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1.「2026山东烟台蓬莱期中」已知$x_1,x_2,\dots,x_5$的平均数为$m$，$x_6,x_7,\dots,x_{20}$的平均数为$n$，则$x_1,x_2,\dots,x_{20}$的平均数为（
A.$m+n$
B.$\frac{m+n}{2}$
C.$\frac{m+4n}{5}$
D.$\frac{m+3n}{4}$
D
）A.$m+n$
B.$\frac{m+n}{2}$
C.$\frac{m+4n}{5}$
D.$\frac{m+3n}{4}$
答案
1.D 由题意得$x_1,x_2,···,x_{20}$的总和为$5m+15n$,$\therefore$ 平均数为$\frac{5m+15n}{20}=\frac{m+3n}{4}$,故选D.
解析
【分析】
要求20个数据的平均数，根据平均数的计算逻辑，需先求出这20个数据的总总和，再除以总个数20。我们可以先利用“数据总和=平均数×数据个数”分别求出前5个数据的总和、后15个数据的总和，两部分相加得到20个数据的总总和，最后代入平均数公式化简即可得到结果。
【解析】
已知$x_1,x_2,\dots,x_5$的平均数为$m$，则这5个数据的总和为$5m$；
$x_6,x_7,\dots,x_{20}$共有$20-5=15$个数据，它们的平均数为$n$，则这15个数据的总和为$15n$；
因此$x_1,x_2,\dots,x_{20}$的总总和为$5m+15n$，总个数为20，
所以这20个数据的平均数为$\frac{5m+15n}{20}=\frac{m+3n}{4}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
平均数的计算；代数式化简
【点评】
本题属于平均数计算的基础题型，解题核心是牢记平均数的计算公式，拆分计算两组数据的总和是解题的关键，计算时注意对最终的代数式进行约分简化即可。
【难度系数】
0.8
要求20个数据的平均数，根据平均数的计算逻辑，需先求出这20个数据的总总和，再除以总个数20。我们可以先利用“数据总和=平均数×数据个数”分别求出前5个数据的总和、后15个数据的总和，两部分相加得到20个数据的总总和，最后代入平均数公式化简即可得到结果。
【解析】
已知$x_1,x_2,\dots,x_5$的平均数为$m$，则这5个数据的总和为$5m$；
$x_6,x_7,\dots,x_{20}$共有$20-5=15$个数据，它们的平均数为$n$，则这15个数据的总和为$15n$；
因此$x_1,x_2,\dots,x_{20}$的总总和为$5m+15n$，总个数为20，
所以这20个数据的平均数为$\frac{5m+15n}{20}=\frac{m+3n}{4}$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
平均数的计算；代数式化简
【点评】
本题属于平均数计算的基础题型，解题核心是牢记平均数的计算公式，拆分计算两组数据的总和是解题的关键，计算时注意对最终的代数式进行约分简化即可。
【难度系数】
0.8
2. 学科特色 教材变式 国庆假期期间，A,B两个景区接待游客人数分别为$2×10^4$和$3×10^4$，下表是游客在每个景区游玩时间的统计结果.
则国庆假期这两个景点所有游客游玩时间的平均数是
则国庆假期这两个景点所有游客游玩时间的平均数是
2.3 h
.答案
2.答案 2.3 h
解析 国庆假期这两个景点所有游客游玩时间的平均数是$\frac{2×10^4×2+3×10^4×2.5}{2×10^4+3×10^4}=2.3(\mathrm{h})$.
解析 国庆假期这两个景点所有游客游玩时间的平均数是$\frac{2×10^4×2+3×10^4×2.5}{2×10^4+3×10^4}=2.3(\mathrm{h})$.
解析
【分析】
要计算两个景区所有游客的平均游玩时间，属于加权平均数的计算问题，不能直接将两个景区的平均游玩时间取算术平均，因为两个景区接待的游客人数（即权重）不同。正确思路是先分别计算出两个景区游客的总游玩时间，相加得到所有游客的总游玩时间，再除以两个景区的总游客数，即可得到所求的平均数。
【解析】
解：首先计算两个景区游客的总游玩时间：
$2×10^4 × 2 + 3×10^4 × 2.5 = 4×10^4 +7.5×10^4 =11.5×10^4 \ (\mathrm{h})$
再计算两个景区的总游客数：
$2×10^4 +3×10^4 =5×10^4$（人）
因此所有游客游玩时间的平均数为：
$\frac{11.5×10^4}{5×10^4}=2.3(\mathrm{h})$
【答案】
2.3 h
【知识点】
加权平均数，平均数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查平均数的计算，需要注意区分算术平均数和加权平均数的适用场景，当各组数据的权重不相同时，需用加权平均数的计算方法求解，计算时可先约掉相同的数量级简化运算。
【难度系数】
0.8
要计算两个景区所有游客的平均游玩时间，属于加权平均数的计算问题，不能直接将两个景区的平均游玩时间取算术平均，因为两个景区接待的游客人数（即权重）不同。正确思路是先分别计算出两个景区游客的总游玩时间，相加得到所有游客的总游玩时间，再除以两个景区的总游客数，即可得到所求的平均数。
【解析】
解：首先计算两个景区游客的总游玩时间：
$2×10^4 × 2 + 3×10^4 × 2.5 = 4×10^4 +7.5×10^4 =11.5×10^4 \ (\mathrm{h})$
再计算两个景区的总游客数：
$2×10^4 +3×10^4 =5×10^4$（人）
因此所有游客游玩时间的平均数为：
$\frac{11.5×10^4}{5×10^4}=2.3(\mathrm{h})$
【答案】
2.3 h
【知识点】
加权平均数，平均数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查平均数的计算，需要注意区分算术平均数和加权平均数的适用场景，当各组数据的权重不相同时，需用加权平均数的计算方法求解，计算时可先约掉相同的数量级简化运算。
【难度系数】
0.8
3.某连锁早餐店有4家分店，某天早餐店的营业情况如下表所示.
这天4家早餐店所有人的每人次平均消费金额和微信结账百分比分别是多少？
这天4家早餐店所有人的每人次平均消费金额和微信结账百分比分别是多少？
答案
3.解析 根据平均数和总数的关系,可以计算这天4家早餐店所有人的每人次平均消费金额为$\frac{550×14+380×20+540×16+530×12}{550+380+540+530}=15.15(\mathrm{元})$.
这天4家早餐店所有人的微信结账百分比为$\frac{550×70\%+380×90\%+540×85\%+530×80\%}{550+380+540+530}=80.5\%$.
这天4家早餐店所有人的微信结账百分比为$\frac{550×70\%+380×90\%+540×85\%+530×80\%}{550+380+540+530}=80.5\%$.
解析
【分析】
要计算4家店总的每人次平均消费金额和总的微信结账百分比，二者均属于加权平均数的计算范畴，权重均为各分店的结账人次：
1. 计算总平均消费时，先求出4家店的总消费金额，即各店结账人次乘该店每人次平均消费后求和，再除以4家店的总结账人次即可；
2. 计算总微信结账百分比时，先求出4家店微信结账的总人次，即各店结账人次乘该店微信结账百分比后求和，再除以4家店的总结账人次即可。注意不能直接对4家店的平均消费、微信结账百分比取算术平均，要结合人次权重计算。
【解析】
首先计算4家店的总结账人次：
$550+380+540+530=2000$（人次）
① 计算每人次平均消费金额：
总消费金额为 $550×14 + 380×20 + 540×16 + 530×12 = 7700 + 7600 + 8640 + 6360 = 30300$（元）
总平均消费金额为 $\frac{30300}{2000}=15.15$（元）
② 计算微信结账百分比：
微信结账总人次为 $550×70\% + 380×90\% + 540×85\% + 530×80\% = 385 + 342 + 459 + 424 = 1610$（人次）
总微信结账百分比为 $\frac{1610}{2000}×100\% = 80.5\%$
【答案】
每人次平均消费金额为15.15元，微信结账百分比为80.5%。
【知识点】
加权平均数计算，百分数应用
【点评】
本题结合生活中的营业统计场景考查加权平均数的应用，解题的核心是准确识别权重，避免误用算术平均的计算方法，能有效提升对统计数据的分析和运算能力。
【难度系数】
0.7
要计算4家店总的每人次平均消费金额和总的微信结账百分比，二者均属于加权平均数的计算范畴，权重均为各分店的结账人次：
1. 计算总平均消费时，先求出4家店的总消费金额，即各店结账人次乘该店每人次平均消费后求和，再除以4家店的总结账人次即可；
2. 计算总微信结账百分比时，先求出4家店微信结账的总人次，即各店结账人次乘该店微信结账百分比后求和，再除以4家店的总结账人次即可。注意不能直接对4家店的平均消费、微信结账百分比取算术平均，要结合人次权重计算。
【解析】
首先计算4家店的总结账人次：
$550+380+540+530=2000$（人次）
① 计算每人次平均消费金额：
总消费金额为 $550×14 + 380×20 + 540×16 + 530×12 = 7700 + 7600 + 8640 + 6360 = 30300$（元）
总平均消费金额为 $\frac{30300}{2000}=15.15$（元）
② 计算微信结账百分比：
微信结账总人次为 $550×70\% + 380×90\% + 540×85\% + 530×80\% = 385 + 342 + 459 + 424 = 1610$（人次）
总微信结账百分比为 $\frac{1610}{2000}×100\% = 80.5\%$
【答案】
每人次平均消费金额为15.15元，微信结账百分比为80.5%。
【知识点】
加权平均数计算，百分数应用
【点评】
本题结合生活中的营业统计场景考查加权平均数的应用，解题的核心是准确识别权重，避免误用算术平均的计算方法，能有效提升对统计数据的分析和运算能力。
【难度系数】
0.7
4.「★☆」如图,将一块长方形试验田分为甲、乙两块,且$a:b=2:1$,已知试验田甲的小麦产量为每亩 450 kg,试验田乙的小麦产量为每亩480 kg,则这块长方形试验田的小麦产量为每亩
460 kg
.答案
4.答案 460 kg
解析 设试验田乙的面积为$x$亩,
$\because a:b=2:1$,$\therefore$ 试验田甲的面积为$2x$亩,
$\therefore$ 这块长方形试验田的总面积为$x+2x=3x$亩,
$\therefore$ 这块长方形试验田的小麦产量为每亩$\frac{450×2x+480×x}{3x}=460(\mathrm{kg})$.
解析 设试验田乙的面积为$x$亩,
$\because a:b=2:1$,$\therefore$ 试验田甲的面积为$2x$亩,
$\therefore$ 这块长方形试验田的总面积为$x+2x=3x$亩,
$\therefore$ 这块长方形试验田的小麦产量为每亩$\frac{450×2x+480×x}{3x}=460(\mathrm{kg})$.
解析
【分析】
要计算整块试验田的平均亩产量，首先明确平均亩产量的计算公式：平均亩产量=整块试验田的总产量÷整块试验田的总面积。观察图形可知甲、乙两块试验田的宽相等，因此两块田的面积比等于长的比$a:b=2:1$。我们可以通过设参数表示两块田的面积，分别计算甲、乙的总产量，求和后除以总面积即可，计算过程中参数会自动消去，得到最终结果。
【解析】
设试验田乙的面积为$x$亩，
$\because a:b=2:1$，甲、乙两块试验田的宽相同，且长方形面积=长×宽，
$\therefore$ 试验田甲的面积为$2x$亩，
$\therefore$ 整块试验田的总面积为$2x + x = 3x$亩，
整块试验田的小麦总产量为$450×2x + 480× x$，
因此平均亩产量为$\frac{450×2x + 480× x}{3x} = \frac{900x + 480x}{3x} = \frac{1380x}{3x} = 460(\mathrm{kg})$。
【答案】
460 kg
【知识点】
加权平均计算、比例的应用、代数式化简
【点评】
本题是结合生产实际的应用题，解题核心是掌握平均产量的计算逻辑，利用长方形长宽与面积的比例关系设参数，通过代数式化简消去参数即可求出结果，解题时不需要求出参数的具体数值，可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
要计算整块试验田的平均亩产量，首先明确平均亩产量的计算公式：平均亩产量=整块试验田的总产量÷整块试验田的总面积。观察图形可知甲、乙两块试验田的宽相等，因此两块田的面积比等于长的比$a:b=2:1$。我们可以通过设参数表示两块田的面积，分别计算甲、乙的总产量，求和后除以总面积即可，计算过程中参数会自动消去，得到最终结果。
【解析】
设试验田乙的面积为$x$亩，
$\because a:b=2:1$，甲、乙两块试验田的宽相同，且长方形面积=长×宽，
$\therefore$ 试验田甲的面积为$2x$亩，
$\therefore$ 整块试验田的总面积为$2x + x = 3x$亩，
整块试验田的小麦总产量为$450×2x + 480× x$，
因此平均亩产量为$\frac{450×2x + 480× x}{3x} = \frac{900x + 480x}{3x} = \frac{1380x}{3x} = 460(\mathrm{kg})$。
【答案】
460 kg
【知识点】
加权平均计算、比例的应用、代数式化简
【点评】
本题是结合生产实际的应用题，解题核心是掌握平均产量的计算逻辑，利用长方形长宽与面积的比例关系设参数，通过代数式化简消去参数即可求出结果，解题时不需要求出参数的具体数值，可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
5.「★☆」某商店有A,B两种糖果,原价分别为a元/千克和b元/千克.调查发现,将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合,取得了较好的销售效果.现调整糖果价格,若A种糖果单价上涨20%,B种糖果单价下调10%,仍按原比例混合后,糖果单价恰好不变,则$\frac{m}{n}=$
$\frac{b}{2a}$
(用含a,b的式子表示).答案
5.答案 $\frac{b}{2a}$
解析 根据题意得$\frac{am+bn}{m+n}=\frac{am(1+20\%)+bn(1-10\%)}{m+n}$,
即 $am+bn=1.2am+0.9bn$,
$\therefore 0.2am=0.1bn$,$\therefore \frac{m}{n}=\frac{0.1b}{0.2a}=\frac{b}{2a}$.
解析 根据题意得$\frac{am+bn}{m+n}=\frac{am(1+20\%)+bn(1-10\%)}{m+n}$,
即 $am+bn=1.2am+0.9bn$,
$\therefore 0.2am=0.1bn$,$\therefore \frac{m}{n}=\frac{0.1b}{0.2a}=\frac{b}{2a}$.
解析
【分析】
首先找到题中的核心等量关系：调价前后按相同比例混合的糖果单价不变。我们知道混合糖果的单价=两种糖果的总售价÷两种糖果的总质量，因此我们可以先分别用含a、b、m、n的代数式表示出调价前和调价后的混合单价，令两个单价相等列出方程，再通过移项、化简就能求出$\frac{m}{n}$的比值。
【解析】
调价前混合糖果的单价为两种糖果总售价除以总质量，即$\frac{am+bn}{m+n}$；
调价后A种糖果单价上涨20%，变为$a×(1+20\%)=1.2a$元/千克，B种糖果单价下调10%，变为$b×(1-10\%)=0.9b$元/千克，此时混合糖果的单价为$\frac{1.2am+0.9bn}{m+n}$。
由混合单价不变可列等式：
$\frac{am+bn}{m+n}=\frac{1.2am+0.9bn}{m+n}$
因为混合总质量$m+n≠0$，两边同时乘$(m+n)$消去分母得：
$am+bn=1.2am+0.9bn$
移项合并同类项：$0.1bn=0.2am$
两边同时除以$0.2an$（$a≠0,n≠0$），整理得$\frac{m}{n}=\frac{0.1b}{0.2a}=\frac{b}{2a}$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$
【知识点】
列代数式、等式的性质、比例化简
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题关键是准确抓住“混合单价不变”的等量关系，注意价格涨跌的百分比换算要正确，整体计算量小，主要考察对实际问题中等量关系的提取和代数式化简能力。
【难度系数】
0.75
首先找到题中的核心等量关系：调价前后按相同比例混合的糖果单价不变。我们知道混合糖果的单价=两种糖果的总售价÷两种糖果的总质量，因此我们可以先分别用含a、b、m、n的代数式表示出调价前和调价后的混合单价，令两个单价相等列出方程，再通过移项、化简就能求出$\frac{m}{n}$的比值。
【解析】
调价前混合糖果的单价为两种糖果总售价除以总质量，即$\frac{am+bn}{m+n}$；
调价后A种糖果单价上涨20%，变为$a×(1+20\%)=1.2a$元/千克，B种糖果单价下调10%，变为$b×(1-10\%)=0.9b$元/千克，此时混合糖果的单价为$\frac{1.2am+0.9bn}{m+n}$。
由混合单价不变可列等式：
$\frac{am+bn}{m+n}=\frac{1.2am+0.9bn}{m+n}$
因为混合总质量$m+n≠0$，两边同时乘$(m+n)$消去分母得：
$am+bn=1.2am+0.9bn$
移项合并同类项：$0.1bn=0.2am$
两边同时除以$0.2an$（$a≠0,n≠0$），整理得$\frac{m}{n}=\frac{0.1b}{0.2a}=\frac{b}{2a}$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$
【知识点】
列代数式、等式的性质、比例化简
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题关键是准确抓住“混合单价不变”的等量关系，注意价格涨跌的百分比换算要正确，整体计算量小，主要考察对实际问题中等量关系的提取和代数式化简能力。
【难度系数】
0.75
6.「2026河南开封模拟改编，★☆」某大型超市对4种畅销商品的促销策略进行调整，据统计，调整前后各商品的日均销售量不变，有关数据如下表：
超市声称调整前后这4种商品的平均售价不变，然而部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了，超市和部分消费者分别是如何计算的？你认为超市和消费者哪一个的说法较能反映整体实际情况？
超市声称调整前后这4种商品的平均售价不变，然而部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了，超市和部分消费者分别是如何计算的？你认为超市和消费者哪一个的说法较能反映整体实际情况？
答案
6.解析 超市的计算方法:
调整前的平均售价为$(8+8+12+16)÷4=11(\mathrm{元})$,
调整后的平均售价为$(6+6+12+20)÷4=11(\mathrm{元})$,
$\therefore$ 超市认为平均售价不变,
部分消费者的计算方法:
调整前的平均售价为$\frac{8×100+8×100+12×200+16×300}{100+100+200+300}=\frac{88}{7}\mathrm{元}$,
调整后的平均售价为$\frac{6×100+6×100+12×200+20×300}{100+100+200+300}=\frac{96}{7}\mathrm{元}$,
$\because \frac{88}{7}＜\frac{96}{7}$,$\therefore$ 部分消费者认为平均售价增加了.
消费者的说法较能反映整体实际情况.
调整前的平均售价为$(8+8+12+16)÷4=11(\mathrm{元})$,
调整后的平均售价为$(6+6+12+20)÷4=11(\mathrm{元})$,
$\therefore$ 超市认为平均售价不变,
部分消费者的计算方法:
调整前的平均售价为$\frac{8×100+8×100+12×200+16×300}{100+100+200+300}=\frac{88}{7}\mathrm{元}$,
调整后的平均售价为$\frac{6×100+6×100+12×200+20×300}{100+100+200+300}=\frac{96}{7}\mathrm{元}$,
$\because \frac{88}{7}＜\frac{96}{7}$,$\therefore$ 部分消费者认为平均售价增加了.
消费者的说法较能反映整体实际情况.
解析
【分析】
要明确超市和消费者的计算差异，需先区分两种平均数的适用场景：超市直接对4种商品的售价求算术平均，未考虑各商品的销量差异；消费者以日均销量为权重计算加权平均售价，更符合实际消费中销量高的商品对整体平均售价影响更大的规律。解题时先分别按两种方法计算调整前后的平均售价，再结合实际情况判断哪种说法更合理。
【解析】
超市的计算方法：
调整前的平均售价：$(8+8+12+16)÷4=11(\mathrm{元})$
调整后的平均售价：$(6+6+12+20)÷4=11(\mathrm{元})$
因此超市认为平均售价不变。
部分消费者的计算方法：
调整前的平均售价：$\frac{8×100+8×100+12×200+16×300}{100+100+200+300}=\frac{88}{7}(\mathrm{元})$
调整后的平均售价：$\frac{6×100+6×100+12×200+20×300}{100+100+200+300}=\frac{96}{7}(\mathrm{元})$
因为$\frac{88}{7}＜\frac{96}{7}$，因此部分消费者认为平均售价增加了。
由于销量更高的商品对消费者整体消费的平均价格影响更大，因此消费者的计算方式更贴合实际。
【答案】
超市通过计算4种商品售价的算术平均数，得出调整前后平均售价均为11元，认为平均售价不变；消费者以日均销售量为权重计算加权平均售价，得出调整前平均售价为$\frac{88}{7}$元，调整后为$\frac{96}{7}$元，认为平均售价增加。消费者的说法较能反映整体实际情况。
【知识点】
算术平均数，加权平均数，平均数的应用
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查了不同平均数的计算与适用范围，体现了统计量的使用需要结合实际场景，才能得到符合真实情况的结论。
【难度系数】
0.7
要明确超市和消费者的计算差异，需先区分两种平均数的适用场景：超市直接对4种商品的售价求算术平均，未考虑各商品的销量差异；消费者以日均销量为权重计算加权平均售价，更符合实际消费中销量高的商品对整体平均售价影响更大的规律。解题时先分别按两种方法计算调整前后的平均售价，再结合实际情况判断哪种说法更合理。
【解析】
超市的计算方法：
调整前的平均售价：$(8+8+12+16)÷4=11(\mathrm{元})$
调整后的平均售价：$(6+6+12+20)÷4=11(\mathrm{元})$
因此超市认为平均售价不变。
部分消费者的计算方法：
调整前的平均售价：$\frac{8×100+8×100+12×200+16×300}{100+100+200+300}=\frac{88}{7}(\mathrm{元})$
调整后的平均售价：$\frac{6×100+6×100+12×200+20×300}{100+100+200+300}=\frac{96}{7}(\mathrm{元})$
因为$\frac{88}{7}＜\frac{96}{7}$，因此部分消费者认为平均售价增加了。
由于销量更高的商品对消费者整体消费的平均价格影响更大，因此消费者的计算方式更贴合实际。
【答案】
超市通过计算4种商品售价的算术平均数，得出调整前后平均售价均为11元，认为平均售价不变；消费者以日均销售量为权重计算加权平均售价，得出调整前平均售价为$\frac{88}{7}$元，调整后为$\frac{96}{7}$元，认为平均售价增加。消费者的说法较能反映整体实际情况。
【知识点】
算术平均数，加权平均数，平均数的应用
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查了不同平均数的计算与适用范围，体现了统计量的使用需要结合实际场景，才能得到符合真实情况的结论。
【难度系数】
0.7
