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5. 如图5，$□ ABCD$的周长为30 cm，$△ ABC$的周长为24 cm，则AO的长为（
A.3 cm
B.4.5 cm
C.6 cm
D.9 cm
B
）。A.3 cm
B.4.5 cm
C.6 cm
D.9 cm
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形的性质：①对边相等；②对角线互相平分。第一步，利用平行四边形的周长求出邻边AB与BC的和；第二步，结合△ABC的周长求出对角线AC的长度；第三步，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知AO是AC的一半，代入数值计算即可得到AO的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，AD=BC，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
∵ 平行四边形ABCD的周长为30 cm
∴ $2(AB+BC)=30$，解得 $AB+BC=15$ cm
又
∵ △ABC的周长为24 cm，即 $AB+BC+AC=24$ cm
将$AB+BC=15$代入得：$15+AC=24$，解得 $AC=9$ cm
∴ $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5$ cm
【答案】
B
【知识点】
1. 平行四边形对边相等
2. 平行四边形对角线互相平分
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是通过两个周长的差值求出对角线AC的长度，再结合对角线平分的性质计算所求线段长度，熟练掌握平行四边形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平行四边形的性质：①对边相等；②对角线互相平分。第一步，利用平行四边形的周长求出邻边AB与BC的和；第二步，结合△ABC的周长求出对角线AC的长度；第三步，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知AO是AC的一半，代入数值计算即可得到AO的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB=CD，AD=BC，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
∵ 平行四边形ABCD的周长为30 cm
∴ $2(AB+BC)=30$，解得 $AB+BC=15$ cm
又
∵ △ABC的周长为24 cm，即 $AB+BC+AC=24$ cm
将$AB+BC=15$代入得：$15+AC=24$，解得 $AC=9$ cm
∴ $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5$ cm
【答案】
B
【知识点】
1. 平行四边形对边相等
2. 平行四边形对角线互相平分
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是通过两个周长的差值求出对角线AC的长度，再结合对角线平分的性质计算所求线段长度，熟练掌握平行四边形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌.某工人师傅把四块完全相同的平面图形按如图6所示的方式进行镶嵌，经测量，CD＝30 cm，BC＝50 cm，B，D两点之间的距离为40 cm，则图中阴影部分的面积为
1200
cm².答案
6.1200
解析
【分析】解题时首先观察已知的△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，得到∠BDC的度数；再结合平面镶嵌的性质，四块完全相同的图形拼接时对应边、对应角相等，可确定阴影部分的形状与邻边长度，最后代入对应面积公式计算即可。
【解析】
在△BCD中，已知CD=30 cm，BD=40 cm，BC=50 cm。
∵ 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50²，即CD² + BD² = BC²，
∴ 根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°。
∵ 四块平面图形完全相同，镶嵌时对应边相等、对应角相等，
∴ 阴影部分的四边形两组对边分别等于BD、CD的长度，且有一个内角为90°，即阴影部分是邻边长为30 cm、40 cm的矩形。
∴ 阴影部分的面积 = 30 × 40 = 1200（cm²）。
【答案】
1200
【知识点】
勾股定理的逆定理；平面镶嵌；矩形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何基础知识点的应用，解题的关键是先通过三边关系判断直角三角形，再结合镶嵌的性质确定阴影部分的形状与边长，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
【解析】
在△BCD中，已知CD=30 cm，BD=40 cm，BC=50 cm。
∵ 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500 = 50²，即CD² + BD² = BC²，
∴ 根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°。
∵ 四块平面图形完全相同，镶嵌时对应边相等、对应角相等，
∴ 阴影部分的四边形两组对边分别等于BD、CD的长度，且有一个内角为90°，即阴影部分是邻边长为30 cm、40 cm的矩形。
∴ 阴影部分的面积 = 30 × 40 = 1200（cm²）。
【答案】
1200
【知识点】
勾股定理的逆定理；平面镶嵌；矩形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何基础知识点的应用，解题的关键是先通过三边关系判断直角三角形，再结合镶嵌的性质确定阴影部分的形状与边长，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
7. 将两个大小不同的含$30°$角的直角三角板按如图7所示的方式（无缝隙且不重叠）摆放在$□ ABCD$中，则$∠ 1$的度数为（
A.$50°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$80°$
B
）。A.$50°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，求出∠ACB的度数，再结合直角三角板的直角特征，利用三角形内角和为180°的定理，就能求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ACB = ∠DAC = 30°。
由图形特征可知，直角三角板的直角为90°，在∠1所在的三角形中，根据三角形内角和为180°：
∠1 = 180° - 90° - 30° = 60°
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，将平行四边形、平行线、三角板的特征相结合考查，解题关键是准确找到角之间的等量关系，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，求出∠ACB的度数，再结合直角三角板的直角特征，利用三角形内角和为180°的定理，就能求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ACB = ∠DAC = 30°。
由图形特征可知，直角三角板的直角为90°，在∠1所在的三角形中，根据三角形内角和为180°：
∠1 = 180° - 90° - 30° = 60°
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，将平行四边形、平行线、三角板的特征相结合考查，解题关键是准确找到角之间的等量关系，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
8. (1) 试用三种不同的方法将图8、图9、图10中的$□ ABCD$用一条直线分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）。
（2）由（1）你能得到什么结论？
（3）如图11，兄弟俩原来共同承包了一块平行四边形田地ABCD，现要拉一条直线MN将田地进行平均划分，在这块地里有一口水井P.为了兄弟俩都能方便使用这口水井，请你在图中作出直线MN（保留作图痕迹，不写作法）。
（2）由（1）你能得到什么结论？
（3）如图11，兄弟俩原来共同承包了一块平行四边形田地ABCD，现要拉一条直线MN将田地进行平均划分，在这块地里有一口水井P.为了兄弟俩都能方便使用这口水井，请你在图中作出直线MN（保留作图痕迹，不写作法）。
答案
8.（1）（答案不唯一）作直线分别如答图1、答图2、答图3所示
（2）过对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分
（3）作直线MN如答图4所示
解析
【分析】
要解决平行四边形面积等分问题，首先回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。对于（1），只要所作直线过这个对称中心，就能把平行四边形分成面积相等的两部分，我们可以选择不同的过中心的直线，比如连对角线、连对边中点的直线、任意过中心的直线这三种。对于（2），总结（1）的作图规律即可。对于（3），要同时满足平分面积和过水井P，只要让直线同时过平行四边形的对称中心和点P即可。
【解析】
（1）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，过对称中心的直线将平行四边形分成的两部分关于中心对称，面积相等。因此可构造三类符合要求的直线：①连接对角线AC（或BD），对角线将平行四边形分为两个全等的三角形，面积相等；②连接两组对边中任意一组对边的中点，所得直线过对称中心，可平分平行四边形面积；③任意作一条过对角线交点的直线，均满足平分面积的要求，对应作图符合参考答案示例。
（2）结合（1）的三类作图可总结结论：过平行四边形对角线交点（即对称中心）的任意一条直线，都能将平行四边形分成面积相等的两部分。
（3）首先连接平行四边形的对角线AC、BD，交于对称中心O，再作直线OP并延长，交平行四边形的两组对边于M、N，直线MN既过指定点P，又过平行四边形的对称中心，即可平分平行四边形的面积，满足两户都能方便使用水井的要求。
【答案】
（1）（答案不唯一）作直线分别如答图1、答图2、答图3所示
（2）过对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分
（3）作直线MN如答图4所示
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 中心对称图形的性质
3. 图形面积等分
【点评】
本题围绕平行四边形的中心对称性设计，从基础作图到规律总结，再到实际场景应用，层层递进，核心是掌握“过中心对称图形的对称中心的直线可等分图形面积”这一规律，即可快速解决这类面积等分问题。
【难度系数】
0.7
要解决平行四边形面积等分问题，首先回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。对于（1），只要所作直线过这个对称中心，就能把平行四边形分成面积相等的两部分，我们可以选择不同的过中心的直线，比如连对角线、连对边中点的直线、任意过中心的直线这三种。对于（2），总结（1）的作图规律即可。对于（3），要同时满足平分面积和过水井P，只要让直线同时过平行四边形的对称中心和点P即可。
【解析】
（1）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心，过对称中心的直线将平行四边形分成的两部分关于中心对称，面积相等。因此可构造三类符合要求的直线：①连接对角线AC（或BD），对角线将平行四边形分为两个全等的三角形，面积相等；②连接两组对边中任意一组对边的中点，所得直线过对称中心，可平分平行四边形面积；③任意作一条过对角线交点的直线，均满足平分面积的要求，对应作图符合参考答案示例。
（2）结合（1）的三类作图可总结结论：过平行四边形对角线交点（即对称中心）的任意一条直线，都能将平行四边形分成面积相等的两部分。
（3）首先连接平行四边形的对角线AC、BD，交于对称中心O，再作直线OP并延长，交平行四边形的两组对边于M、N，直线MN既过指定点P，又过平行四边形的对称中心，即可平分平行四边形的面积，满足两户都能方便使用水井的要求。
【答案】
（1）（答案不唯一）作直线分别如答图1、答图2、答图3所示
（2）过对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分
（3）作直线MN如答图4所示
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 中心对称图形的性质
3. 图形面积等分
【点评】
本题围绕平行四边形的中心对称性设计，从基础作图到规律总结，再到实际场景应用，层层递进，核心是掌握“过中心对称图形的对称中心的直线可等分图形面积”这一规律，即可快速解决这类面积等分问题。
【难度系数】
0.7
