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1.「2026湖北十堰月考」若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的根，则下列结论正确的是（
A.$x_1 + x_2 = 2$
B.$x_1 · x_2 = 1$
C.$x_1 + x_2 = -2$
D.$x_1 · x_2 = \dfrac{1}{2}$
A
）A.$x_1 + x_2 = 2$
B.$x_1 · x_2 = 1$
C.$x_1 + x_2 = -2$
D.$x_1 · x_2 = \dfrac{1}{2}$
答案
$x^2 - 2x - 1 = 0$中,$a=1,b=-2,c=-1$,根据一元二次方程根与系数的关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$,$x_1 · x_2=\frac{c}{a}=-1$,故选A.
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系公式，对于标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；接下来从题目给出的方程中找出对应的$a、b、c$的值，注意系数的符号；最后代入公式分别计算两根之和与两根之积，和选项逐一对比即可得到正确答案。
【解析】已知一元二次方程为$x^2 - 2x - 1 = 0$，对应标准形式可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$
两根之积 $x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$
对比四个选项，只有A选项的结论正确。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题属于基础题，核心考查根与系数关系的直接套用，解题时需注意准确识别方程各项系数的符号，避免因符号判断错误导致计算失误。
【难度系数】0.9
【解析】已知一元二次方程为$x^2 - 2x - 1 = 0$，对应标准形式可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2$
两根之积 $x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1$
对比四个选项，只有A选项的结论正确。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题属于基础题，核心考查根与系数关系的直接套用，解题时需注意准确识别方程各项系数的符号，避免因符号判断错误导致计算失误。
【难度系数】0.9
2.若一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根分别是$a,b$,则一次函数$y=abx+a+b$的图象一定不经过 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
∵一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根分别是$a,b$,
∴$a+b=4$,$ab=-3$,
∴$y=abx+a+b=-3x+4$,
∴该函数的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.故选C.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，结合一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$a+b$、两根之积$ab$的值；第二步，把求出的$a+b$和$ab$代入一次函数解析式，得到具体的一次函数表达式；第三步，根据一次函数的斜率$k$和截距$b$的正负，判断函数图象经过的象限，即可得出图象不经过的象限。
【解析】
∵一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根分别是$a,b$，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$，
∴$a+b=-\frac{-4}{1}=4$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$，
将上述结果代入一次函数解析式得：$y=abx+a+b=-3x+4$，
对于一次函数$y=kx+b$：本题中$k=-3＜0$，函数图象从左到右下降；$b=4＞0$，函数图象与y轴交于正半轴，
∴该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
故选C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和一次函数的性质结合考查，解题的关键是正确求出一次函数的系数，再结合一次函数图象的性质判断经过的象限即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，结合一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$a+b$、两根之积$ab$的值；第二步，把求出的$a+b$和$ab$代入一次函数解析式，得到具体的一次函数表达式；第三步，根据一次函数的斜率$k$和截距$b$的正负，判断函数图象经过的象限，即可得出图象不经过的象限。
【解析】
∵一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根分别是$a,b$，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$，
∴$a+b=-\frac{-4}{1}=4$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$，
将上述结果代入一次函数解析式得：$y=abx+a+b=-3x+4$，
对于一次函数$y=kx+b$：本题中$k=-3＜0$，函数图象从左到右下降；$b=4＞0$，函数图象与y轴交于正半轴，
∴该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
故选C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和一次函数的性质结合考查，解题的关键是正确求出一次函数的系数，再结合一次函数图象的性质判断经过的象限即可。
【难度系数】
0.7
3.「2025四川眉山中考」已知方程$x^2 - 2x -5=0$的两根为$x_1,x_2$，则$(x_1 +1)(x_2 +1)$的值为
-2
。答案
答案 -2
解析
∵方程$x^2 -2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=2$,$x_1x_2=-5$,
∴$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5+2+1=-2$.
解析
∵方程$x^2 -2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=2$,$x_1x_2=-5$,
∴$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5+2+1=-2$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先观察待求式的结构，无需解方程求出$x_1$、$x_2$的具体值，先将待求的$(x_1+1)(x_2+1)$展开整理，得到含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；再根据给定的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积；最后将所求的两根和、两根积代入整理后的式子计算即可得到结果。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-5$，
将待求式展开可得：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$，
代入数值计算：
原式$=-5 + 2 + 1 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式的化简求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，通过整体代入的方法可避免求解方程根的复杂运算，解题时要注意整式展开的正确性，不要漏项、错项。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先观察待求式的结构，无需解方程求出$x_1$、$x_2$的具体值，先将待求的$(x_1+1)(x_2+1)$展开整理，得到含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；再根据给定的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积；最后将所求的两根和、两根积代入整理后的式子计算即可得到结果。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-5$，
将待求式展开可得：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$，
代入数值计算：
原式$=-5 + 2 + 1 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式的化简求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，通过整体代入的方法可避免求解方程根的复杂运算，解题时要注意整式展开的正确性，不要漏项、错项。
【难度系数】
0.8
4.利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.
(1)$2x^2 - 3x = 5$.
(2)$2x^2 + 3 = x(7x + 1)$.
(1)$2x^2 - 3x = 5$.
(2)$2x^2 + 3 = x(7x + 1)$.
答案
(1)原方程可化为$2x^2 -3x -5=0$,这里$a=2$,$b=-3$,$c=-5$,
∴$\Delta =b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-5)=49＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=\frac{3}{2}$,$x_1x_2=-\frac{5}{2}$.
(2)原方程可化为$5x^2 +x -3=0$,这里$a=5$,$b=1$,$c=-3$,
∴$\Delta =b^2-4ac=1-4×5×(-3)=61＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$,$x_1x_2=-\frac{3}{5}$.
∴$\Delta =b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-5)=49＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=\frac{3}{2}$,$x_1x_2=-\frac{5}{2}$.
(2)原方程可化为$5x^2 +x -3=0$,这里$a=5$,$b=1$,$c=-3$,
∴$\Delta =b^2-4ac=1-4×5×(-3)=61＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$,$x_1x_2=-\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
要利用根与系数的关系求一元二次方程的两根和与两根积，首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，随后计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，只有当$\Delta≥0$时方程存在实数根，才能套用韦达定理：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题时要注意移项过程中符号的变化，准确确定$a、b、c$的取值。
【解析】
(1) 原方程移项整理为一般形式：$2x^2 - 3x - 5 = 0$，
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-5$，
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-5)=49＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，设两个实数根分别为$x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$。
(2) 先展开原方程右侧得$2x^2 + 3 = 7x^2 + x$，
移项合并同类项得一般形式：$5x^2 + x - 3 = 0$，
其中二次项系数$a=5$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=1^2-4×5×(-3)=61＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，设两个实数根分别为$x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) 两根之和为$\frac{3}{2}$，两根之积为$-\frac{5}{2}$；
(2) 两根之和为$-\frac{1}{5}$，两根之积为$-\frac{3}{5}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是先将方程化为标准一般式，注意移项时的符号变化，同时要先通过判别式确认方程有实根后再套用韦达定理，避免对无实根的方程误用公式。
【难度系数】
0.85
要利用根与系数的关系求一元二次方程的两根和与两根积，首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，随后计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，只有当$\Delta≥0$时方程存在实数根，才能套用韦达定理：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题时要注意移项过程中符号的变化，准确确定$a、b、c$的取值。
【解析】
(1) 原方程移项整理为一般形式：$2x^2 - 3x - 5 = 0$，
其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-5$，
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-5)=49＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，设两个实数根分别为$x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}$。
(2) 先展开原方程右侧得$2x^2 + 3 = 7x^2 + x$，
移项合并同类项得一般形式：$5x^2 + x - 3 = 0$，
其中二次项系数$a=5$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=1^2-4×5×(-3)=61＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，设两个实数根分别为$x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{3}{5}$。
【答案】
(1) 两根之和为$\frac{3}{2}$，两根之积为$-\frac{5}{2}$；
(2) 两根之和为$-\frac{1}{5}$，两根之积为$-\frac{3}{5}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是先将方程化为标准一般式，注意移项时的符号变化，同时要先通过判别式确认方程有实根后再套用韦达定理，避免对无实根的方程误用公式。
【难度系数】
0.85
5.聚焦 中考 代数推理 「2025 四川南充中考」设 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ (x-1)(x-2)=m^2 $ 的两根。
(1)当 $ x_1=-1 $ 时，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
(2)求证：$ (x_1-1)(x_2-1) ≤ 0 $
(1)当 $ x_1=-1 $ 时，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
(2)求证：$ (x_1-1)(x_2-1) ≤ 0 $
答案
(1)把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,
∴$m=±\sqrt{6}$.
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2 -3x -4=0$.
∴$(x-4)(x+1)=0$,
∴$x=4$或$x=-1$,
∴$x_2=4$.综上,$x_2=4$,$m=±\sqrt{6}$.
(2)方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2 -3x +2 -m^2=0$,
∴$x_1,x_2$是方程$x^2 -3x +2 -m^2=0$的两根,
∴$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2 -m^2$.
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2 -m^2 -3 +1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
∴$m=±\sqrt{6}$.
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2 -3x -4=0$.
∴$(x-4)(x+1)=0$,
∴$x=4$或$x=-1$,
∴$x_2=4$.综上,$x_2=4$,$m=±\sqrt{6}$.
(2)方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2 -3x +2 -m^2=0$,
∴$x_1,x_2$是方程$x^2 -3x +2 -m^2=0$的两根,
∴$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2 -m^2$.
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2 -m^2 -3 +1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
解析
【分析】
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程解的定义，将$x_1$代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$代回原方程，解一元二次方程即可求出另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的表达式，再将待证的代数式展开，代入两根和与积的表达式化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$
∴$m=\pm\sqrt{6}$
将$m^2=6$代入原方程，得$(x-1)(x-2)=6$
整理得$x^2 -3x -4=0$
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$
解得$x=4$或$x=-1$
∴$x_2=4$
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2 -3x +2 -m^2=0$
∵$x_1,x_2$是该方程的两根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2 -m^2$
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1$
代入上述结果得：
$2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$
∵$m^2≥0$
∴$-m^2≤0$
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$
(2) 结论成立，证明如上。
【知识点】
一元二次方程的解，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，第一问侧重基础应用，考查方程解的定义和解一元二次方程的能力；第二问考查代数推理能力，要求熟练掌握根与系数的关系及代数式的化简变形，是中考代数模块的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程解的定义，将$x_1$代入原方程即可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$代回原方程，解一元二次方程即可求出另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的表达式，再将待证的代数式展开，代入两根和与积的表达式化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$
∴$m=\pm\sqrt{6}$
将$m^2=6$代入原方程，得$(x-1)(x-2)=6$
整理得$x^2 -3x -4=0$
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$
解得$x=4$或$x=-1$
∴$x_2=4$
(2) 证明：将原方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2 -3x +2 -m^2=0$
∵$x_1,x_2$是该方程的两根，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2 -m^2$
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1$
代入上述结果得：
$2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$
∵$m^2≥0$
∴$-m^2≤0$
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$
(2) 结论成立，证明如上。
【知识点】
一元二次方程的解，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，第一问侧重基础应用，考查方程解的定义和解一元二次方程的能力；第二问考查代数推理能力，要求熟练掌握根与系数的关系及代数式的化简变形，是中考代数模块的典型考法。
【难度系数】
0.7
6.「2026江苏南京江宁宏运学校月考，★☆」已知$a=1,b=m,c=-15$，若代数式$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为3，则代数式$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为（
A.5
B.-5
C.1
D.-1
B
）A.5
B.-5
C.1
D.-1
答案
∵一元二次方程$ax^2 +bx +c=0$的两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
∴$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}=\frac{-15}{1}=-15$,
∵代数式$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为3,
∴代数式$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为-5,故选B.
解析
【分析】
观察题目给出的两个代数式，其结构正好对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个求根公式，因此我们可以利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需先计算参数$m$的值，简化计算步骤。首先回忆根与系数关系中两根之积的公式，代入已知的$a、c$的值求出两根乘积，再结合已知的一个根的值，就能求出所求代数式的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$，它的两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
根据根与系数的关系，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知$a=1$，$c=-15$，代入得$x_1x_2=\frac{-15}{1}=-15$。
由题可知$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=3$，因此$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-15÷3=-5$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式；根与系数的关系
【点评】
本题侧重对根与系数关系的灵活应用，避开求解未知参数$m$，直接利用两根乘积的性质解题，能大幅减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察题目给出的两个代数式，其结构正好对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个求根公式，因此我们可以利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需先计算参数$m$的值，简化计算步骤。首先回忆根与系数关系中两根之积的公式，代入已知的$a、c$的值求出两根乘积，再结合已知的一个根的值，就能求出所求代数式的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$，它的两个根分别为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
根据根与系数的关系，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知$a=1$，$c=-15$，代入得$x_1x_2=\frac{-15}{1}=-15$。
由题可知$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=3$，因此$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-15÷3=-5$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程求根公式；根与系数的关系
【点评】
本题侧重对根与系数关系的灵活应用，避开求解未知参数$m$，直接利用两根乘积的性质解题，能大幅减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7.「2025江苏宿迁中考，★☆」方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，则$(m^2 - 2023m - 2026) · (n^2 - 2023n - 2026) =$
-4 048
。答案
答案 -4 048
解析
∵方程$x^2 -2 024x -2 025=0$的两个根分别是m,n,
∴$m^2 -2 024m -2 025=0$,$n^2 -2 024n -2 025=0$,$m+n=2 024$,$mn=-2 025$,
∴$m^2=2 024m +2 025$,$n^2=2 024n +2 025$,
∴$(m^2 -2 023m -2 026)(n^2 -2 023n -2 026)=(2 024m +2 025 -2 023m -2 026)(2 024n +2 025 -2 023n -2 026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2 025 -2 024 +1=-4 048$.
解析
∵方程$x^2 -2 024x -2 025=0$的两个根分别是m,n,
∴$m^2 -2 024m -2 025=0$,$n^2 -2 024n -2 025=0$,$m+n=2 024$,$mn=-2 025$,
∴$m^2=2 024m +2 025$,$n^2=2 024n +2 025$,
∴$(m^2 -2 023m -2 026)(n^2 -2 023n -2 026)=(2 024m +2 025 -2 023m -2 026)(2 024n +2 025 -2 023n -2 026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2 025 -2 024 +1=-4 048$.
解析
【分析】
本题已知m、n是给定一元二次方程的两个根，要求含m、n的代数式的值。解题时首先利用一元二次方程根的定义，将m、n代入原方程，得到m²、n²关于m、n的一次表达式，实现降次；同时根据根与系数的关系求出两根之和m+n与两根之积mn的值；再将所求代数式中的m²、n²替换为一次式，化简后得到仅含m+n和mn的式子，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
∵方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
整理得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$；
根据根与系数的关系可得：$m + n = 2024$，$mn = -2025$。
将$m^2 = 2024m + 2025$、$n^2 = 2024n + 2025$代入所求代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026) · (n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - m - n + 1\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
将$m + n = 2024$、$mn = -2025$代入上式得：
原式$= -2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
$-4048$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础综合题，核心解题技巧是利用根的定义对高次项降次，将所求代数式转化为两根和、两根积的形式后整体代入，无需直接求解方程的根，大幅简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
本题已知m、n是给定一元二次方程的两个根，要求含m、n的代数式的值。解题时首先利用一元二次方程根的定义，将m、n代入原方程，得到m²、n²关于m、n的一次表达式，实现降次；同时根据根与系数的关系求出两根之和m+n与两根之积mn的值；再将所求代数式中的m²、n²替换为一次式，化简后得到仅含m+n和mn的式子，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
∵方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
整理得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$；
根据根与系数的关系可得：$m + n = 2024$，$mn = -2025$。
将$m^2 = 2024m + 2025$、$n^2 = 2024n + 2025$代入所求代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026) · (n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - m - n + 1\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
将$m + n = 2024$、$mn = -2025$代入上式得：
原式$= -2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
$-4048$
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础综合题，核心解题技巧是利用根的定义对高次项降次，将所求代数式转化为两根和、两根积的形式后整体代入，无需直接求解方程的根，大幅简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
8.「2026江苏南京月考，★☆」已知$a^2 +5a=-2$，$b^2 +2=-5b$，且$a≠b$，则化简$b\sqrt{\dfrac{b}{a}} +a\sqrt{\dfrac{a}{b}} =$
$-\frac{21}{2}\sqrt{2}$
。答案
答案 $-\frac{21}{2}\sqrt{2}$
解析
∵$a^2 +5a=-2$,$b^2 +2=-5b$,
∴$a^2 +5a +2=0$,$b^2 +5b +2=0$,又$a≠b$,
∴a,b可看作方程$x^2 +5x +2=0$的两个不相等的实数根,则$a+b=-5$,$ab=2$,
∴$a＜0$,$b＜0$,则
原式$=-\frac{b\sqrt{ab}}{a}-\frac{a\sqrt{ab}}{b}=-\frac{b^2\sqrt{ab}+a^2\sqrt{ab}}{ab}=-\frac{\sqrt{ab}[(a+b)^2-2ab]}{ab}=-\frac{\sqrt{2}×(25-4)}{2}=-\frac{21}{2}\sqrt{2}$.
解析
∵$a^2 +5a=-2$,$b^2 +2=-5b$,
∴$a^2 +5a +2=0$,$b^2 +5b +2=0$,又$a≠b$,
∴a,b可看作方程$x^2 +5x +2=0$的两个不相等的实数根,则$a+b=-5$,$ab=2$,
∴$a＜0$,$b＜0$,则
原式$=-\frac{b\sqrt{ab}}{a}-\frac{a\sqrt{ab}}{b}=-\frac{b^2\sqrt{ab}+a^2\sqrt{ab}}{ab}=-\frac{\sqrt{ab}[(a+b)^2-2ab]}{ab}=-\frac{\sqrt{2}×(25-4)}{2}=-\frac{21}{2}\sqrt{2}$.
解析
【分析】
首先观察已知的两个等式，整理后形式完全相同，且a≠b，因此可以将a、b看作一元二次方程x²+5x+2=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系求出a+b和ab的值；接下来根据a+b、ab的符号判断a、b均为负数，再对所求二次根式化简，注意负数开平方后符号的处理，最后将a+b和ab的值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：由已知得：$a^2 +5a +2=0$，$b^2 +5b +2=0$，
∵$a≠b$，
∴a、b是一元二次方程$x^2 +5x +2=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$a+b=-5$，$ab=2$，
∵$ab=2＞0$，$a+b=-5＜0$，
∴$a＜0$，$b＜0$，
对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=b·\frac{\sqrt{ab}}{|a|} +a·\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=-\frac{b\sqrt{ab}}{a} -\frac{a\sqrt{ab}}{b}\\&=-\frac{b^2\sqrt{ab}+a^2\sqrt{ab}}{ab}\\&=-\frac{\sqrt{ab}[(a+b)^2-2ab]}{ab}\end{aligned}$
将$a+b=-5$，$ab=2$代入得：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{\sqrt{2}×[(-5)^2-2×2]}{2}\\&=-\frac{\sqrt{2}×(25-4)}{2}\\&=-\frac{21}{2}\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{21}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简，代数式求值
【点评】
本题属于代数综合题，解题突破口是根据两个等式的结构特征将a、b转化为同一方程的两根，易错点是二次根式化简时容易忽略a、b为负数，直接去绝对值导致符号错误，计算时要注意完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.6
首先观察已知的两个等式，整理后形式完全相同，且a≠b，因此可以将a、b看作一元二次方程x²+5x+2=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系求出a+b和ab的值；接下来根据a+b、ab的符号判断a、b均为负数，再对所求二次根式化简，注意负数开平方后符号的处理，最后将a+b和ab的值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：由已知得：$a^2 +5a +2=0$，$b^2 +5b +2=0$，
∵$a≠b$，
∴a、b是一元二次方程$x^2 +5x +2=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$a+b=-5$，$ab=2$，
∵$ab=2＞0$，$a+b=-5＜0$，
∴$a＜0$，$b＜0$，
对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=b·\frac{\sqrt{ab}}{|a|} +a·\frac{\sqrt{ab}}{|b|}\\&=-\frac{b\sqrt{ab}}{a} -\frac{a\sqrt{ab}}{b}\\&=-\frac{b^2\sqrt{ab}+a^2\sqrt{ab}}{ab}\\&=-\frac{\sqrt{ab}[(a+b)^2-2ab]}{ab}\end{aligned}$
将$a+b=-5$，$ab=2$代入得：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{\sqrt{2}×[(-5)^2-2×2]}{2}\\&=-\frac{\sqrt{2}×(25-4)}{2}\\&=-\frac{21}{2}\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{21}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简，代数式求值
【点评】
本题属于代数综合题，解题突破口是根据两个等式的结构特征将a、b转化为同一方程的两根，易错点是二次根式化简时容易忽略a、b为负数，直接去绝对值导致符号错误，计算时要注意完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.6
9.「★☆」小影与小冬一起写作业,在解一道二次项系数为1的一元二次方程时,小影在将其化为一般形式的过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在将其化为一般形式的过程中写错了一次项系数,因而得到方程的两个根是-2和-5,则原方程正确的解是
$x_1=2,x_2=5$
.答案
答案 $x_1=2,x_2=5$
解析 设原方程为$x^2 +bx +c=0$,
∵小影在将原方程化为一般形式的过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1,
∴$6+1=7=-b$,即$b=-7$,
∵小冬在将原方程化为一般形式的过程中写错了一次项系数,得到方程的两个根是-2和-5,
∴$(-2)×(-5)=10=c$,
∴原方程是$x^2 -7x +10=0$,即$(x-2)(x-5)=0$,解得$x_1=2$,$x_2=5$.故答案为$x_1=2,x_2=5$.
解析 设原方程为$x^2 +bx +c=0$,
∵小影在将原方程化为一般形式的过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1,
∴$6+1=7=-b$,即$b=-7$,
∵小冬在将原方程化为一般形式的过程中写错了一次项系数,得到方程的两个根是-2和-5,
∴$(-2)×(-5)=10=c$,
∴原方程是$x^2 -7x +10=0$,即$(x-2)(x-5)=0$,解得$x_1=2$,$x_2=5$.故答案为$x_1=2,x_2=5$.
解析
【分析】
解题时先结合韦达定理的性质分析：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和为$-b$，两根之积为$c$。小影仅写错常数项，说明他得到的方程的一次项系数是正确的，因此可以用他算出的两根求正确的一次项系数$b$；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的方程的常数项是正确的，因此可以用他算出的两根求正确的常数项$c$。得到正确的系数后即可写出原方程，再求解得到正确的根。
【解析】
设原方程为$x^2 + bx + c = 0$。
1. 求正确的一次项系数：
小影只写错常数项，一次项系数正确，根据韦达定理，两根之和等于$-b$，可得：
$6+1=7=-b$，解得$b=-7$。
2. 求正确的常数项：
小冬只写错一次项系数，常数项正确，根据韦达定理，两根之积等于$c$，可得：
$(-2)×(-5)=10=c$。
3. 求解原方程：
将$b=-7$、$c=10$代入得原方程为$x^2-7x+10=0$，因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=5$。
【答案】
$x_1=2,x_2=5$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题关键是准确判断写错某一项时其余系数的正确性，结合韦达定理快速求出正确的方程系数即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先结合韦达定理的性质分析：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和为$-b$，两根之积为$c$。小影仅写错常数项，说明他得到的方程的一次项系数是正确的，因此可以用他算出的两根求正确的一次项系数$b$；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的方程的常数项是正确的，因此可以用他算出的两根求正确的常数项$c$。得到正确的系数后即可写出原方程，再求解得到正确的根。
【解析】
设原方程为$x^2 + bx + c = 0$。
1. 求正确的一次项系数：
小影只写错常数项，一次项系数正确，根据韦达定理，两根之和等于$-b$，可得：
$6+1=7=-b$，解得$b=-7$。
2. 求正确的常数项：
小冬只写错一次项系数，常数项正确，根据韦达定理，两根之积等于$c$，可得：
$(-2)×(-5)=10=c$。
3. 求解原方程：
将$b=-7$、$c=10$代入得原方程为$x^2-7x+10=0$，因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=5$。
【答案】
$x_1=2,x_2=5$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题关键是准确判断写错某一项时其余系数的正确性，结合韦达定理快速求出正确的方程系数即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
10.「2026河南师大附中月考，★☆」已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - px +1=0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)填空:$x_1+x_2=$
(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$,$x_1+\frac{1}{x_1}$的值.
(3)已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$,求$p$的值.
(1)填空:$x_1+x_2=$
p
,$x_1x_2=$1
.(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$,$x_1+\frac{1}{x_1}$的值.
(3)已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$,求$p$的值.
答案
(1)$p$;$1$.
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$.
∵方程$x^2 -px +1=0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$,
∴$x_1^2 -px_1 +1=0$,
∴$x_1 -p +\frac{1}{x_1}=0$,即$x_1 +\frac{1}{x_1}=p$.
(3)
∵$x_1^2 +x_2^2=2p +1$,
∴$(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=2p +1$,
∴$p^2 -2=2p +1$,即$p^2 -2p -3=0$,解得$p_1=3$,$p_2=-1$,在$x^2 -px +1=0$中,$a=1$,$b=-p$,$c=1$,当$p=3$时,$\Delta=(-p)^2 -4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$\Delta=(-p)^2 -4=-3＜0$,故舍去.
∴$p=3$.
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$.
∵方程$x^2 -px +1=0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$,
∴$x_1^2 -px_1 +1=0$,
∴$x_1 -p +\frac{1}{x_1}=0$,即$x_1 +\frac{1}{x_1}=p$.
(3)
∵$x_1^2 +x_2^2=2p +1$,
∴$(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=2p +1$,
∴$p^2 -2=2p +1$,即$p^2 -2p -3=0$,解得$p_1=3$,$p_2=-1$,在$x^2 -px +1=0$中,$a=1$,$b=-p$,$c=1$,当$p=3$时,$\Delta=(-p)^2 -4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$\Delta=(-p)^2 -4=-3＜0$,故舍去.
∴$p=3$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程相关知识，解题思路如下：
(1) 直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数即可得结果；
(2) 求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$时先通分，转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，代入(1)的结果计算即可；求$x_1+\frac{1}{x_1}$时利用根的意义，将$x_1$代入原方程，两边除以不为0的$x_1$整理即可得结果；
(3) 先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，结合已知条件列关于$p$的方程，解方程后根据方程有两个不相等实根的条件，用判别式检验，舍去不符合条件的$p$值即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - px +1=0$中$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=p$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=1$。
(2) ① 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，得原式$=\frac{p}{1}=p$。
② 因为$x_1$是方程的根，所以$x_1^2 - px_1 +1=0$，
由$x_1x_2=1$可知$x_1≠0$，两边同时除以$x_1$得：
$x_1 - p + \frac{1}{x_1}=0$，整理得$x_1+\frac{1}{x_1}=p$。
(3) 由完全平方公式得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$得：
$p^2 - 2 = 2p + 1$，
整理为$p^2-2p-3=0$，解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
原方程有两个不相等实数根，故$\Delta=(-p)^2-4×1×1=p^2-4＞0$，
当$p=3$时，$\Delta=9-4=5＞0$，符合条件；当$p=-1$时，$\Delta=1-4=-3＜0$，舍去。
故$p=3$。
【答案】
(1) $p$；$1$
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=p$，$x_1+\frac{1}{x_1}=p$
(3) $p=3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程综合基础题，解题关键是熟练掌握根与系数的关系、根的意义及判别式的应用，求解参数后要注意结合方程根的情况检验结果合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程相关知识，解题思路如下：
(1) 直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数即可得结果；
(2) 求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$时先通分，转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，代入(1)的结果计算即可；求$x_1+\frac{1}{x_1}$时利用根的意义，将$x_1$代入原方程，两边除以不为0的$x_1$整理即可得结果；
(3) 先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，结合已知条件列关于$p$的方程，解方程后根据方程有两个不相等实根的条件，用判别式检验，舍去不符合条件的$p$值即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - px +1=0$中$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=p$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=1$。
(2) ① 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，
代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，得原式$=\frac{p}{1}=p$。
② 因为$x_1$是方程的根，所以$x_1^2 - px_1 +1=0$，
由$x_1x_2=1$可知$x_1≠0$，两边同时除以$x_1$得：
$x_1 - p + \frac{1}{x_1}=0$，整理得$x_1+\frac{1}{x_1}=p$。
(3) 由完全平方公式得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$得：
$p^2 - 2 = 2p + 1$，
整理为$p^2-2p-3=0$，解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
原方程有两个不相等实数根，故$\Delta=(-p)^2-4×1×1=p^2-4＞0$，
当$p=3$时，$\Delta=9-4=5＞0$，符合条件；当$p=-1$时，$\Delta=1-4=-3＜0$，舍去。
故$p=3$。
【答案】
(1) $p$；$1$
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=p$，$x_1+\frac{1}{x_1}=p$
(3) $p=3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程综合基础题，解题关键是熟练掌握根与系数的关系、根的意义及判别式的应用，求解参数后要注意结合方程根的情况检验结果合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
