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1. 要使$\sqrt{3 - x}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≥ -3$
B.$x≤ -3$
C.$x≤ 3$
D.$x≥ 3$
C
）.A.$x≥ -3$
B.$x≤ -3$
C.$x≤ 3$
D.$x≥ 3$
答案
1.C
解析
【分析】
要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数。因此对于$\sqrt{3 - x}$，被开方数$3 - x$应大于等于0，据此列出不等式并求解，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足：$3 - x ≥ 0$，解这个不等式，移项得$-x ≥ -3$，两边同时乘以$-1$（不等号方向改变），得$x ≤ 3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，考查二次根式有意义的核心条件，解题关键是准确列出不等式并正确求解，注意解不等式时不等号方向的变化，难度较低。
【难度系数】
0.8
要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数。因此对于$\sqrt{3 - x}$，被开方数$3 - x$应大于等于0，据此列出不等式并求解，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足：$3 - x ≥ 0$，解这个不等式，移项得$-x ≥ -3$，两边同时乘以$-1$（不等号方向改变），得$x ≤ 3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，考查二次根式有意义的核心条件，解题关键是准确列出不等式并正确求解，注意解不等式时不等号方向的变化，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如右图所示，化简$|a - 1| - \sqrt{a^2}$的结果为（
A.-1
B.1
C.$2a - 3$
D.$1 - 2a$
D
）.A.-1
B.1
C.$2a - 3$
D.$1 - 2a$
答案
2.D
解析
【分析】首先根据数轴确定a的取值范围为0 ＜ a ＜ 1，再分别利用绝对值和二次根式的性质对式子中的绝对值和二次根式进行化简，最后合并计算得出结果。
【解析】由数轴可知，0 ＜ a ＜ 1，因此a - 1 ＜ 0，a ＞ 0。
根据绝对值的性质：当x ＜ 0时，|x| = -x，可得|a - 1| = -(a - 1) = 1 - a；
根据二次根式的性质：√x² = |x|，当x ＞ 0时，|x| = x，可得√a² = a；
所以原式 = |a - 1| - √a² = (1 - a) - a = 1 - 2a。
【答案】D
【知识点】绝对值化简、二次根式性质
【点评】本题结合数轴考查绝对值与二次根式的化简，核心是根据数的范围判断符号，进而去掉绝对值和根号，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
【解析】由数轴可知，0 ＜ a ＜ 1，因此a - 1 ＜ 0，a ＞ 0。
根据绝对值的性质：当x ＜ 0时，|x| = -x，可得|a - 1| = -(a - 1) = 1 - a；
根据二次根式的性质：√x² = |x|，当x ＞ 0时，|x| = x，可得√a² = a；
所以原式 = |a - 1| - √a² = (1 - a) - a = 1 - 2a。
【答案】D
【知识点】绝对值化简、二次根式性质
【点评】本题结合数轴考查绝对值与二次根式的化简，核心是根据数的范围判断符号，进而去掉绝对值和根号，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
3. 下列二次根式$\sqrt{5}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{0.5a}$，$-\sqrt{8}$，$\sqrt{x^2 + y^2}$中，是最简二次根式的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
）.A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
3.A
解析
【分析】首先明确最简二次根式的判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来逐个分析题目中的二次根式，判断是否满足上述两个条件，统计符合条件的个数，再对应选项得出答案。
【解析】根据最简二次根式的定义逐一判断：
1. $\sqrt{5}$：被开方数5是整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
2. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：被开方数含有分母，不符合条件，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{0.5a}$：被开方数可化为$\dfrac{a}{2}$，含有分母，不符合条件，不是最简二次根式；
4. $-\sqrt{8}$：被开方数8=4×2，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$），不符合条件，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{x^2 + y^2}$：被开方数$x^2 + y^2$不能分解出能开得尽方的因式，且不含分母，是最简二次根式。
综上，最简二次根式共2个，对应选项A。
【答案】A
【知识点】最简二次根式的判定
【点评】本题考查最简二次根式的定义，属于基础题型，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，逐个分析即可得出结果。
【难度系数】0.7
【解析】根据最简二次根式的定义逐一判断：
1. $\sqrt{5}$：被开方数5是整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式；
2. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：被开方数含有分母，不符合条件，不是最简二次根式；
3. $\sqrt{0.5a}$：被开方数可化为$\dfrac{a}{2}$，含有分母，不符合条件，不是最简二次根式；
4. $-\sqrt{8}$：被开方数8=4×2，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$），不符合条件，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{x^2 + y^2}$：被开方数$x^2 + y^2$不能分解出能开得尽方的因式，且不含分母，是最简二次根式。
综上，最简二次根式共2个，对应选项A。
【答案】A
【知识点】最简二次根式的判定
【点评】本题考查最简二次根式的定义，属于基础题型，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，逐个分析即可得出结果。
【难度系数】0.7
4. 小琼经常使用的一种便利贴的面积是 $ a \, \mathrm{cm}^2 $，且长是宽的两倍，则该便利贴的宽为（
A.$ \frac{\sqrt{a}}{2} $
B.$ \sqrt{\frac{a}{3}} $
C.$ \sqrt{a} $
D.$ \frac{\sqrt{2a}}{2} $
D
）.A.$ \frac{\sqrt{a}}{2} $
B.$ \sqrt{\frac{a}{3}} $
C.$ \sqrt{a} $
D.$ \frac{\sqrt{2a}}{2} $
答案
4.D
解析
【分析】
首先明确便利贴为长方形，其面积公式为“面积=长×宽”。题目中已知面积为$ a \, \mathrm{cm}^2 $，长是宽的2倍，因此设宽为未知数，根据面积公式列方程，求解后化简二次根式即可得到宽的表达式，再对应选项选出答案。
【解析】
设该便利贴的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，则长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形面积公式：$ 长 × 宽 = 面积 $，可得：
$ x · 2x = a $
整理得：$ 2x^2 = a $
两边同时除以2：$ x^2 = \frac{a}{2} $
因为宽为正数，对等式两边开平方得：$ x = \sqrt{\frac{a}{2}} $
化简二次根式：$ \sqrt{\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{2a}}{2} $
因此该便利贴的宽为$ \frac{\sqrt{2a}}{2} $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积公式、二次根式化简、代数式表示
【点评】
本题结合实际情境考查长方形面积公式的应用及二次根式化简，属于基础代数应用题，重点考查几何公式与代数运算的结合应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确便利贴为长方形，其面积公式为“面积=长×宽”。题目中已知面积为$ a \, \mathrm{cm}^2 $，长是宽的2倍，因此设宽为未知数，根据面积公式列方程，求解后化简二次根式即可得到宽的表达式，再对应选项选出答案。
【解析】
设该便利贴的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，则长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形面积公式：$ 长 × 宽 = 面积 $，可得：
$ x · 2x = a $
整理得：$ 2x^2 = a $
两边同时除以2：$ x^2 = \frac{a}{2} $
因为宽为正数，对等式两边开平方得：$ x = \sqrt{\frac{a}{2}} $
化简二次根式：$ \sqrt{\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{2a}}{2} $
因此该便利贴的宽为$ \frac{\sqrt{2a}}{2} $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积公式、二次根式化简、代数式表示
【点评】
本题结合实际情境考查长方形面积公式的应用及二次根式化简，属于基础代数应用题，重点考查几何公式与代数运算的结合应用，难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 为了加强学生暑期防溺水意识，某中学给同学们发放了如图所示的“防溺水告家长书”，已知该信纸的长为$10\sqrt{6}$ cm，回执单的宽度$a$为整张信纸长度的$\frac{\sqrt{3}}{5}$，则$a$的值为
$6\sqrt{2}$
cm.答案
5.$6\sqrt{2}$
解析
【分析】本题要求计算回执单的宽度a，已知a是整张信纸长度的$\frac{\sqrt{3}}{5}$，因此只需用信纸的长度乘以该比例，再通过二次根式的乘法运算法则计算结果即可。
【解析】根据题意，回执单宽度$a$的计算式为：
$a = 10\sqrt{6} × \frac{\sqrt{3}}{5}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m} × \sqrt{n} = \sqrt{mn}$，计算得：
$a = \frac{10}{5} × \sqrt{6 × 3} = 2 × \sqrt{18} = 2 × 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
【答案】$6\sqrt{2}$
【知识点】二次根式乘法
【点评】本题是二次根式乘法的基础应用题，难度较低，主要考查学生对二次根式乘法法则的掌握，计算时注意化简结果。
【难度系数】0.8
【解析】根据题意，回执单宽度$a$的计算式为：
$a = 10\sqrt{6} × \frac{\sqrt{3}}{5}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m} × \sqrt{n} = \sqrt{mn}$，计算得：
$a = \frac{10}{5} × \sqrt{6 × 3} = 2 × \sqrt{18} = 2 × 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
【答案】$6\sqrt{2}$
【知识点】二次根式乘法
【点评】本题是二次根式乘法的基础应用题，难度较低，主要考查学生对二次根式乘法法则的掌握，计算时注意化简结果。
【难度系数】0.8
6. 如图所示，中国结内包含两个全等的正方形，若两个大正方形面积均为98 cm²，相叠部分的小正方形面积为72 cm²，则 BE 的长为
$\sqrt{2}$
cm.答案
6.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用正方形面积与边长的关系求出大、小正方形的边长，再通过观察图形确定BE的长度等于大正方形边长减去相叠小正方形的边长，最后计算得出结果。
【解析】
1. 计算大正方形的边长：设大正方形的边长为$a$，由正方形面积公式$S=a^2$，已知大正方形面积为$98\ \mathrm{cm}^2$，则$a=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
2. 计算相叠小正方形的边长：设小正方形的边长为$b$，已知小正方形面积为$72\ \mathrm{cm}^2$，则$b=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 求$BE$的长度：观察图形可知，$BE$的长度等于大正方形边长减去小正方形边长，即$BE=a - b=7\sqrt{2}-6\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形面积公式，二次根式化简，线段长度计算
【点评】
本题结合中国结图形考查正方形面积与边长的关系，关键是明确线段$BE$与两个正方形边长的数量关系，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先利用正方形面积与边长的关系求出大、小正方形的边长，再通过观察图形确定BE的长度等于大正方形边长减去相叠小正方形的边长，最后计算得出结果。
【解析】
1. 计算大正方形的边长：设大正方形的边长为$a$，由正方形面积公式$S=a^2$，已知大正方形面积为$98\ \mathrm{cm}^2$，则$a=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
2. 计算相叠小正方形的边长：设小正方形的边长为$b$，已知小正方形面积为$72\ \mathrm{cm}^2$，则$b=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 求$BE$的长度：观察图形可知，$BE$的长度等于大正方形边长减去小正方形边长，即$BE=a - b=7\sqrt{2}-6\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形面积公式，二次根式化简，线段长度计算
【点评】
本题结合中国结图形考查正方形面积与边长的关系，关键是明确线段$BE$与两个正方形边长的数量关系，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
7.计算：
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{3} - \sqrt{18} ÷ \sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{27} ÷ 2\sqrt{6} × \sqrt{50}$；
(3) $\sqrt{40} -5\sqrt{\frac{1}{10}} + \sqrt{18} - \sqrt{32}$；
(4) $(\sqrt{27} -2\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) ÷ \sqrt{12}$；
(5) $\sqrt[3]{-8} + \sqrt{16} + (\sqrt{2} -1)^0$；
(6) $(-3)^2 - |-\frac{1}{2}| + 2^{-1} - \sqrt{9}$。
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{3} - \sqrt{18} ÷ \sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{27} ÷ 2\sqrt{6} × \sqrt{50}$；
(3) $\sqrt{40} -5\sqrt{\frac{1}{10}} + \sqrt{18} - \sqrt{32}$；
(4) $(\sqrt{27} -2\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) ÷ \sqrt{12}$；
(5) $\sqrt[3]{-8} + \sqrt{16} + (\sqrt{2} -1)^0$；
(6) $(-3)^2 - |-\frac{1}{2}| + 2^{-1} - \sqrt{9}$。
答案
7.解：(1) 原式$=\sqrt{2×3} - \sqrt{18÷3} = \sqrt{6} - \sqrt{6} = 0$；
(2) 原式$=3\sqrt{3} ÷ 2\sqrt{6} × 5\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} × 5\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{2}} × 5\sqrt{2} = \frac{15}{2}$；
(3) 原式$=2\sqrt{10} - \frac{\sqrt{10}}{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{10}}{2} - \sqrt{2}$；
(4) 原式$=(3\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3}) ÷ 2\sqrt{3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} + 2 = \frac{19}{6}$；
(5) 原式$=-2 + 4 + 1 = 3$；
(6) 原式$=9 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3 = 6$。
(2) 原式$=3\sqrt{3} ÷ 2\sqrt{6} × 5\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} × 5\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{2}} × 5\sqrt{2} = \frac{15}{2}$；
(3) 原式$=2\sqrt{10} - \frac{\sqrt{10}}{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{10}}{2} - \sqrt{2}$；
(4) 原式$=(3\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{3}) ÷ 2\sqrt{3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} + 2 = \frac{19}{6}$；
(5) 原式$=-2 + 4 + 1 = 3$；
(6) 原式$=9 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3 = 6$。
解析
【分析】本题考查二次根式的运算及实数的基本运算，解题思路如下：①二次根式乘除运算利用法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（a≥0，b≥0）、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（a≥0，b＞0）计算；②二次根式加减需先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；③涉及零指数幂（$a^0=1$，a≠0）、负整数指数幂（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，a≠0）、绝对值时，先按对应性质化简，再按运算顺序计算；④有括号先算括号内，同级运算从左到右依次进行。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{2×3}-\sqrt{18÷3}=\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$；
(2) 原式$=3\sqrt{3}÷2\sqrt{6}×5\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}×5\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{2}}×5\sqrt{2}=\frac{15}{2}$；
(3) 原式$=2\sqrt{10}-\frac{\sqrt{10}}{2}+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{10}}{2}-\sqrt{2}$；
(4) 原式$=(3\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=\frac{19\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}=\frac{19}{6}$；
(5) 原式$=-2+4+1=3$；
(6) 原式$=9-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-3=6$；
【答案】(1)0；(2)$\frac{15}{2}$；(3)$\frac{3\sqrt{10}}{2}-\sqrt{2}$；(4)$\frac{19}{6}$；(5)3；(6)6
【知识点】二次根式的运算、实数的运算、零指数幂与负整数指数幂
【点评】本题综合考查二次根式的化简与运算、实数的基本运算，涵盖零指数幂、负整数指数幂、绝对值等知识点，需熟练掌握二次根式的运算法则，计算时注意化简准确性和运算顺序，避免符号错误。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{2×3}-\sqrt{18÷3}=\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$；
(2) 原式$=3\sqrt{3}÷2\sqrt{6}×5\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}×5\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{2}}×5\sqrt{2}=\frac{15}{2}$；
(3) 原式$=2\sqrt{10}-\frac{\sqrt{10}}{2}+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{10}}{2}-\sqrt{2}$；
(4) 原式$=(3\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=\frac{19\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}=\frac{19}{6}$；
(5) 原式$=-2+4+1=3$；
(6) 原式$=9-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-3=6$；
【答案】(1)0；(2)$\frac{15}{2}$；(3)$\frac{3\sqrt{10}}{2}-\sqrt{2}$；(4)$\frac{19}{6}$；(5)3；(6)6
【知识点】二次根式的运算、实数的运算、零指数幂与负整数指数幂
【点评】本题综合考查二次根式的化简与运算、实数的基本运算，涵盖零指数幂、负整数指数幂、绝对值等知识点，需熟练掌握二次根式的运算法则，计算时注意化简准确性和运算顺序，避免符号错误。
【难度系数】0.7
