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1. (★★)菱形和矩形一定都具有的性质是 （）
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分且相等
D.对角线互相平分
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分且相等
D.对角线互相平分
答案
D
解析
菱形和矩形都是特殊的平行四边形，逐一分析选项：
1. 选项A：对角线相等是矩形的特有性质，普通菱形对角线不相等，该性质不是二者共有；
2. 选项B：对角线互相垂直是菱形的特有性质，普通矩形对角线不互相垂直，该性质不是二者共有；
3. 选项C：对角线互相平分且相等是矩形的性质，菱形对角线不满足相等，该性质不是二者共有；
4. 选项D：平行四边形的对角线互相平分，菱形和矩形都属于平行四边形，因此二者都具有对角线互相平分的性质。
1. 选项A：对角线相等是矩形的特有性质，普通菱形对角线不相等，该性质不是二者共有；
2. 选项B：对角线互相垂直是菱形的特有性质，普通矩形对角线不互相垂直，该性质不是二者共有；
3. 选项C：对角线互相平分且相等是矩形的性质，菱形对角线不满足相等，该性质不是二者共有；
4. 选项D：平行四边形的对角线互相平分，菱形和矩形都属于平行四边形，因此二者都具有对角线互相平分的性质。
2. (★★)若矩形对角线相交所成钝角为$120°$，短边长3.6 cm，则对角线的长为 ()
A.3.6 cm
B.7.2 cm
C.1.8 cm
D.14.4 cm
A.3.6 cm
B.7.2 cm
C.1.8 cm
D.14.4 cm
答案
B
解析
根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，因此两条对角线被交点分成的四条线段长度相等。已知对角线相交所成钝角为120°，则对角线相交形成的相邻锐角为180°-120°=60°，由此可知矩形的短边与两条半对角线构成等边三角形，半条对角线的长度等于短边长3.6 cm，因此对角线的总长为2×3.6=7.2 cm。
3. (★★)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么菱形ABCD的周长是 ()
A.4
B.8
C.12
D.16
A.4
B.8
C.12
D.16
答案
D
解析
∵E,F分别是AB,AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得BC=2EF。
∵EF=2，∴BC=4。
又∵菱形的四条边都相等，
∴菱形ABCD的周长=4×BC=4×4=16。
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得BC=2EF。
∵EF=2，∴BC=4。
又∵菱形的四条边都相等，
∴菱形ABCD的周长=4×BC=4×4=16。
4. (★★)在菱形$ABCD$中，$∠ A:∠ B=1:5$，若此菱形的周长为8，则它的高为（）
A.$\frac{1}{2}$
B.4
C.1
D.2
A.$\frac{1}{2}$
B.4
C.1
D.2
答案
C
解析
1. 由菱形性质可知，菱形邻角互补，即∠A + ∠B = 180°，结合∠A:∠B=1:5，可得∠A + 5∠A = 180°，解得∠A=30°。
2. 菱形周长为8，且菱形四条边长度相等，因此菱形的边长为8÷4=2。
3. 过菱形顶点D作AB边上的高DE，在Rt△ADE中，∠A=30°，斜边AD=2，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得高DE=½AD=1。
2. 菱形周长为8，且菱形四条边长度相等，因此菱形的边长为8÷4=2。
3. 过菱形顶点D作AB边上的高DE，在Rt△ADE中，∠A=30°，斜边AD=2，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，可得高DE=½AD=1。
5. (★★)在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=10 cm,则AB= cm,BC= cm.
答案
$AB=\boldsymbol{5}\ \mathrm{cm}$，$BC=\boldsymbol{5\sqrt{3}}\ \mathrm{cm}$。
解析
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD=10 cm，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴ $OA=OB=5\ \mathrm{cm}$。
又∵ $∠ AOB=60°$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，
∴ $AB=OA=5\ \mathrm{cm}$。
∵ 矩形ABCD中$∠ ABC=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD=10 cm，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴ $OA=OB=5\ \mathrm{cm}$。
又∵ $∠ AOB=60°$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，
∴ $AB=OA=5\ \mathrm{cm}$。
∵ 矩形ABCD中$∠ ABC=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
6. (★★★)如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（）
A.12
B.13
C.14
D.15
A.12
B.13
C.14
D.15
答案
B
解析
过点P作PM⊥BC于点M，由正方形性质得PM=AB=AD，∠PMQ=∠D=90°。根据折叠性质，折痕PQ垂直平分AE，可推得∠DAE=∠MPQ，因此△ADE≌△PMQ（ASA），可得PQ=AE。在Rt△ADE中，AD=12，DE=5，由勾股定理计算得AE=√(12²+5²)=13，因此PQ=13。
7. (★★)已知菱形的周长为40 cm,两个相邻角的度数之比为1:2,则较长对角线的长为 cm.
答案
$\boldsymbol{10\sqrt{3}}$
解析
解：
∵ 菱形的四条边相等，周长为40 cm，
∴ 菱形的边长为 $ 40÷4 = 10 \, \mathrm{cm} $。
∵ 菱形相邻两个内角互补，且度数比为1:2，设两个相邻内角分别为$ x $、$ 2x $，
则 $ x + 2x = 180° $，
解得 $ x=60° $，$ 2x=120° $。
∴ 菱形较小的内角为$ 60° $，较短对角线与菱形的两条邻边构成等边三角形，可得较短对角线长为10 cm。
∵ 菱形的对角线互相垂直平分，
设较长对角线的一半长为$ a $，由勾股定理得：
$ a^2 + (\frac{10}{2})^2 = 10^2 $
整理得 $ a^2 = 75 $，解得 $ a=5\sqrt{3} $（长度为正，舍去负根）。
∴ 较长对角线的长为 $ 2a = 10\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $。
最终
∵ 菱形的四条边相等，周长为40 cm，
∴ 菱形的边长为 $ 40÷4 = 10 \, \mathrm{cm} $。
∵ 菱形相邻两个内角互补，且度数比为1:2，设两个相邻内角分别为$ x $、$ 2x $，
则 $ x + 2x = 180° $，
解得 $ x=60° $，$ 2x=120° $。
∴ 菱形较小的内角为$ 60° $，较短对角线与菱形的两条邻边构成等边三角形，可得较短对角线长为10 cm。
∵ 菱形的对角线互相垂直平分，
设较长对角线的一半长为$ a $，由勾股定理得：
$ a^2 + (\frac{10}{2})^2 = 10^2 $
整理得 $ a^2 = 75 $，解得 $ a=5\sqrt{3} $（长度为正，舍去负根）。
∴ 较长对角线的长为 $ 2a = 10\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $。
最终
8. (★★)在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=3$，则$AB$边上的中线$CD=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{34}}{2}}$
解析
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=3
∴ 由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$
又∵ CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{34}}{2}$
最终
∵ 在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=3
∴ 由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$
又∵ CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{34}}{2}$
最终
