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1. (2025·湖北)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
解题可选用两种思路：方法一用根与系数的关系（韦达定理）求解，首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先确定题干方程中$a、b、c$的取值，再分别代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算，最后和选项比对即可；方法二可先解出方程的两个实根，直接计算两根的和与积再比对选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则有根与系数的关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干中方程$x^2 -4x +3=0$对应系数为：$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
比对选项：A、B选项两根和计算错误，C选项两根积计算错误，只有D选项结论正确。
（也可通过因式分解解方程验证：$x^2 -4x +3=(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1，x_2=3$，计算得$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=3$，同样可得D正确）
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对一元二次方程根与系数关系的运用，只要熟练掌握韦达定理公式，准确识别方程系数代入计算即可得分，也可通过直接解方程的方法验证结果，难度较低。
【难度系数】
0.85
解题可选用两种思路：方法一用根与系数的关系（韦达定理）求解，首先明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先确定题干方程中$a、b、c$的取值，再分别代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算，最后和选项比对即可；方法二可先解出方程的两个实根，直接计算两根的和与积再比对选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则有根与系数的关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题干中方程$x^2 -4x +3=0$对应系数为：$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$。
比对选项：A、B选项两根和计算错误，C选项两根积计算错误，只有D选项结论正确。
（也可通过因式分解解方程验证：$x^2 -4x +3=(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1，x_2=3$，计算得$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=3$，同样可得D正确）
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对一元二次方程根与系数关系的运用，只要熟练掌握韦达定理公式，准确识别方程系数代入计算即可得分，也可通过直接解方程的方法验证结果，难度较低。
【难度系数】
0.85
2. (2024·乐山)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$两根为$x_1, x_2$，且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$p$的值为（
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
A
）A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先将待求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形，转化为用两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$表示的形式；第二步，根据一元二次方程的系数，利用韦达定理求出两根之和与两根之积；第三步，将两根和、积的结果代入变形后的代数式，得到关于$p$的方程，解方程即可求出$p$的值。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+p=0$的两根为$x_1$、$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$，
$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{1} = p$。
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分化简得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$，
结合题目条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，代入得：
$\frac{-2}{p} = 3$，
解得$p = -\frac{2}{3}$。
验证：当$p=-\frac{2}{3}$时，原方程判别式$\Delta=2^2-4×1×(-\frac{2}{3})＞0$，方程有两个实根，且$p≠0$，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，分式化简，解分式方程
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题核心是将待求分式转化为两根之和、两根之积的表达形式，再代入韦达定理的结论求解，侧重考查基础公式的应用能力和代数式变形能力，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先将待求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形，转化为用两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$表示的形式；第二步，根据一元二次方程的系数，利用韦达定理求出两根之和与两根之积；第三步，将两根和、积的结果代入变形后的代数式，得到关于$p$的方程，解方程即可求出$p$的值。
【解析】
已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+p=0$的两根为$x_1$、$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$，
$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p}{1} = p$。
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分化简得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$，
结合题目条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，代入得：
$\frac{-2}{p} = 3$，
解得$p = -\frac{2}{3}$。
验证：当$p=-\frac{2}{3}$时，原方程判别式$\Delta=2^2-4×1×(-\frac{2}{3})＞0$，方程有两个实根，且$p≠0$，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，分式化简，解分式方程
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题核心是将待求分式转化为两根之和、两根之积的表达形式，再代入韦达定理的结论求解，侧重考查基础公式的应用能力和代数式变形能力，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
3. 已知$m$，$n$是一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$的两个根，则$m^2 + mn +2m$的值为 （
A.0
B.$-10$
C.3
D.10
A
）A.0
B.$-10$
C.3
D.10
答案
A
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，利用一元二次方程根的定义，m是方程的根，将x=m代入原方程，即可得到m²+2m的取值；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之积mn的取值；第三步，观察所求代数式的结构，将其拆分为(m²+2m)+mn的形式，把前两步得到的结果整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化运算过程。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$的根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 + 2m -5 = 0$，即$m^2 + 2m = 5$；
又
∵m、n是该方程的两个根，根据根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$；
对所求代数式变形可得：$m^2 + mn + 2m = (m^2 + 2m) + mn$，
将上述结果代入得：原式$=5+(-5)=0$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义；2. 根与系数的关系
【点评】
本题重点考查整体代入思想的应用，结合根的定义和韦达定理整体代入求值，比直接求解m、n的具体数值运算更简便，能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，利用一元二次方程根的定义，m是方程的根，将x=m代入原方程，即可得到m²+2m的取值；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之积mn的取值；第三步，观察所求代数式的结构，将其拆分为(m²+2m)+mn的形式，把前两步得到的结果整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化运算过程。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + 2x -5=0$的根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 + 2m -5 = 0$，即$m^2 + 2m = 5$；
又
∵m、n是该方程的两个根，根据根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$；
对所求代数式变形可得：$m^2 + mn + 2m = (m^2 + 2m) + mn$，
将上述结果代入得：原式$=5+(-5)=0$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义；2. 根与系数的关系
【点评】
本题重点考查整体代入思想的应用，结合根的定义和韦达定理整体代入求值，比直接求解m、n的具体数值运算更简便，能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
4. 关于$x$的方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根是$-2$和$1$，则$n^m$的值为（
A.$-8$
B.$8$
C.$16$
D.$-16$
C
）A.$-8$
B.$8$
C.$16$
D.$-16$
答案
C
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；再将已知的两个根和对应系数代入公式，分别求出$m$、$n$的值；最后将$m$、$n$代入$n^m$计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + mx + n = 0$，已知两根为$x_1=-2$，$x_2=1$，根据根与系数的关系计算：
1. 求$m$的值：
两根之和满足$x_1+x_2 = -\frac{m}{2}$，代入根的值得：
$-2 + 1 = -\frac{m}{2}$
$-1 = -\frac{m}{2}$
解得$m=2$。
2. 求$n$的值：
两根之积满足$x_1x_2 = \frac{n}{2}$，代入根的值得：
$(-2)×1 = \frac{n}{2}$
$-2 = \frac{n}{2}$
解得$n=-4$。
3. 计算$n^m$：
将$m=2$，$n=-4$代入得：
$n^m = (-4)^2 = 16$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；有理数乘方运算
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题关键是准确记忆韦达定理公式，计算时注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；再将已知的两个根和对应系数代入公式，分别求出$m$、$n$的值；最后将$m$、$n$代入$n^m$计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + mx + n = 0$，已知两根为$x_1=-2$，$x_2=1$，根据根与系数的关系计算：
1. 求$m$的值：
两根之和满足$x_1+x_2 = -\frac{m}{2}$，代入根的值得：
$-2 + 1 = -\frac{m}{2}$
$-1 = -\frac{m}{2}$
解得$m=2$。
2. 求$n$的值：
两根之积满足$x_1x_2 = \frac{n}{2}$，代入根的值得：
$(-2)×1 = \frac{n}{2}$
$-2 = \frac{n}{2}$
解得$n=-4$。
3. 计算$n^m$：
将$m=2$，$n=-4$代入得：
$n^m = (-4)^2 = 16$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；有理数乘方运算
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题关键是准确记忆韦达定理公式，计算时注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
5. (2024·巴中)已知方程$x^2 - 2x + k = 0$的一个根为-2，则方程的另一个根为
4
。答案
4
解析
【分析】
本题考查一元二次方程相关性质，有两种解题思路：思路1：利用本课时所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$，已知其中一个根，直接代入计算即可得到另一个根，无需计算未知参数$k$，解题更简便；思路2：先将已知根代入原方程，求出参数$k$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
解法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，在方程$x^2 - 2x + k = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$。
根据根与系数的关系，两根之和满足：$x_1 + (-2) = -\frac{b}{a}=2$
解得：$x_1=2+2=4$
解法二（代入求参法）：
将$x=-2$代入原方程，得：
$(-2)^2 - 2×(-2) + k = 0$
计算得$4+4+k=0$，解得$k=-8$
则原方程为$x^2 - 2x -8 = 0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，即另一个根为4
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解法均符合要求，熟练掌握韦达定理可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程相关性质，有两种解题思路：思路1：利用本课时所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$，已知其中一个根，直接代入计算即可得到另一个根，无需计算未知参数$k$，解题更简便；思路2：先将已知根代入原方程，求出参数$k$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
解法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，在方程$x^2 - 2x + k = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$。
根据根与系数的关系，两根之和满足：$x_1 + (-2) = -\frac{b}{a}=2$
解得：$x_1=2+2=4$
解法二（代入求参法）：
将$x=-2$代入原方程，得：
$(-2)^2 - 2×(-2) + k = 0$
计算得$4+4+k=0$，解得$k=-8$
则原方程为$x^2 - 2x -8 = 0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$，即另一个根为4
【答案】
4
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解法均符合要求，熟练掌握韦达定理可以简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
6. 已知关于$x$的方程$x^2 + mx -4 =0$的一个根为1，则该方程的另一个根为
-4
。答案
-4
解析
【分析】
解题有两种常见思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形如$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的方程，两根之积等于$\frac{c}{a}$，已知一个根，就可以直接通过乘积关系求出另一个根，计算更简便；思路2：先将已知根$x=1$代入原方程，求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，
对于一元二次方程$x^2 + mx -4 = 0$，二次项系数$a=1$，常数项$c=-4$，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1· x_2 = \frac{c}{a}$，
已知其中一个根$x_1=1$，代入得：$1· x_2 = \frac{-4}{1}$，
解得$x_2 = -4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$1^2 + m·1 -4 = 0$，
解得$m=3$，
则原方程为$x^2 +3x -4 =0$，
因式分解得$(x-1)(x+4)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-4$，即另一个根为$-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础计算题，既可以通过代入已知根求出参数后解方程，也可以直接用根与系数的关系快速求解，后者能减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
解题有两种常见思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形如$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$的方程，两根之积等于$\frac{c}{a}$，已知一个根，就可以直接通过乘积关系求出另一个根，计算更简便；思路2：先将已知根$x=1$代入原方程，求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，
对于一元二次方程$x^2 + mx -4 = 0$，二次项系数$a=1$，常数项$c=-4$，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1· x_2 = \frac{c}{a}$，
已知其中一个根$x_1=1$，代入得：$1· x_2 = \frac{-4}{1}$，
解得$x_2 = -4$。
方法二（代入求参法）：
将$x=1$代入原方程得：$1^2 + m·1 -4 = 0$，
解得$m=3$，
则原方程为$x^2 +3x -4 =0$，
因式分解得$(x-1)(x+4)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-4$，即另一个根为$-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础计算题，既可以通过代入已知根求出参数后解方程，也可以直接用根与系数的关系快速求解，后者能减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
7. (2025·绥化)已知$m$，$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，则$(m+1)·(n+1)=\_\_\_\_\_\_.$
答案
2027
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先将所求代数式$(m+1)(n+1)$利用多项式乘多项式法则展开，得到含$m+n$和$mn$的式子；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出方程两根之和$m+n$与两根之积$mn$的值；第三步，将求出的$m+n$和$mn$整体代入展开后的代数式计算即可，不需要单独求解$m$、$n$的具体值，能简化运算。
【解析】
解：
∵$m$，$n$是一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，
本题中$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，
∴$m+n=-\frac{-2025}{1}=2025$，$mn=\frac{1}{1}=1$。
将$(m+1)(n+1)$展开得：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$，
把$m+n=2025$，$mn=1$代入上式得：
原式$=1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握韦达定理，通过整体代入的方法求值，无需解出方程的根即可快速得到结果，有效降低运算量。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，先将所求代数式$(m+1)(n+1)$利用多项式乘多项式法则展开，得到含$m+n$和$mn$的式子；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出方程两根之和$m+n$与两根之积$mn$的值；第三步，将求出的$m+n$和$mn$整体代入展开后的代数式计算即可，不需要单独求解$m$、$n$的具体值，能简化运算。
【解析】
解：
∵$m$，$n$是一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，
本题中$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，
∴$m+n=-\frac{-2025}{1}=2025$，$mn=\frac{1}{1}=1$。
将$(m+1)(n+1)$展开得：
$(m+1)(n+1)=mn + m + n + 1$，
把$m+n=2025$，$mn=1$代入上式得：
原式$=1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】
2027
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 多项式乘多项式运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握韦达定理，通过整体代入的方法求值，无需解出方程的根即可快速得到结果，有效降低运算量。
【难度系数】
0.9
8. (2025·广安)已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
。答案
29
解析
【分析】
解题思路如下：首先，a是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将x=a代入方程可得到a²与a的关系式，对所求代数式中的二次项a²进行降次处理，将代数式化简为含a+b的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和a+b的值，最后整体代入化简后的代数式即可得到结果。也可以先解出方程的两个根，分两种情况代入代数式计算，两种方法结果一致。
【解析】
步骤1：利用方程根的定义变形
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，整理得$a^2=5a+24$
步骤2：化简所求代数式
将$a^2=5a+24$代入$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b=5a+24-4a+b=a+b+24$
步骤3：利用根与系数的关系求两根之和
对于一元二次方程$x^2 -5x -24=0$，两根为a、b，根据根与系数的关系：
$a+b=-\frac{-5}{1}=5$
步骤4：代入计算
将$a+b=5$代入$a+b+24$得：$5+24=29$
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是通过根的定义实现降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了求解方程根的繁琐计算，能很好地考查学生对代数式变形和整体代入思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，a是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将x=a代入方程可得到a²与a的关系式，对所求代数式中的二次项a²进行降次处理，将代数式化简为含a+b的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和a+b的值，最后整体代入化简后的代数式即可得到结果。也可以先解出方程的两个根，分两种情况代入代数式计算，两种方法结果一致。
【解析】
步骤1：利用方程根的定义变形
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，整理得$a^2=5a+24$
步骤2：化简所求代数式
将$a^2=5a+24$代入$a^2 -4a +b$得：
$a^2 -4a +b=5a+24-4a+b=a+b+24$
步骤3：利用根与系数的关系求两根之和
对于一元二次方程$x^2 -5x -24=0$，两根为a、b，根据根与系数的关系：
$a+b=-\frac{-5}{1}=5$
步骤4：代入计算
将$a+b=5$代入$a+b+24$得：$5+24=29$
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是通过根的定义实现降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了求解方程根的繁琐计算，能很好地考查学生对代数式变形和整体代入思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不等实数根$x_1,x_2$.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若$x_1x_2=5$,求$k$的值.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若$x_1x_2=5$,求$k$的值.
答案
(1) 根据题意得$\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)＞0$,解得$k＞\frac{3}{4}$.
(2) 根据题意得$x_1x_2=k^2+1$,$\because x_1x_2=5$,$\therefore k^2+1=5$,解得$k_1=-2$,$k_2=2$,$\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore k=2$.
(2) 根据题意得$x_1x_2=k^2+1$,$\because x_1x_2=5$,$\therefore k^2+1=5$,解得$k_1=-2$,$k_2=2$,$\because k＞\frac{3}{4}$,$\therefore k=2$.
解析
【分析】
（1）一元二次方程根的个数与判别式$\Delta$的取值直接相关，当方程有两个不等实数根时，满足$\Delta＞0$。我们先确定方程对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta=b^2-4ac$列出关于$k$的不等式，求解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）已知两根乘积，可利用一元二次方程根与系数的关系，直接得到两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数得到关于$k$的方程，求解出$k$的可能值后，结合第（1）问得到的$k$的取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到最终$k$的值。
【解析】
（1）$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不等实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2+1$，
代入得：$\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2+1) ＞ 0$，
展开化简：$4k^2+4k+1-4k^2-4＞0$，即$4k-3＞0$，
解得：$k＞\frac{3}{4}$。
（2）根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=k^2+1$，
$\because x_1x_2=5$，
$\therefore k^2+1=5$，解得$k_1=-2$，$k_2=2$，
结合（1）中$k＞\frac{3}{4}$的取值范围，舍去$k=-2$，
$\therefore k=2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{k＞\frac{3}{4}}$；（2）$\boldsymbol{k=2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，重点考察根的判别式、韦达定理的基础应用，解题时需注意，根据韦达定理求出参数的解后，要结合判别式的取值范围对参数进行验证，排除增根，避免漏步失分。
【难度系数】
0.7
（1）一元二次方程根的个数与判别式$\Delta$的取值直接相关，当方程有两个不等实数根时，满足$\Delta＞0$。我们先确定方程对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入$\Delta=b^2-4ac$列出关于$k$的不等式，求解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）已知两根乘积，可利用一元二次方程根与系数的关系，直接得到两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数得到关于$k$的方程，求解出$k$的可能值后，结合第（1）问得到的$k$的取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到最终$k$的值。
【解析】
（1）$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不等实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=1$，$b=2k+1$，$c=k^2+1$，
代入得：$\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2+1) ＞ 0$，
展开化简：$4k^2+4k+1-4k^2-4＞0$，即$4k-3＞0$，
解得：$k＞\frac{3}{4}$。
（2）根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=k^2+1$，
$\because x_1x_2=5$，
$\therefore k^2+1=5$，解得$k_1=-2$，$k_2=2$，
结合（1）中$k＞\frac{3}{4}$的取值范围，舍去$k=-2$，
$\therefore k=2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{k＞\frac{3}{4}}$；（2）$\boldsymbol{k=2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，重点考察根的判别式、韦达定理的基础应用，解题时需注意，根据韦达定理求出参数的解后，要结合判别式的取值范围对参数进行验证，排除增根，避免漏步失分。
【难度系数】
0.7
10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4mx +3m^2=0$.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若$m＞0$，且该方程的两个实数根的差为2，求$m$的值.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若$m＞0$，且该方程的两个实数根的差为2，求$m$的值.
答案
$\because a=1,b=-4m,c=3m^2$,$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-4m)^2-4×1×3m^2=4m^2$.$\because$ 无论$m$取何值时,$4m^2≥0$,即$\Delta≥0$,$\therefore$ 原方程总有两个实数根.
(2) $\because x^2-4mx+3m^2=0$,即$(x-m)(x-3m)=0$,$\therefore x_1=m$,$x_2=3m$.
$\because m＞0$,且该方程的两个实数根的差为2,$\therefore 3m-m=2$,$\therefore m=1$.
(2) $\because x^2-4mx+3m^2=0$,即$(x-m)(x-3m)=0$,$\therefore x_1=m$,$x_2=3m$.
$\because m＞0$,且该方程的两个实数根的差为2,$\therefore 3m-m=2$,$\therefore m=1$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是证明根的判别式$\Delta≥0$。首先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式计算，再判断计算结果的非负性即可完成证明；
（2）已知$m＞0$且两根的差为2，可先通过因式分解法求出方程的两个根，结合$m＞0$的条件判断两根的大小，再根据两根差为2列一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 -4mx +3m^2=0$，可知$a=1$，$b=-4m$，$c=3m^2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4m)^2 - 4×1×3m^2 = 16m^2 - 12m^2 = 4m^2$。
∵ 无论$m$取何值，$4m^2 ≥ 0$恒成立，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 原方程总有两个实数根。
（2）解：将方程$x^2 -4mx +3m^2=0$因式分解，可得$(x - m)(x - 3m) = 0$，
∴ $x_1 = m$，$x_2 = 3m$。
∵ $m ＞ 0$，
∴ $3m ＞ m$，
又
∵ 方程两个实数根的差为2，
∴ $3m - m = 2$，解得$m = 1$。
【答案】
（1）该方程总有两个实数根，证明如上；（2）$\boxed{m=1}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，主要考查利用根的判别式判断方程根的情况，以及解一元二次方程的能力，解题时也可尝试用根与系数的关系求解第二问，有助于巩固相关知识点。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是证明根的判别式$\Delta≥0$。首先确定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式计算，再判断计算结果的非负性即可完成证明；
（2）已知$m＞0$且两根的差为2，可先通过因式分解法求出方程的两个根，结合$m＞0$的条件判断两根的大小，再根据两根差为2列一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 -4mx +3m^2=0$，可知$a=1$，$b=-4m$，$c=3m^2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4m)^2 - 4×1×3m^2 = 16m^2 - 12m^2 = 4m^2$。
∵ 无论$m$取何值，$4m^2 ≥ 0$恒成立，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 原方程总有两个实数根。
（2）解：将方程$x^2 -4mx +3m^2=0$因式分解，可得$(x - m)(x - 3m) = 0$，
∴ $x_1 = m$，$x_2 = 3m$。
∵ $m ＞ 0$，
∴ $3m ＞ m$，
又
∵ 方程两个实数根的差为2，
∴ $3m - m = 2$，解得$m = 1$。
【答案】
（1）该方程总有两个实数根，证明如上；（2）$\boxed{m=1}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，主要考查利用根的判别式判断方程根的情况，以及解一元二次方程的能力，解题时也可尝试用根与系数的关系求解第二问，有助于巩固相关知识点。
【难度系数】
0.8
