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1.对于方程组$\begin{cases}3x+2y=-2,①\\5x+2y=-4,②\end{cases}$由①－②，得（ ）
A.$2x=2$
B.$2x=-6$
C.$-2x=2$
D.$-2x=-6$
A.$2x=2$
B.$2x=-6$
C.$-2x=2$
D.$-2x=-6$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查二元一次方程组加减消元法的基础运算，解题思路是明确“①－②”的运算规则：将方程①的左右两边分别减去方程②的左右两边，计算时注意遵循去括号符号规则和有理数减法规则，分别算出等式左右两边的运算结果后对应选项判断即可。
【解析】
按照题意计算①－②，遵循“左边减左边，右边减右边”的规则：
左边：$\begin{split}(3x+2y)-(5x+2y)&=3x+2y-5x-2y\\&=-2x\end{split}$
右边：$\begin{split}-2-(-4)&=-2+4\\&=2\end{split}$
因此可得$-2x=2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，整式加减运算，有理数减法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用题型，易错点为去括号时符号处理错误、有理数减法运算时符号出错，熟练掌握基础运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查二元一次方程组加减消元法的基础运算，解题思路是明确“①－②”的运算规则：将方程①的左右两边分别减去方程②的左右两边，计算时注意遵循去括号符号规则和有理数减法规则，分别算出等式左右两边的运算结果后对应选项判断即可。
【解析】
按照题意计算①－②，遵循“左边减左边，右边减右边”的规则：
左边：$\begin{split}(3x+2y)-(5x+2y)&=3x+2y-5x-2y\\&=-2x\end{split}$
右边：$\begin{split}-2-(-4)&=-2+4\\&=2\end{split}$
因此可得$-2x=2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，整式加减运算，有理数减法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用题型，易错点为去括号时符号处理错误、有理数减法运算时符号出错，熟练掌握基础运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2.父子二人并排直立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的$\frac{1}{3}$，儿子露出水面的高度是他自身身高的$\frac{1}{7}$，父子二人的身高之和为3.2米.若设爸爸的身高为$x$米，儿子的身高为$y$米，则可列方程组为（
A.$\begin{cases} x+y=3.2, \\ (1+\frac{1}{7})x=(1+\frac{1}{3})y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=3.2, \\ (1-\frac{1}{7})x=(1-\frac{1}{3})y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=3.2, \\ \frac{1}{3}x=\frac{1}{7}y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=3.2, \\ (1-\frac{1}{3})x=(1-\frac{1}{7})y \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x+y=3.2, \\ (1+\frac{1}{7})x=(1+\frac{1}{3})y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=3.2, \\ (1-\frac{1}{7})x=(1-\frac{1}{3})y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=3.2, \\ \frac{1}{3}x=\frac{1}{7}y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=3.2, \\ (1-\frac{1}{3})x=(1-\frac{1}{7})y \end{cases}$
答案
2.D
解析
【分析】
解这道题首先要梳理题目中的等量关系：第一是题目明确给出的父子身高总和为3.2米，可直接列出第一个方程；第二是隐藏的等量关系，父子并排站在同一游泳池中，水深固定，因此两人浸在水下的高度相等，结合两人露出水面的身高占比，分别表示出两人的水下高度即可列出第二个方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意可得到两个等量关系：
1. 爸爸身高+儿子身高=3.2米，设爸爸身高为$x$米，儿子身高为$y$米，因此第一个方程为：$x+y=3.2$；
2. 泳池水深固定，两人水下高度相等：爸爸露出水面的高度占自身身高的$\frac{1}{3}$，因此水下高度为$(1-\frac{1}{3})x$；儿子露出水面的高度占自身身高的$\frac{1}{7}$，因此水下高度为$(1-\frac{1}{7})y$，因此第二个方程为：$(1-\frac{1}{3})x=(1-\frac{1}{7})y$。
联立两个方程，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，等量关系确定，分数实际应用
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题，解题关键是抓住“水深相同即两人水下身高相等”的隐含条件，解题时要注意区分父子各自的身高占比对应关系，避免混淆变量。
【难度系数】
0.75
解这道题首先要梳理题目中的等量关系：第一是题目明确给出的父子身高总和为3.2米，可直接列出第一个方程；第二是隐藏的等量关系，父子并排站在同一游泳池中，水深固定，因此两人浸在水下的高度相等，结合两人露出水面的身高占比，分别表示出两人的水下高度即可列出第二个方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据题意可得到两个等量关系：
1. 爸爸身高+儿子身高=3.2米，设爸爸身高为$x$米，儿子身高为$y$米，因此第一个方程为：$x+y=3.2$；
2. 泳池水深固定，两人水下高度相等：爸爸露出水面的高度占自身身高的$\frac{1}{3}$，因此水下高度为$(1-\frac{1}{3})x$；儿子露出水面的高度占自身身高的$\frac{1}{7}$，因此水下高度为$(1-\frac{1}{7})y$，因此第二个方程为：$(1-\frac{1}{3})x=(1-\frac{1}{7})y$。
联立两个方程，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，等量关系确定，分数实际应用
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题，解题关键是抓住“水深相同即两人水下身高相等”的隐含条件，解题时要注意区分父子各自的身高占比对应关系，避免混淆变量。
【难度系数】
0.75
3. 一副三角板按图1所示方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大$50°$,则∠1,∠2的度数分别为（
A.$60°$，$30°$
B.$65°$，$35°$
C.$50°$，$40°$
D.$70°$，$20°$
D
）A.$60°$，$30°$
B.$65°$，$35°$
C.$50°$，$40°$
D.$70°$，$20°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步观察图形特征，三角板的直角与∠1、∠2共同组成一个平角，结合平角为180°的性质，可得出∠1与∠2的和为90°，得到第一个等量关系；第二步提取题干已知条件，∠1的度数比∠2大50°，可得到∠1-∠2=50°的第二个等量关系；第三步联立两个等量关系，通过解方程组即可求出两个角的度数。
【解析】
由图可知，∠1、∠2和三角板的直角组成平角，根据平角为180°可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 90° = 180°$
整理得：$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$ ①
根据题意，∠1比∠2大50°，可得：
$∠ 1 - ∠ 2 = 50°$ ②
联立①②，将②变形为$∠ 1=∠ 2+50°$代入①：
$∠ 2 + 50° + ∠ 2 = 90°$
$2∠ 2 = 40°$
解得$∠ 2=20°$
则$∠ 1=20°+50°=70°$
所以$∠ 1=70°$，$∠ 2=20°$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义；二元一次方程组的应用；角的和差计算
【点评】
本题结合三角板摆放考查角度计算，解题核心是挖掘图形中隐藏的角度和的关系，再结合已知条件列方程求解，是角度计算的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步：第一步观察图形特征，三角板的直角与∠1、∠2共同组成一个平角，结合平角为180°的性质，可得出∠1与∠2的和为90°，得到第一个等量关系；第二步提取题干已知条件，∠1的度数比∠2大50°，可得到∠1-∠2=50°的第二个等量关系；第三步联立两个等量关系，通过解方程组即可求出两个角的度数。
【解析】
由图可知，∠1、∠2和三角板的直角组成平角，根据平角为180°可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 90° = 180°$
整理得：$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$ ①
根据题意，∠1比∠2大50°，可得：
$∠ 1 - ∠ 2 = 50°$ ②
联立①②，将②变形为$∠ 1=∠ 2+50°$代入①：
$∠ 2 + 50° + ∠ 2 = 90°$
$2∠ 2 = 40°$
解得$∠ 2=20°$
则$∠ 1=20°+50°=70°$
所以$∠ 1=70°$，$∠ 2=20°$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平角的定义；二元一次方程组的应用；角的和差计算
【点评】
本题结合三角板摆放考查角度计算，解题核心是挖掘图形中隐藏的角度和的关系，再结合已知条件列方程求解，是角度计算的典型基础题。
【难度系数】
0.8
4.如果二元一次方程$ax+by+2=0$有两个解是$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$与$\begin{cases}x=1, \\ y=-1,\end{cases}$那么下面仍是这个方程的解的是（ ）
A.$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=6, \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=5, \\ y=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2, \\ y=6 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=6, \\ y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=5, \\ y=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2, \\ y=6 \end{cases}$
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。我们把已知的两组解代入原方程，就能得到关于系数a、b的二元一次方程组，解出a、b后确定原方程的具体形式，最后把四个选项的x、y值分别代入原方程验证，左右两边相等的就是该方程的解。
【解析】
1. 把已知的两组解分别代入方程$ax+by+2=0$，得到关于a、b的方程组：
将$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入得：$2a + 2b + 2 = 0$，化简为$a + b = -1$ ①；
将$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$代入得：$a - b + 2 = 0$，化简为$a - b = -2$ ②。
2. 解上述方程组：
①+②得：$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$；
把$a = -\frac{3}{2}$代入①得：$-\frac{3}{2} + b = -1$，解得$b = \frac{1}{2}$。
3. 确定原方程：把$a=-\frac{3}{2}$、$b=\frac{1}{2}$代入$ax+by+2=0$，得：
$-\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y + 2 = 0$，两边同乘2消去分母，整理得$y = 3x - 4$。
4. 逐一验证选项：
A. 当$x=3$时，$y=3×3 - 4 = 5$，与选项中y值一致，满足方程；
B. 当$x=6$时，$y=3×6 - 4 = 14≠2$，不满足；
C. 当$x=5$时，$y=3×5 - 4 = 11≠3$，不满足；
D. 当$x=2$时，$y=3×2 - 4 = 2≠6$，不满足。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解，解二元一次方程组，代入检验法
【点评】
本题是二元一次方程的基础常考题，解题核心是先利用方程解的定义求出未知系数，再通过代入验证筛选正确解，熟练掌握代入法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先利用二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。我们把已知的两组解代入原方程，就能得到关于系数a、b的二元一次方程组，解出a、b后确定原方程的具体形式，最后把四个选项的x、y值分别代入原方程验证，左右两边相等的就是该方程的解。
【解析】
1. 把已知的两组解分别代入方程$ax+by+2=0$，得到关于a、b的方程组：
将$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入得：$2a + 2b + 2 = 0$，化简为$a + b = -1$ ①；
将$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$代入得：$a - b + 2 = 0$，化简为$a - b = -2$ ②。
2. 解上述方程组：
①+②得：$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$；
把$a = -\frac{3}{2}$代入①得：$-\frac{3}{2} + b = -1$，解得$b = \frac{1}{2}$。
3. 确定原方程：把$a=-\frac{3}{2}$、$b=\frac{1}{2}$代入$ax+by+2=0$，得：
$-\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}y + 2 = 0$，两边同乘2消去分母，整理得$y = 3x - 4$。
4. 逐一验证选项：
A. 当$x=3$时，$y=3×3 - 4 = 5$，与选项中y值一致，满足方程；
B. 当$x=6$时，$y=3×6 - 4 = 14≠2$，不满足；
C. 当$x=5$时，$y=3×5 - 4 = 11≠3$，不满足；
D. 当$x=2$时，$y=3×2 - 4 = 2≠6$，不满足。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解，解二元一次方程组，代入检验法
【点评】
本题是二元一次方程的基础常考题，解题核心是先利用方程解的定义求出未知系数，再通过代入验证筛选正确解，熟练掌握代入法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+3y=a+1,\\3x+2y=7\end{cases}$的解满足$x+y=4$,则$a=$ ______ .
答案
5.12
解析
【分析】
解题时可先观察方程组的系数特征，发现两个方程中x的系数之和与y的系数之和均为5，因此可以先将两个方程左右两边分别相加，得到包含x+y的整体表达式，再结合已知x+y=4的条件，代入即可快速求出a的值；也可以先联立3x+2y=7和x+y=4，求出x、y的具体值后再代入第一个方程计算a，两种方法均符合七年级知识要求，其中整体相加的方法更简便。
【解析】
解法一（整体代入法）：
记$\begin{cases}2x+3y=a+1&①\\3x+2y=7&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$2x+3y+3x+2y=a+1+7$
整理得$5x+5y=a+8$，即$5(x+y)=a+8$
把$x+y=4$代入上式，得：
$5×4=a+8$
计算得$20=a+8$，解得$a=12$
解法二（求解具体值法）：
联立$\begin{cases}3x+2y=7\\x+y=4\end{cases}$
由$x+y=4$变形得$x=4-y$，代入$3x+2y=7$中，得：
$3(4-y)+2y=7$
展开计算：$12-3y+2y=7$，即$12-y=7$，解得$y=5$
则$x=4-5=-1$
把$x=-1$、$y=5$代入$2x+3y=a+1$，得：
$2×(-1)+3×5=a+1$
计算得$-2+15=a+1$，即$13=a+1$，解得$a=12$
【答案】
12
【知识点】
二元一次方程组的解，等式的性质，整体代入法
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，既可以通过求解x、y的具体值代入计算，也可以利用整体思想简化运算，体现了解题方法的灵活性，掌握整体代入的技巧可以有效提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时可先观察方程组的系数特征，发现两个方程中x的系数之和与y的系数之和均为5，因此可以先将两个方程左右两边分别相加，得到包含x+y的整体表达式，再结合已知x+y=4的条件，代入即可快速求出a的值；也可以先联立3x+2y=7和x+y=4，求出x、y的具体值后再代入第一个方程计算a，两种方法均符合七年级知识要求，其中整体相加的方法更简便。
【解析】
解法一（整体代入法）：
记$\begin{cases}2x+3y=a+1&①\\3x+2y=7&②\end{cases}$
将①和②左右两边分别相加，得：
$2x+3y+3x+2y=a+1+7$
整理得$5x+5y=a+8$，即$5(x+y)=a+8$
把$x+y=4$代入上式，得：
$5×4=a+8$
计算得$20=a+8$，解得$a=12$
解法二（求解具体值法）：
联立$\begin{cases}3x+2y=7\\x+y=4\end{cases}$
由$x+y=4$变形得$x=4-y$，代入$3x+2y=7$中，得：
$3(4-y)+2y=7$
展开计算：$12-3y+2y=7$，即$12-y=7$，解得$y=5$
则$x=4-5=-1$
把$x=-1$、$y=5$代入$2x+3y=a+1$，得：
$2×(-1)+3×5=a+1$
计算得$-2+15=a+1$，即$13=a+1$，解得$a=12$
【答案】
12
【知识点】
二元一次方程组的解，等式的性质，整体代入法
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，既可以通过求解x、y的具体值代入计算，也可以利用整体思想简化运算，体现了解题方法的灵活性，掌握整体代入的技巧可以有效提高解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 用适当的方法解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x + y = 5, \\ x - 3y = 6;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + z = 9, \\ y + z = 10, \\ x + y = 5.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + y = 5, \\ x - 3y = 6;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + z = 9, \\ y + z = 10, \\ x + y = 5.\end{cases}$
答案
6.(1)$\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=7. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=7. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 本题是二元一次方程组，观察到第一个方程中y的系数为1，选择代入消元法更简便：先将第一个方程变形，用含x的式子表示y，再代入第二个方程求出x的值，最后回代求出y的值即可。
(2) 本题是三元一次方程组，三个方程分别为两个不同未知数的和，可先将三个方程左右两边同时相加，求出x+y+z的总和，再用总和分别减去每个原方程，即可依次求出x、y、z的值，计算更快捷。
【解析】
(1) 解：$\begin{cases}2x + y = 5&① \\ x - 3y = 6&②\end{cases}$
由①变形得：$y = 5 - 2x$ ③
把③代入②得：$x - 3(5 - 2x) = 6$
去括号得：$x - 15 + 6x = 6$
合并同类项得：$7x = 21$
解得：$x = 3$
将$x = 3$代入③得：$y = 5 - 2×3 = -1$
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$
(2) 解：$\begin{cases}x + z = 9&① \\ y + z = 10&② \\ x + y = 5&③\end{cases}$
①+②+③得：$2x + 2y + 2z = 24$
化简得：$x + y + z = 12$ ④
用④减去②得：$x = 12 - 10 = 2$
用④减去③得：$z = 12 - 5 = 7$
用④减去①得：$y = 12 - 9 = 3$
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=3 \\ z=7\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=7. \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组解法
2. 三元一次方程组解法
3. 消元思想
【点评】
这是解方程组的基础常规题，解题前先观察未知数的系数特点，选择合适的消元方法可以简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是二元一次方程组，观察到第一个方程中y的系数为1，选择代入消元法更简便：先将第一个方程变形，用含x的式子表示y，再代入第二个方程求出x的值，最后回代求出y的值即可。
(2) 本题是三元一次方程组，三个方程分别为两个不同未知数的和，可先将三个方程左右两边同时相加，求出x+y+z的总和，再用总和分别减去每个原方程，即可依次求出x、y、z的值，计算更快捷。
【解析】
(1) 解：$\begin{cases}2x + y = 5&① \\ x - 3y = 6&②\end{cases}$
由①变形得：$y = 5 - 2x$ ③
把③代入②得：$x - 3(5 - 2x) = 6$
去括号得：$x - 15 + 6x = 6$
合并同类项得：$7x = 21$
解得：$x = 3$
将$x = 3$代入③得：$y = 5 - 2×3 = -1$
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$
(2) 解：$\begin{cases}x + z = 9&① \\ y + z = 10&② \\ x + y = 5&③\end{cases}$
①+②+③得：$2x + 2y + 2z = 24$
化简得：$x + y + z = 12$ ④
用④减去②得：$x = 12 - 10 = 2$
用④减去③得：$z = 12 - 5 = 7$
用④减去①得：$y = 12 - 9 = 3$
因此该方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=3 \\ z=7\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=7. \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组解法
2. 三元一次方程组解法
3. 消元思想
【点评】
这是解方程组的基础常规题，解题前先观察未知数的系数特点，选择合适的消元方法可以简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
