率计算的基础综合题，考查的都是基础核心考点，只要熟练掌握二次根式化简方法、同类二次根式的判断规则以及简单概率的计算逻辑，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确两个核心解题依据：一是同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式；二是简单概率的计算规则，概率等于符合要求的情况数除以总情况数。解题按三步推进：第一步先将题目给出的所有根式化为最简二次根式；第二步筛选出最简后被开方数和$\sqrt{3}$的被开方数（即3）相同的根式，统计符合条件的数量；第三步用符合条件的数量除以根式总数量，即可求出所求概率。
【解析】
先将题中4个根式逐一化简为最简二次根式：
1. $2\sqrt{3}$已经是最简二次根式，被开方数为3；
2. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2；
3. $\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数为3；
4. $\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，被开方数为3。
由此可知，和$\sqrt{3}$是同类二次根式的有$2\sqrt{3}$、$\sqrt{27}$、$\sqrt{75}$，共3个，总共有4个待抽取的根式。
根据概率计算公式，所求概率$=\frac{\mathrm{符合条件的根式个数}}{\mathrm{总根式个数}}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
同类二次根式的判断，二次根式的化简，概率公式
【点评】
本题是二次根式相关知识与概率计算的基础综合题，考查的都是基础核心考点，只要熟练掌握二次根式化简方法、同类二次根式的判断规则以及简单概率的计算逻辑，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
4.「2026江苏苏州姑苏月考」在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球有3个,白球有5个,黑球有若干个,若从中任意摸出一个球是白球的概率是$\frac{1}{3}$.
(1) 求盒子中黑球的个数.
(2)求任意摸出一个球是红球的概率.
(1) 求盒子中黑球的个数.
(2)求任意摸出一个球是红球的概率.
答案
4.解析 (1)设盒子中黑球的个数为x,
∵从中任意摸出一个球是白球的概率是$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{5}{3+5+x}=\frac{1}{3}$,解得$x=7$.
经检验,$x=7$是原分式方程的解且符合题意.
∴盒子中黑球的个数为7.
(2)根据题意得任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{3+5+7}=\frac{1}{5}$.
∵从中任意摸出一个球是白球的概率是$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{5}{3+5+x}=\frac{1}{3}$,解得$x=7$.
经检验,$x=7$是原分式方程的解且符合题意.
∴盒子中黑球的个数为7.
(2)根据题意得任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{3+5+7}=\frac{1}{5}$.
解析
【分析】
（1）求解黑球个数可利用概率公式：随机事件的概率等于该事件对应的样本数除以总样本数。已知摸出白球的概率为$\frac{1}{3}$，白球数量为5，总球数为红、白、黑三种球的数量和，我们设黑球个数为x，即可根据概率公式列分式方程求解，分式方程求解后需要检验是否符合题意。
（2）求解摸出红球的概率，直接将红球数量和第一问求出的总球数代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 设盒子中黑球的个数为x，
∵从中任意摸出一个球是白球的概率是$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{5}{3+5+x}=\frac{1}{3}$，
交叉相乘得$3+5+x=15$，解得$x=7$，
经检验，$x=7$是原分式方程的解且符合题意，
∴盒子中黑球的个数为7。
(2) 盒子中球的总个数为$3+5+7=15$，
∴任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) 7个；(2) $\frac{1}{5}$
【知识点】
概率计算公式、分式方程的应用、简单概率计算
【点评】
本题属于概率基础常考题，核心考查概率公式的灵活运用，解题时注意分式方程需要验根，熟练掌握概率公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
（1）求解黑球个数可利用概率公式：随机事件的概率等于该事件对应的样本数除以总样本数。已知摸出白球的概率为$\frac{1}{3}$，白球数量为5，总球数为红、白、黑三种球的数量和，我们设黑球个数为x，即可根据概率公式列分式方程求解，分式方程求解后需要检验是否符合题意。
（2）求解摸出红球的概率，直接将红球数量和第一问求出的总球数代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 设盒子中黑球的个数为x，
∵从中任意摸出一个球是白球的概率是$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{5}{3+5+x}=\frac{1}{3}$，
交叉相乘得$3+5+x=15$，解得$x=7$，
经检验，$x=7$是原分式方程的解且符合题意，
∴盒子中黑球的个数为7。
(2) 盒子中球的总个数为$3+5+7=15$，
∴任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) 7个；(2) $\frac{1}{5}$
【知识点】
概率计算公式、分式方程的应用、简单概率计算
【点评】
本题属于概率基础常考题，核心考查概率公式的灵活运用，解题时注意分式方程需要验根，熟练掌握概率公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5.「2026江苏南通一模，★☆」5张不同卡片上分别写有数字2,3,4,5,6,从中任意取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是
$\frac{7}{10}$
.答案
5.答案 $\frac{7}{10}$
解析 从写有数字2,3,4,5,6的卡片中任意取出3张,结果可能为(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共有10种等可能的结果,其中可以作为三角形的三边长的结果为(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7种,
∴任意取出3张,这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是$\frac{7}{10}$.
解析 从写有数字2,3,4,5,6的卡片中任意取出3张,结果可能为(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共有10种等可能的结果,其中可以作为三角形的三边长的结果为(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7种,
∴任意取出3张,这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是$\frac{7}{10}$.
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路可分为三步：首先计算从5张卡片中任取3张的所有等可能结果总数；其次根据三角形三边关系（较小两边之和大于最大边即可），筛选出能构成三角形的结果数量；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算最终答案。
【解析】
从写有数字2、3、4、5、6的5张不同卡片中任意取出3张，所有等可能的结果为：(2,3,4)、(2,3,5)、(2,3,6)、(2,4,5)、(2,4,6)、(2,5,6)、(3,4,5)、(3,4,6)、(3,5,6)、(4,5,6)，共10种。
根据三角形三边关系判断：(2,3,5)中2+3=5，(2,3,6)中2+3＜6，(2,4,6)中2+4=6，这3种结果不能构成三角形，其余7种结果均满足三边关系，可以作为三角形三边长。
因此所求概率为$\frac{7}{10}$。
【答案】
$\frac{7}{10}$
【知识点】
三角形三边关系，列举法求概率，古典概型计算
【点评】
本题是概率与几何性质结合的基础常考题，解题核心是不重不漏地列举所有取卡片的情况，再结合三角形三边规则筛选有效事件，需注意避免列举漏项、错判三边关系的失误。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路可分为三步：首先计算从5张卡片中任取3张的所有等可能结果总数；其次根据三角形三边关系（较小两边之和大于最大边即可），筛选出能构成三角形的结果数量；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算最终答案。
【解析】
从写有数字2、3、4、5、6的5张不同卡片中任意取出3张，所有等可能的结果为：(2,3,4)、(2,3,5)、(2,3,6)、(2,4,5)、(2,4,6)、(2,5,6)、(3,4,5)、(3,4,6)、(3,5,6)、(4,5,6)，共10种。
根据三角形三边关系判断：(2,3,5)中2+3=5，(2,3,6)中2+3＜6，(2,4,6)中2+4=6，这3种结果不能构成三角形，其余7种结果均满足三边关系，可以作为三角形三边长。
因此所求概率为$\frac{7}{10}$。
【答案】
$\frac{7}{10}$
【知识点】
三角形三边关系，列举法求概率，古典概型计算
【点评】
本题是概率与几何性质结合的基础常考题，解题核心是不重不漏地列举所有取卡片的情况，再结合三角形三边规则筛选有效事件，需注意避免列举漏项、错判三边关系的失误。
【难度系数】
0.7
6.「2026江苏宿迁泗洪二模，★☆」一个盒中装有$x$颗白色小球和$y$颗黑色小球，这些小球仅颜色不同，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是$\frac{1}{4}$，如果再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是$\frac{2}{5}$，则原来盒中有白色小球
6
颗。答案
6.答案 6
解析 根据题意得$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{4},\\\frac{x+6}{x+y+6}=\frac{2}{5},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=6,\\y=18,\end{cases}$经检验,$\begin{cases}x=6,\\y=18\end{cases}$是原分式方程的解且符合题意,
∴原来盒中有白色小球6颗.
解析 根据题意得$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{4},\\\frac{x+6}{x+y+6}=\frac{2}{5},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=6,\\y=18,\end{cases}$经检验,$\begin{cases}x=6,\\y=18\end{cases}$是原分式方程的解且符合题意,
∴原来盒中有白色小球6颗.
解析
【分析】
解题首先依据概率的计算公式：随机事件的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数。我们可以根据两次取到白球的概率分别建立等量关系：①原来盒中白球共x颗，总球数为(x+y)颗，取白球的概率为$\frac{1}{4}$，可列第一个方程；②加入6颗白球后，白球数量变为(x+6)颗，总球数变为(x+y+6)颗，此时取白球的概率为$\frac{2}{5}$，可列第二个方程。联立得到分式方程组，求解后检验解是否符合方程要求和实际意义，即可求出原来白球的数量。
【解析】
根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{4},\\\frac{x+6}{x+y+6}=\frac{2}{5},\end{cases}$
化简第一个方程得：$4x=x+y$，即$y=3x$。
把$y=3x$代入第二个方程，得：$\frac{x+6}{4x+6}=\frac{2}{5}$，
交叉相乘得：$5(x+6)=2(4x+6)$，
展开整理得：$5x+30=8x+12$，
移项合并同类项得：$3x=18$，解得$x=6$，
将$x=6$代入$y=3x$得$y=18$。
经检验，$\begin{cases}x=6,\\y=18\end{cases}$是原分式方程组的解，且符合实际题意。
【答案】
6
【知识点】
1. 概率公式 2. 分式方程组的应用 3. 分式方程的检验
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题关键是根据概率公式准确建立等量关系，要注意分式方程的解需要检验是否符合方程要求及实际情境。
【难度系数】
0.8
解题首先依据概率的计算公式：随机事件的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能的总情况数。我们可以根据两次取到白球的概率分别建立等量关系：①原来盒中白球共x颗，总球数为(x+y)颗，取白球的概率为$\frac{1}{4}$，可列第一个方程；②加入6颗白球后，白球数量变为(x+6)颗，总球数变为(x+y+6)颗，此时取白球的概率为$\frac{2}{5}$，可列第二个方程。联立得到分式方程组，求解后检验解是否符合方程要求和实际意义，即可求出原来白球的数量。
【解析】
根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{x}{x+y}=\frac{1}{4},\\\frac{x+6}{x+y+6}=\frac{2}{5},\end{cases}$
化简第一个方程得：$4x=x+y$，即$y=3x$。
把$y=3x$代入第二个方程，得：$\frac{x+6}{4x+6}=\frac{2}{5}$，
交叉相乘得：$5(x+6)=2(4x+6)$，
展开整理得：$5x+30=8x+12$，
移项合并同类项得：$3x=18$，解得$x=6$，
将$x=6$代入$y=3x$得$y=18$。
经检验，$\begin{cases}x=6,\\y=18\end{cases}$是原分式方程组的解，且符合实际题意。
【答案】
6
【知识点】
1. 概率公式 2. 分式方程组的应用 3. 分式方程的检验
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题关键是根据概率公式准确建立等量关系，要注意分式方程的解需要检验是否符合方程要求及实际情境。
【难度系数】
0.8
7.「2025江苏南师附中宿迁分校月考，★☆」如图，点A,B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，在网格格点中任取一点C(除点A,B外)，则使$△ ABC$的面积为1的概率是
$\frac{2}{9}$
。答案
7.答案 $\frac{2}{9}$
解析 如图,
任取一点C(除点A,B外)共有20-2=18种等可能的结果,其中能使△ABC的面积为1的结果有4种,即点$C_1,C_2,C_3,C_4$,
∴使△ABC的面积为1的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$.
解析
【分析】
要计算该概率，需依据“概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”的思路求解：第一步先统计网格中除A、B外可选取的格点C的总个数，第二步找出能使△ABC面积为1的格点C的个数，最后代入概率公式化简即可得到结果。
【解析】
首先确定总情况数：观察网格可知，格点总数为20个，任取除点A、B外的点C，共有$20-2=18$种等可能的结果。
再确定符合条件的情况数：如图，经过计算验证，能使$△ ABC$的面积为1的格点为$C_1,C_2,C_3,C_4$，共4种结果。
根据概率公式可得，使$△ ABC$的面积为1的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
概率公式，格点三角形面积计算，等可能事件概率
【点评】
本题结合网格背景考查概率的求解，解题核心是准确计数总样本数和符合条件的样本数，同时需要掌握格点三角形面积的计算方法，易错点为计数时漏算或多算格点。
【难度系数】
0.7
要计算该概率，需依据“概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”的思路求解：第一步先统计网格中除A、B外可选取的格点C的总个数，第二步找出能使△ABC面积为1的格点C的个数，最后代入概率公式化简即可得到结果。
【解析】
首先确定总情况数：观察网格可知，格点总数为20个，任取除点A、B外的点C，共有$20-2=18$种等可能的结果。
再确定符合条件的情况数：如图
，经过计算验证，能使$△ ABC$的面积为1的格点为$C_1,C_2,C_3,C_4$，共4种结果。根据概率公式可得，使$△ ABC$的面积为1的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
概率公式，格点三角形面积计算，等可能事件概率
【点评】
本题结合网格背景考查概率的求解，解题核心是准确计数总样本数和符合条件的样本数，同时需要掌握格点三角形面积的计算方法，易错点为计数时漏算或多算格点。
【难度系数】
0.7
8.「2026 四川成都温江模拟改编，★★」从-3,-2,-1,0,1,2,3这7个数中任意选一个数作为m的值,求使关于x的分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$的解是负数,且关于x的一次函数$y=(m - 3)x - 4$的图象不经过第一象限的概率.
答案
8.解析 解分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$,得$x=-m-3$,
∵分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$的解是负数,
∴$-m-3＜0$且$-m-3≠-1$,
∴$m＞-3$且$m≠-2$,
∵关于x的一次函数$y=(m-3)x-4$的图象不经过第一象限,
∴$m-3＜0$,
∴$m＜3$,
综上所述,$-3＜m＜3$且$m≠-2$,
∴在-3,-2,-1,0,1,2,3这7个数中,满足条件的是-1,0,1,2,共4个,
∴满足条件的概率为$\frac{4}{7}$.
∵分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$的解是负数,
∴$-m-3＜0$且$-m-3≠-1$,
∴$m＞-3$且$m≠-2$,
∵关于x的一次函数$y=(m-3)x-4$的图象不经过第一象限,
∴$m-3＜0$,
∴$m＜3$,
综上所述,$-3＜m＜3$且$m≠-2$,
∴在-3,-2,-1,0,1,2,3这7个数中,满足条件的是-1,0,1,2,共4个,
∴满足条件的概率为$\frac{4}{7}$.
解析
【分析】
解题时先分两步处理两个约束条件：第一步先求解分式方程，结合“解为负数”和“分式分母不为0”两个要求得到m的第一组取值范围；第二步根据一次函数图象不经过第一象限的性质，结合已知截距为负的特点，得到一次项系数的符号要求，进而得到m的第二组取值范围；再取两个范围的交集，在给定的7个数字中筛选出符合交集要求的m的个数，最后用符合条件的个数除以总个数7，即可得到所求概率。注意不要遗漏分式方程分母不为0的隐含条件，避免多算符合条件的m值。
【解析】
解：先解分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$，
去分母得：$2x - m = 3(x + 1)$，
解得：$x = -m - 3$。
∵分式方程的解是负数，且分母$x + 1 ≠ 0$，
∴$\begin{cases}-m - 3 ＜ 0 \\ -m - 3 ≠ -1\end{cases}$，
解得：$m ＞ -3$且$m ≠ -2$。
再看一次函数$y=(m - 3)x - 4$的图象不经过第一象限，
∵函数的常数项为$-4 ＜ 0$，即图象与y轴交于负半轴，
∴只需一次项系数小于0即可，即$m - 3 ＜ 0$，
解得：$m ＜ 3$。
综上，m的取值范围是$-3 ＜ m ＜ 3$且$m ≠ -2$。
在给出的-3,-2,-1,0,1,2,3这7个数中，满足条件的m值为-1,0,1,2，共4个，
∴所求概率$P = \frac{\mathrm{符合条件的个数}}{\mathrm{总个数}} = \frac{4}{7}$。
【答案】
$\frac{4}{7}$
【知识点】
分式方程的解，一次函数图象性质，概率公式
【点评】
本题是代数综合类概率题，需要学生熟练掌握分式方程的求解及增根判定、一次函数图象的性质，解题时需注意挖掘分式方程分母不为0的隐含条件，避免出现多选符合条件数值的错误。
【难度系数】
0.6
解题时先分两步处理两个约束条件：第一步先求解分式方程，结合“解为负数”和“分式分母不为0”两个要求得到m的第一组取值范围；第二步根据一次函数图象不经过第一象限的性质，结合已知截距为负的特点，得到一次项系数的符号要求，进而得到m的第二组取值范围；再取两个范围的交集，在给定的7个数字中筛选出符合交集要求的m的个数，最后用符合条件的个数除以总个数7，即可得到所求概率。注意不要遗漏分式方程分母不为0的隐含条件，避免多算符合条件的m值。
【解析】
解：先解分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$，
去分母得：$2x - m = 3(x + 1)$，
解得：$x = -m - 3$。
∵分式方程的解是负数，且分母$x + 1 ≠ 0$，
∴$\begin{cases}-m - 3 ＜ 0 \\ -m - 3 ≠ -1\end{cases}$，
解得：$m ＞ -3$且$m ≠ -2$。
再看一次函数$y=(m - 3)x - 4$的图象不经过第一象限，
∵函数的常数项为$-4 ＜ 0$，即图象与y轴交于负半轴，
∴只需一次项系数小于0即可，即$m - 3 ＜ 0$，
解得：$m ＜ 3$。
综上，m的取值范围是$-3 ＜ m ＜ 3$且$m ≠ -2$。
在给出的-3,-2,-1,0,1,2,3这7个数中，满足条件的m值为-1,0,1,2，共4个，
∴所求概率$P = \frac{\mathrm{符合条件的个数}}{\mathrm{总个数}} = \frac{4}{7}$。
【答案】
$\frac{4}{7}$
【知识点】
分式方程的解，一次函数图象性质，概率公式
【点评】
本题是代数综合类概率题，需要学生熟练掌握分式方程的求解及增根判定、一次函数图象的性质，解题时需注意挖掘分式方程分母不为0的隐含条件，避免出现多选符合条件数值的错误。
【难度系数】
0.6
