1 分类讨论思想 已知$△ ABC$是等腰三角形.若$∠ A=40°$,则$△ ABC$的顶角度数为.

1. 40°或100°

2 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠A=80°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是。

2. 10°或100°

3 [2025 内江]如图,按如下步骤作四边形$ABCD$:① 画$∠ EAF$;② 以点$A$为圆心,1个单位长度为半径画弧,分别交$AE$,$AF$于点$B$,$D$;③ 分别以点$B$,$D$为圆心,1个单位长度为半径画弧,两弧交于点$C$;④ 连接$BC$,$DC$,$BD$.若$∠ A=40°$,求$∠ CDB$的度数.

3. 由尺规作图,可知$AB = AD = BC = DC$, $\therefore ∠ABD = ∠ADB.∵$ 在$△ ABD$ 中,$∠A = 40°, \therefore ∠ADB = \frac{1}{2} (180°-∠A)=70°$. 在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中, $\begin{cases} AB=CB,\\ AD=CD,\\ BD=BD, \end{cases}$ $\therefore △ ABD ≌ △ CBD(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ADB=∠CDB=70°$

4 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE。若AC=10，BC=6，则BD的长为（）

A.5
B.3
C.4
D.2

4. D

5 分类讨论思想 如图，$∠ AOB=80°$，$C$是边$OB$上的一个定点，点$P$在角的另一边$OA$上运动，当$∠ OCP$的度数为________时，$△ COP$是等腰三角形。

5. 80°或20°或50°

6 一题多解 如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,且AD为BC上的中线.求证:$△ ABC$为等腰三角形. (第6题)

6. 解法一:如图①,延长 AD 到点 E,使 $DE = AD$,连接 CE.
$\because$ AD 为 BC 上的中线, $\therefore BD = CD$. 在$△ ABD$ 和$△ ECD$ 中, $\begin{cases} AD=ED,\\ ∠ADB=∠EDC,\\ BD=CD, \end{cases}$ $\therefore △ ABD ≌ △ ECD (\mathrm{SAS}), \therefore ∠BAD = ∠E, AB = EC$. 又 $\because$ AD 平分$∠BAC$, $\therefore ∠BAD = ∠CAD$, $\therefore ∠CAD = ∠E, \therefore AC = EC, \therefore AB = AC, \therefore △ ABC$ 为等腰三角形
解法二:如图②,过点 D 作 $DE ⊥ AB$ 于点 E, $DF ⊥ AC$ 于点 F.
$\because$ AD 平分$∠BAC$, $DE ⊥ AB$, $DF ⊥ AC$, $\therefore DE = DF$, $∠DEB = ∠DFC = 90°$. $\because$ AD 为 BC 上的中线, $\therefore BD = CD$.
在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 和 $\mathrm{Rt}△ DFC$ 中, $\begin{cases} BD=CD,\\ DE=DF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ DEB ≌ \mathrm{Rt}△ DFC (\mathrm{HL}), \therefore ∠B = ∠C, \therefore AB = AC, \therefore △ ABC$ 为等腰三角形