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9.【教材呈现】
探究：如图12，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
（1）如图13，在□ABCD中，OA与OC数量关系为
【性质应用】
（2）如图14，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.连接AF，CE.
①求证：四边形AECF是平行四边形.
②若EF⊥AC，△ABF的周长是18，则□ABCD的周长是
【拓展应用】
（3）如图15，若四边形ABCD是平行四边形，过点O作直线EF分别交边AD，BC于点E，F，过点O作直线GH分别交边AB，CD于点G，H，且$S_{四边形AGOE}=\frac{1}{4}S_{□ABCD}$.若AD＝5，AB＝3，BG＝1，则AE＝
探究：如图12，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
（1）如图13，在□ABCD中，OA与OC数量关系为
OA=OC
，OB与OD数量关系为OB=OD
.（直接写出结果）【性质应用】
（2）如图14，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.连接AF，CE.
①求证：四边形AECF是平行四边形.
②若EF⊥AC，△ABF的周长是18，则□ABCD的周长是
36
.【拓展应用】
（3）如图15，若四边形ABCD是平行四边形，过点O作直线EF分别交边AD，BC于点E，F，过点O作直线GH分别交边AB，CD于点G，H，且$S_{四边形AGOE}=\frac{1}{4}S_{□ABCD}$.若AD＝5，AB＝3，BG＝1，则AE＝
5/3
.答案
9.（1）OA=OC OB=OD
（2）①在$□ ABCD$中，$\because AD// BC$，$AO=CO$，$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$，$∠ AEO=∠ CFO$. 在$△ EAO$ 和$△ FCO$中，$\begin{cases}∠ AEO=∠ CFO,\\∠ EAO=∠ FCO,\\AO=CO,\end{cases}$$\therefore △ EAO≌△ FCO$（AAS），$\therefore EA=FC$. 又$\because EA// FC$，$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形
②若$EF⊥ AC$，则$□ AECF$为菱形，$\therefore AF=CF$. 又$\because △ ABF$的周长是18，即$AB+BF+AF=18$，$\therefore AB+BF+CF=AB+BC=18$，$\therefore □ ABCD$的周长是$(AB+BC)×2=36$
（3）$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，$S_{四边形AGOE}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，$\therefore S_{△ AOB}=S_{四边形AGOE}$，即$S_{△ AOG}+S_{△ BOG}=S_{△ AOG}+S_{△ AOE}$，$\therefore S_{△ BOG}=S_{△ AOE}$，$\therefore S_{△ AOB}· \frac{BG}{AB}=S_{△ AOD}· \frac{AE}{AD}$，且$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}$，$\therefore AE=\frac{BG· AD}{AB}=\frac{1×5}{3}=\frac{5}{3}$
（2）①在$□ ABCD$中，$\because AD// BC$，$AO=CO$，$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$，$∠ AEO=∠ CFO$. 在$△ EAO$ 和$△ FCO$中，$\begin{cases}∠ AEO=∠ CFO,\\∠ EAO=∠ FCO,\\AO=CO,\end{cases}$$\therefore △ EAO≌△ FCO$（AAS），$\therefore EA=FC$. 又$\because EA// FC$，$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形
②若$EF⊥ AC$，则$□ AECF$为菱形，$\therefore AF=CF$. 又$\because △ ABF$的周长是18，即$AB+BF+AF=18$，$\therefore AB+BF+CF=AB+BC=18$，$\therefore □ ABCD$的周长是$(AB+BC)×2=36$
（3）$\because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，$S_{四边形AGOE}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，$\therefore S_{△ AOB}=S_{四边形AGOE}$，即$S_{△ AOG}+S_{△ BOG}=S_{△ AOG}+S_{△ AOE}$，$\therefore S_{△ BOG}=S_{△ AOE}$，$\therefore S_{△ AOB}· \frac{BG}{AB}=S_{△ AOD}· \frac{AE}{AD}$，且$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}$，$\therefore AE=\frac{BG· AD}{AB}=\frac{1×5}{3}=\frac{5}{3}$
解析
【分析】
（1）本小问直接考查平行四边形的基础性质，根据平行四边形对角线互相平分的结论即可直接作答。
（2）①要证四边形AECF是平行四边形，已知平行四边形ABCD中AD//BC，即EA//FC，只需证EA=FC即可，可通过证明△EAO和△FCO全等得到对应边相等；②若EF⊥AC，可先判定平行四边形AECF是菱形，得到AF=CF，将△ABF的周长转化为AB与BC的和，再代入平行四边形周长公式计算即可。
（3）首先明确平行四边形的对角线将其分成4个面积相等的三角形，每个三角形面积为平行四边形总面积的$\frac{1}{4}$，结合已知的面积相等关系，推导出△BOG和△AOE的面积相等，再利用同高三角形面积比等于底的比的规律，代入已知边长计算AE的长度。
【解析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC，OB=OD。
（2）①证明：在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$AO=CO$，
$\therefore ∠EAO=∠FCO$，$∠AEO=∠CFO$，
在$△ EAO$和$△ FCO$中，
$\begin{cases}∠AEO=∠CFO\\∠EAO=∠FCO\\AO=CO\end{cases}$
$\therefore △ EAO≌△ FCO$（AAS），
$\therefore EA=FC$，
又$\because EA// FC$，
$\therefore$四边形AECF是平行四边形。
②解：$\because EF⊥ AC$，四边形AECF是平行四边形，
$\therefore$四边形AECF是菱形，
$\therefore AF=CF$，
$\because △ ABF$的周长是18，即$AB+BF+AF=18$，
$\therefore AB+BF+CF=AB+BC=18$，
$\therefore □ ABCD$的周长为$(AB+BC)×2=18×2=36$。
（3）解：$\because$四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，
已知$S_{四边形AGOE}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，
$\therefore S_{△ AOB}=S_{四边形AGOE}$，
即$S_{△ AOG}+S_{△ BOG}=S_{△ AOG}+S_{△ AOE}$，
$\therefore S_{△ BOG}=S_{△ AOE}$，
$\because S_{△ AOB}=S_{△ AOD}$，且同高三角形面积比等于底的比，
$\therefore S_{△ BOG}=S_{△ AOB}·\frac{BG}{AB}$，$S_{△ AOE}=S_{△ AOD}·\frac{AE}{AD}$，
$\therefore \frac{BG}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
代入$BG=1$，$AB=3$，$AD=5$，
得$AE=\frac{BG· AD}{AB}=\frac{1×5}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
（1）$OA=OC$，$OB=OD$
（2）①证明见解析；②$36$
（3）$\frac{5}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质
【点评】
本题围绕平行四边形展开，从基础性质识记到判定证明，再到结合面积的综合计算，层层递进，既考查了对几何基础定理的掌握程度，也考查了转化思想在几何问题中的应用，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
（1）本小问直接考查平行四边形的基础性质，根据平行四边形对角线互相平分的结论即可直接作答。
（2）①要证四边形AECF是平行四边形，已知平行四边形ABCD中AD//BC，即EA//FC，只需证EA=FC即可，可通过证明△EAO和△FCO全等得到对应边相等；②若EF⊥AC，可先判定平行四边形AECF是菱形，得到AF=CF，将△ABF的周长转化为AB与BC的和，再代入平行四边形周长公式计算即可。
（3）首先明确平行四边形的对角线将其分成4个面积相等的三角形，每个三角形面积为平行四边形总面积的$\frac{1}{4}$，结合已知的面积相等关系，推导出△BOG和△AOE的面积相等，再利用同高三角形面积比等于底的比的规律，代入已知边长计算AE的长度。
【解析】
（1）根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA=OC，OB=OD。
（2）①证明：在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$AO=CO$，
$\therefore ∠EAO=∠FCO$，$∠AEO=∠CFO$，
在$△ EAO$和$△ FCO$中，
$\begin{cases}∠AEO=∠CFO\\∠EAO=∠FCO\\AO=CO\end{cases}$
$\therefore △ EAO≌△ FCO$（AAS），
$\therefore EA=FC$，
又$\because EA// FC$，
$\therefore$四边形AECF是平行四边形。
②解：$\because EF⊥ AC$，四边形AECF是平行四边形，
$\therefore$四边形AECF是菱形，
$\therefore AF=CF$，
$\because △ ABF$的周长是18，即$AB+BF+AF=18$，
$\therefore AB+BF+CF=AB+BC=18$，
$\therefore □ ABCD$的周长为$(AB+BC)×2=18×2=36$。
（3）解：$\because$四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，
已知$S_{四边形AGOE}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，
$\therefore S_{△ AOB}=S_{四边形AGOE}$，
即$S_{△ AOG}+S_{△ BOG}=S_{△ AOG}+S_{△ AOE}$，
$\therefore S_{△ BOG}=S_{△ AOE}$，
$\because S_{△ AOB}=S_{△ AOD}$，且同高三角形面积比等于底的比，
$\therefore S_{△ BOG}=S_{△ AOB}·\frac{BG}{AB}$，$S_{△ AOE}=S_{△ AOD}·\frac{AE}{AD}$，
$\therefore \frac{BG}{AB}=\frac{AE}{AD}$，
代入$BG=1$，$AB=3$，$AD=5$，
得$AE=\frac{BG· AD}{AB}=\frac{1×5}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
（1）$OA=OC$，$OB=OD$
（2）①证明见解析；②$36$
（3）$\frac{5}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质
【点评】
本题围绕平行四边形展开，从基础性质识记到判定证明，再到结合面积的综合计算，层层递进，既考查了对几何基础定理的掌握程度，也考查了转化思想在几何问题中的应用，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
