7 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB＞CD,AD=AB+CD.
(1) 利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 一题多解 在(1)的条件下,求证:AE⊥DE.

7.（1）如图①所示 （2）解法一:如图①,在DA上截取$GD=CD$,连接GE. $\because DE$ 是$∠ ADC$的平分线, $\therefore ∠ GDE=∠ CDE.$
在$△ GDE$ 和$△ CDE$ 中, $\begin{cases}GD=CD,\\∠ GDE=∠ CDE,\\DE=DE,\end{cases}$ $\therefore △ GDE ≌ △ CDE (\mathrm{SAS}), \therefore ∠ DGE=∠ C=90°, ∠ DEG=∠ DEC=\frac{1}{2}∠ CEG, \therefore ∠ AGE=180°-∠ DGE=90°, \therefore ∠ AGE=∠ B=90°, \therefore △ AGE$ 和$△ ABE$ 均是直角三角形. $\because AD=AG+GD=AB+CD, GD=CD, \therefore AG=AB.$ 在$\mathrm{Rt}△ AEG$ 和$\mathrm{Rt}△ AEB$ 中, $\begin{cases}AE=AE,\\AG=AB,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ AEG ≌ \mathrm{Rt}△ AEB (\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ AEG=∠ AEB=\frac{1}{2}∠ BEG, \therefore ∠ AED=∠ DEG+∠ AEG=\frac{1}{2}(∠ CEG+∠ BEG)=\frac{1}{2}×180°=90°, \therefore AE⊥ DE$
解法二:如图②,延长DE,与AB的延长线交于点F. $\because ∠ ABC=∠ C=90°, ∠ ABC+∠ EBF=180°, \therefore ∠ EBF=∠ C=90°.$
$\because △ DCE$ 与$△ FBE$ 的内角和均为$180°, ∠ DEC=∠ FEB, \therefore ∠ CDE=∠ F. \because DE$ 是$∠ ADC$ 的平分线, $\therefore ∠ CDE=∠ ADF, \therefore ∠ ADF=∠ F, \therefore AD=AF$, 即 $AD=AB+BF.$
$\because AD=AB+CD, \therefore BF=CD.$ 在$△ BFE$ 和$△ CDE$ 中, $\begin{cases}∠ EBF=∠ C,\\∠ BEF=∠ CED,\\BF=CD,\end{cases}$ $\therefore △ BFE≌△ CDE (\mathrm{AAS}), \therefore FE=DE,$
$\therefore AE⊥ DE$

8 新考向 探究题 已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上的两点，且∠BEC=∠CFA=∠α.
（1）如图①，若直线CD经过∠BCA的内部，且点E，F在射线CD上，0°＜∠BCA＜180°，∠α+∠BCA=180°，请写出线段EF，BE，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，若直线CD不经过∠BCA的内部，∠α=∠BCA，请写出线段EF，BE，AF之间的数量关系，并证明你的结论.

8.（1）$EF=BE-AF$ $\because ∠ α + ∠ BCA=180°, \therefore ∠ α + ∠ BCE + ∠ ACF=180°. \because △ ACF$ 的内角和为$180°, ∠ CFA=∠ α, \therefore ∠ α + ∠ ACF + ∠ CAF=180°, \therefore ∠ BCE=∠ CAF.$ 在$△ BCE$ 和$△ CAF$ 中, $\begin{cases}∠ BEC=∠ CFA,\\∠ BCE=∠ CAF,\\CB=AC,\end{cases}$ $\therefore △ BCE ≌ △ CAF$（AAS）, $\therefore BE=CF, CE=AF. \because CF=CE+EF, \therefore EF=CF-CE=BE-AF$ （2）$EF=BE+AF$ 根据题意,得$∠ BEC=∠ CFA=∠ α=∠ BCA.$ 又 $\because ∠ EBC+∠ BCE+∠ BEC=180°, ∠ BCE+∠ FCA+∠ BCA=180°, \therefore ∠ EBC=∠ FCA.$ 在$△ BEC$ 和$△ CFA$ 中, $\begin{cases}∠ BEC=∠ CFA,\\∠ EBC=∠ FCA,\\CB=AC,\end{cases}$ $\therefore △ BEC≌△ CFA (\mathrm{AAS}), \therefore CE=AF, BE=CF, \therefore EF=CF+CE=BE+AF$