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7.学校的篮球比排球的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3：2，求这两种球的个数.若设篮球有$x$个，排球有$y$个，则根据题意可列方程组为 （
A.$\begin{cases} x=2y+3, \\ 2x=3y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2y+3, \\ 3x=2y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2y-3, \\ 3y=2x \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2y-3, \\ 2y=3x \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x=2y+3, \\ 2x=3y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2y+3, \\ 3x=2y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=2y-3, \\ 3y=2x \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=2y-3, \\ 2y=3x \end{cases}$
答案
7.C
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是找准题目中的两个等量关系。首先分析第一个条件：篮球比排球的2倍少3个，篮球数量为x，排球数量为y，排球的2倍是2y，“少3个”即减去3，因此可得到第一个方程；再分析第二个条件：篮球数与排球数的比是3:2，也就是x:y=3:2，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）可转化为整式方程，最后将两个方程联立，对照选项即可选出正确答案。
【解析】
1. 根据“篮球比排球的2倍少3个”列方程：
排球的2倍是2y，少3个则篮球数$x=2y-3$；
2. 根据“篮球数与排球数的比是3:2”列方程：
可得$x:y=3:2$，根据比例的基本性质交叉相乘得$2x=3y$，即$3y=2x$；
联立两个方程得方程组$\begin{cases} x=2y-3 \\ 3y=2x \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的列法，比例的基本性质
【点评】
本题属于二元一次方程组应用的基础题型，重点考查从文字表述中提取等量关系的能力，解题时需要注意“比某数的几倍少几”对应的运算逻辑，以及比例转化为整式方程的规则，避免因关系搞反出现错误。
【难度系数】
0.8
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是找准题目中的两个等量关系。首先分析第一个条件：篮球比排球的2倍少3个，篮球数量为x，排球数量为y，排球的2倍是2y，“少3个”即减去3，因此可得到第一个方程；再分析第二个条件：篮球数与排球数的比是3:2，也就是x:y=3:2，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）可转化为整式方程，最后将两个方程联立，对照选项即可选出正确答案。
【解析】
1. 根据“篮球比排球的2倍少3个”列方程：
排球的2倍是2y，少3个则篮球数$x=2y-3$；
2. 根据“篮球数与排球数的比是3:2”列方程：
可得$x:y=3:2$，根据比例的基本性质交叉相乘得$2x=3y$，即$3y=2x$；
联立两个方程得方程组$\begin{cases} x=2y-3 \\ 3y=2x \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的列法，比例的基本性质
【点评】
本题属于二元一次方程组应用的基础题型，重点考查从文字表述中提取等量关系的能力，解题时需要注意“比某数的几倍少几”对应的运算逻辑，以及比例转化为整式方程的规则，避免因关系搞反出现错误。
【难度系数】
0.8
8.某校150名学生参加数学竞赛，平均分为55分，其中及格学生平均分为77分，不及格学生平均分为47分，则不及格的学生人数为（
A.49
B.101
C.110
D.40
C
）A.49
B.101
C.110
D.40
答案
8.C
解析
【分析】
这道题属于平均数相关的应用题，解题核心是抓住“全体学生总分数=及格学生总分数+不及格学生总分数”这个等量关系。我们可以通过设未知数列一元一次方程求解：首先设不及格学生人数为x，用总人数表示出及格学生人数，再分别表示出三类总分数，代入等量关系解方程即可得到结果。
【解析】
设不及格学生的人数为$x$人，则及格学生的人数为$(150-x)$人。
根据总分数相等可列方程：
$77(150-x) + 47x = 150×55$
展开计算左边：
$11550 - 77x + 47x = 8250$
合并同类项：
$11550 - 30x = 8250$
移项得：
$30x = 11550 - 8250$
$30x = 3300$
解得：
$x = 110$
所以不及格学生人数为110人。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、平均数计算
【点评】
本题是典型的利用方程解决平均数问题的题型，解题关键是找到总分相等的隐藏等量关系，掌握列方程解应用题的基本步骤就能快速求解。
【难度系数】
0.7
这道题属于平均数相关的应用题，解题核心是抓住“全体学生总分数=及格学生总分数+不及格学生总分数”这个等量关系。我们可以通过设未知数列一元一次方程求解：首先设不及格学生人数为x，用总人数表示出及格学生人数，再分别表示出三类总分数，代入等量关系解方程即可得到结果。
【解析】
设不及格学生的人数为$x$人，则及格学生的人数为$(150-x)$人。
根据总分数相等可列方程：
$77(150-x) + 47x = 150×55$
展开计算左边：
$11550 - 77x + 47x = 8250$
合并同类项：
$11550 - 30x = 8250$
移项得：
$30x = 11550 - 8250$
$30x = 3300$
解得：
$x = 110$
所以不及格学生人数为110人。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、平均数计算
【点评】
本题是典型的利用方程解决平均数问题的题型，解题关键是找到总分相等的隐藏等量关系，掌握列方程解应用题的基本步骤就能快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于$x$，$y$的方程$x^{2m-n-2} + 4y^{m+n+1}=6$是二元一次方程，则$m$，$n$的值分别为（
A.$1,-1$
B.$-1,1$
C.$\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}$
D.$-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}$
A
）A.$1,-1$
B.$-1,1$
C.$\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}$
D.$-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}$
答案
9.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都为1的整式方程是二元一次方程。根据这个定义可知，方程中x、y的指数都等于1，由此列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组就能求出m、n的值。
【解析】
∵ 方程$x^{2m-n-2} + 4y^{m+n+1}=6$是二元一次方程
∴ x和y的次数都为1，可列方程组：
$\begin{cases}2m - n - 2 = 1&① \\ m + n + 1 = 1&② \end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}2m - n = 3&③ \\ m + n = 0&④ \end{cases}$
③+④得：$3m=3$，解得$m=1$
把$m=1$代入④得：$1 + n = 0$，解得$n=-1$
因此$m=1$，$n=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确把握二元一次方程中“未知项次数为1”的要求，通过列方程组求解参数，熟练掌握二元一次方程组的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含有未知数的项的次数都为1的整式方程是二元一次方程。根据这个定义可知，方程中x、y的指数都等于1，由此列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组就能求出m、n的值。
【解析】
∵ 方程$x^{2m-n-2} + 4y^{m+n+1}=6$是二元一次方程
∴ x和y的次数都为1，可列方程组：
$\begin{cases}2m - n - 2 = 1&① \\ m + n + 1 = 1&② \end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}2m - n = 3&③ \\ m + n = 0&④ \end{cases}$
③+④得：$3m=3$，解得$m=1$
把$m=1$代入④得：$1 + n = 0$，解得$n=-1$
因此$m=1$，$n=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确把握二元一次方程中“未知项次数为1”的要求，通过列方程组求解参数，熟练掌握二元一次方程组的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\bx + ay = 5\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\y=1,\end{cases}$则$a + b=$ ______
答案
10.$\frac{19}{5}$
解析
【分析】
根据二元一次方程组的解的定义，方程组的解满足原方程组的每一个方程，因此可以先把$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组，再解这个方程组求出a、b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \ \ \ ① \\ a + 2b = 5 \ \ \ ②\end{cases}$
对①式两边同乘2，得：
$4a - 2b = 8 \ \ \ ③$
用②+③消去b，得：
$5a = 13$，解得$a=\frac{13}{5}$
把$a=\frac{13}{5}$代入①式，得：
$2×\frac{13}{5} - b = 4$
计算得$\frac{26}{5} - b = \frac{20}{5}$，解得$b=\frac{6}{5}$
因此$a + b = \frac{13}{5} + \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$
【答案】
$\frac{19}{5}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础常考题，解题核心是利用方程组解的性质将已知解代入原方程组，转化为新的二元一次方程组求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
根据二元一次方程组的解的定义，方程组的解满足原方程组的每一个方程，因此可以先把$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组，再解这个方程组求出a、b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \ \ \ ① \\ a + 2b = 5 \ \ \ ②\end{cases}$
对①式两边同乘2，得：
$4a - 2b = 8 \ \ \ ③$
用②+③消去b，得：
$5a = 13$，解得$a=\frac{13}{5}$
把$a=\frac{13}{5}$代入①式，得：
$2×\frac{13}{5} - b = 4$
计算得$\frac{26}{5} - b = \frac{20}{5}$，解得$b=\frac{6}{5}$
因此$a + b = \frac{13}{5} + \frac{6}{5} = \frac{19}{5}$
【答案】
$\frac{19}{5}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础常考题，解题核心是利用方程组解的性质将已知解代入原方程组，转化为新的二元一次方程组求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
11.已知二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=7, \\x+2y=8,\end{cases}$则$x-y=$ ______ ，$x+y=$ ______ 。
答案
11.$-1$ $5$
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：一是先利用加减消元法或代入消元法解出二元一次方程组中x、y的值，再代入计算x-y和x+y；二是观察所求代数式与方程组中两个方程的系数关系，直接将两个方程相加、减，通过整体运算快速得到结果，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
我们把方程组标记为：
$\begin{cases}2x+y=7&① \\x+2y=8&② \end{cases}$
方法一：整体运算求解
1. 计算$x-y$：用①式减去②式
左边：$(2x+y)-(x+2y)=2x+y-x-2y=x-y$
右边：$7-8=-1$
因此$x-y=-1$。
2. 计算$x+y$：用①式加上②式
左边：$(2x+y)+(x+2y)=3x+3y=3(x+y)$
右边：$7+8=15$
即$3(x+y)=15$，两边同时除以3得$x+y=5$。
方法二：先解方程组再代入计算
由①式得$y=7-2x$，将其代入②式：
$x+2(7-2x)=8$
展开得$x+14-4x=8$
合并同类项得$-3x=-6$，解得$x=2$
把$x=2$代入$y=7-2x$，得$y=7-2×2=3$
所以$x-y=2-3=-1$，$x+y=2+3=5$。
【答案】
$-1$；$5$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础计算题，既可以按常规步骤解方程组后代入计算，也可以观察代数式特征用整体加减的方法简化运算，掌握整体思想能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：一是先利用加减消元法或代入消元法解出二元一次方程组中x、y的值，再代入计算x-y和x+y；二是观察所求代数式与方程组中两个方程的系数关系，直接将两个方程相加、减，通过整体运算快速得到结果，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
我们把方程组标记为：
$\begin{cases}2x+y=7&① \\x+2y=8&② \end{cases}$
方法一：整体运算求解
1. 计算$x-y$：用①式减去②式
左边：$(2x+y)-(x+2y)=2x+y-x-2y=x-y$
右边：$7-8=-1$
因此$x-y=-1$。
2. 计算$x+y$：用①式加上②式
左边：$(2x+y)+(x+2y)=3x+3y=3(x+y)$
右边：$7+8=15$
即$3(x+y)=15$，两边同时除以3得$x+y=5$。
方法二：先解方程组再代入计算
由①式得$y=7-2x$，将其代入②式：
$x+2(7-2x)=8$
展开得$x+14-4x=8$
合并同类项得$-3x=-6$，解得$x=2$
把$x=2$代入$y=7-2x$，得$y=7-2×2=3$
所以$x-y=2-3=-1$，$x+y=2+3=5$。
【答案】
$-1$；$5$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础计算题，既可以按常规步骤解方程组后代入计算，也可以观察代数式特征用整体加减的方法简化运算，掌握整体思想能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
12.把若干本书分别送给若干名学生，每人4本还余12本，每人再加2本，则少10本，那么有学生
11
名，有书56
本.答案
12.11 56
解析
【分析】
这是典型的分配类盈亏问题，解题核心是抓住“书的总数量始终不变”这一等量关系。我们可以先设学生人数为未知数，分别用两种分配方案表示出书的总数量，令两个表达式相等即可列出一元一次方程，求解出学生人数后，再代入任意一个表示总书数的式子，就能算出书的总数量。
【解析】
解：设学生有$x$名。
第一种分配方案的总书数：每人分4本余12本，可表示为$4x + 12$；
第二种分配方案中每人分书数量为$4+2=6$本，少10本，总书数可表示为$6x - 10$。
根据总书数不变列方程：
$4x + 12 = 6x - 10$
移项得：$12 + 10 = 6x - 4x$
合并同类项得：$2x = 22$
解得：$x = 11$
将$x=11$代入$4x + 12$得总书数：$4×11 + 12 = 56$（本）
【答案】
11；56
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 盈亏问题
【点评】
本题是常见的分配类应用题，解题关键是找准分配过程中的不变量建立等量关系，熟练掌握该方法可快速解决同类型的分配问题。
【难度系数】
0.7
这是典型的分配类盈亏问题，解题核心是抓住“书的总数量始终不变”这一等量关系。我们可以先设学生人数为未知数，分别用两种分配方案表示出书的总数量，令两个表达式相等即可列出一元一次方程，求解出学生人数后，再代入任意一个表示总书数的式子，就能算出书的总数量。
【解析】
解：设学生有$x$名。
第一种分配方案的总书数：每人分4本余12本，可表示为$4x + 12$；
第二种分配方案中每人分书数量为$4+2=6$本，少10本，总书数可表示为$6x - 10$。
根据总书数不变列方程：
$4x + 12 = 6x - 10$
移项得：$12 + 10 = 6x - 4x$
合并同类项得：$2x = 22$
解得：$x = 11$
将$x=11$代入$4x + 12$得总书数：$4×11 + 12 = 56$（本）
【答案】
11；56
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 盈亏问题
【点评】
本题是常见的分配类应用题，解题关键是找准分配过程中的不变量建立等量关系，熟练掌握该方法可快速解决同类型的分配问题。
【难度系数】
0.7
13.如图2,有黑、白两种小球各若干个,且同色的小球质量均相等.图中两次称量天平都恰好平衡.如果每个砝码的质量均为5克,那么每个黑球和白球的质量各是多少克?
答案
13.黑球3克,白球1克.
解析
【分析】
天平平衡时左右托盘的总质量相等，我们可以通过设未知数列方程组的方法求解。首先设每个黑球质量为x克，每个白球质量为y克，根据第一次称量的平衡关系列出第一个方程，再根据第二次称量的平衡关系列出第二个方程，联立得到二元一次方程组，用消元法求解方程组就能得到黑球和白球的质量。
【解析】
设每个黑球的质量为$ x $克，每个白球的质量为$ y $克。
根据第一次天平平衡，可得：
$ x + 2y = 5 $ ①
根据第二次天平平衡，2个砝码总质量为$ 5×2=10 $克，可得：
$ 3x + y = 10 $ ②
用代入消元法解方程组，由②式变形得：$ y = 10 - 3x $ ③
将③代入①式：
$ x + 2×(10 - 3x) = 5 $
展开计算：$ x + 20 - 6x = 5 $
合并同类项：$ -5x = -15 $
解得：$ x = 3 $
将$ x=3 $代入③式，得：$ y = 10 - 3×3 = 1 $
【答案】
黑球3克，白球1克。
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解方程组；天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平称量场景，考查方程思想在实际问题中的应用，解题的关键是根据天平平衡的特点准确列出等量关系式，是典型的方程应用类基础题。
【难度系数】
0.8
天平平衡时左右托盘的总质量相等，我们可以通过设未知数列方程组的方法求解。首先设每个黑球质量为x克，每个白球质量为y克，根据第一次称量的平衡关系列出第一个方程，再根据第二次称量的平衡关系列出第二个方程，联立得到二元一次方程组，用消元法求解方程组就能得到黑球和白球的质量。
【解析】
设每个黑球的质量为$ x $克，每个白球的质量为$ y $克。
根据第一次天平平衡，可得：
$ x + 2y = 5 $ ①
根据第二次天平平衡，2个砝码总质量为$ 5×2=10 $克，可得：
$ 3x + y = 10 $ ②
用代入消元法解方程组，由②式变形得：$ y = 10 - 3x $ ③
将③代入①式：
$ x + 2×(10 - 3x) = 5 $
展开计算：$ x + 20 - 6x = 5 $
合并同类项：$ -5x = -15 $
解得：$ x = 3 $
将$ x=3 $代入③式，得：$ y = 10 - 3×3 = 1 $
【答案】
黑球3克，白球1克。
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解方程组；天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平称量场景，考查方程思想在实际问题中的应用，解题的关键是根据天平平衡的特点准确列出等量关系式，是典型的方程应用类基础题。
【难度系数】
0.8
14.运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示.
解答下列问题:(假设每辆车均满载)
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？
(2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？
解答下列问题:(假设每辆车均满载)
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？
(2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？
答案
14.(1)甲型车需要8辆,乙型车需要10辆.
(2)乙型车需要5辆,丙型车需要7辆,此时的总运费为8 800元.
(2)乙型车需要5辆,丙型车需要7辆,此时的总运费为8 800元.
解析
【分析】
(1) 第(1)问存在甲型车辆数、乙型车辆数两个未知量，可通过两个等量关系列二元一次方程组求解：①甲型车总运载量+乙型车总运载量=120吨；②甲型车总运费+乙型车总运费=9600元。
(2) 第(2)问已知甲型车数量和总车辆数，可先得到乙、丙型车的总数量，再结合总运载量为120吨的条件列方程求解乙、丙型车的数量，最后代入运费公式计算总运费即可。
【解析】
(1) 设需要甲型车$x$辆，乙型车$y$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+8y=120&①\\450x+600y=9600&②\end{cases}$
化简方程②，两边同时除以150得：$3x+4y=64$ ③
用①$-$③$×2$得：$5x+8y - (6x+8y)=120-128$，解得$x=8$
将$x=8$代入①得：$5×8+8y=120$，解得$y=10$
(2) 设需要乙型车$a$辆，丙型车$b$辆，根据题意：
总车辆数满足：$2+a+b=14$，即$a+b=12$ ④
总运载量满足：$2×5 +8a +10b =120$，化简得$4a+5b=55$ ⑤
由④得$a=12-b$，代入⑤得：$4(12-b)+5b=55$，解得$b=7$
则$a=12-7=5$
总运费为：$2×450 +5×600 +7×700 =900+3000+4900=8800$（元）
【答案】
(1) 甲型车需要8辆，乙型车需要10辆。
(2) 乙型车需要5辆，丙型车需要7辆，此时的总运费为8800元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，代数式求值
【点评】
本题属于典型的实际应用类方程题，核心是从题干中提取运载量、车辆数、运费对应的等量关系建立方程，求解时先化简方程可有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.7
(1) 第(1)问存在甲型车辆数、乙型车辆数两个未知量，可通过两个等量关系列二元一次方程组求解：①甲型车总运载量+乙型车总运载量=120吨；②甲型车总运费+乙型车总运费=9600元。
(2) 第(2)问已知甲型车数量和总车辆数，可先得到乙、丙型车的总数量，再结合总运载量为120吨的条件列方程求解乙、丙型车的数量，最后代入运费公式计算总运费即可。
【解析】
(1) 设需要甲型车$x$辆，乙型车$y$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+8y=120&①\\450x+600y=9600&②\end{cases}$
化简方程②，两边同时除以150得：$3x+4y=64$ ③
用①$-$③$×2$得：$5x+8y - (6x+8y)=120-128$，解得$x=8$
将$x=8$代入①得：$5×8+8y=120$，解得$y=10$
(2) 设需要乙型车$a$辆，丙型车$b$辆，根据题意：
总车辆数满足：$2+a+b=14$，即$a+b=12$ ④
总运载量满足：$2×5 +8a +10b =120$，化简得$4a+5b=55$ ⑤
由④得$a=12-b$，代入⑤得：$4(12-b)+5b=55$，解得$b=7$
则$a=12-7=5$
总运费为：$2×450 +5×600 +7×700 =900+3000+4900=8800$（元）
【答案】
(1) 甲型车需要8辆，乙型车需要10辆。
(2) 乙型车需要5辆，丙型车需要7辆，此时的总运费为8800元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，代数式求值
【点评】
本题属于典型的实际应用类方程题，核心是从题干中提取运载量、车辆数、运费对应的等量关系建立方程，求解时先化简方程可有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.7
