23.(10分)综合与探究
问题情境：
如图①，四边形ABCD是正方形，E是线段BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG.

【探索发现】
(1)BE与DG的数量关系是，∠ADG=.
【猜想证明】
(2)如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，请探究EH，BE，DH三条线段之间的数量关系，并说明理由.
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下，若AB=9，E为BC的三等分点，则DH的长为.

23. (1)$BE=DG$ $90°$(2分)
(2)$BE+DH=EH$.(3分)
理由如下:由(1)得,$∠ADG=90°$.
$\because ∠ADC=90° , \therefore ∠ADG+∠ADC=180°.$
$\therefore C,D,G$三点共线.(5分)
$\because$四边形AEFG是正方形,
$\therefore ∠EAH=∠GAH=45° , AE=AG.$
在$△ EAH$和$△ GAH$中, $\begin{cases} AE=AG, \\ ∠EAH=∠GAH, \\ AH=AH, \end{cases}$
$\therefore △ EAH ≌ △ GAH \ (\mathrm{SAS}).$
$\therefore EH=GH$.
$\because DG+DH=GH$ ,
$\therefore BE+DH=EH$.(6分)
(3)$DH$的长为$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$.(10分)
【解析】由E为BC的三等分点,可分为$BC=3BE$或$BC=\frac{3}{2}BE$两种情况进行讨论.
第一种情况:当$BC=3BE$时,如图①.

$\because AB=9$,四边形ABCD是正方形,
$\therefore BC=AB=CD=9 , ∠C=90°.$
$\therefore BE=3,CE=6.$
设$DH$的长为$x$,由(2),得$EH=BE+DH=3+x$ , $CH=CD-DH=9-x$.
在$\mathrm{Rt} △ CEH$中 , $CE^2+CH^2=EH^2$ ,
即$6^2+(9-x)^2=(3+x)^2.$
解得$x=\frac{9}{2}$.
第二种情况:当$BC=\frac{3}{2}BE$时,如图②.

$\because AB=9$,四边形ABCD是正方形,
$\therefore BC=AB=CD=9 , ∠C=90°.$
$\therefore BE=6,CE=3.$
设$DH$的长为$x$,由(2),得$EH=BE+DH=6+x$ , $CH=BC-DH=9-x$.
在$\mathrm{Rt} △ CEH$中 , $CE^2+CH^2=EH^2$ , 即$3^2+(9-x)^2=(6+x)^2.$ 解得$x=\frac{9}{5}$.
综上所述,$DH$的长为$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$.