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1. 下列方程组是二元一次方程组的是 （）
A.$\begin{cases}2x + y = 1, \\ y - 2z = -2\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{1}{x} + y = 3, \\ 2x + \dfrac{1}{y} = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = 3, \\ 2b - 3a = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}mn = 1, \\ m + n = 2\end{cases}$
A.$\begin{cases}2x + y = 1, \\ y - 2z = -2\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{1}{x} + y = 3, \\ 2x + \dfrac{1}{y} = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = 3, \\ 2b - 3a = 4\end{cases}$
D.$\begin{cases}mn = 1, \\ m + n = 2\end{cases}$
答案
C
解析
根据二元一次方程组的定义：方程组中一共含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，含未知数的项的次数都为1，逐一判断：
选项A：方程组含有x、y、z共3个未知数，是三元方程组，不符合要求；
选项B：方程组中的方程含有分式$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$，不是整式方程，不符合要求；
选项C：方程组含有a、b两个未知数，两个方程都是整式方程，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义；
选项D：第一个方程$mn=1$中，项$mn$的次数是2，是二次方程，不符合要求。
选项A：方程组含有x、y、z共3个未知数，是三元方程组，不符合要求；
选项B：方程组中的方程含有分式$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$，不是整式方程，不符合要求；
选项C：方程组含有a、b两个未知数，两个方程都是整式方程，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义；
选项D：第一个方程$mn=1$中，项$mn$的次数是2，是二次方程，不符合要求。
2. 已知方程组$\begin{cases}3x - y = 5 - 2k, \\x + 3y = 2k,\end{cases}$那么$x$与$y$的等量关系是 （ ）
A.$x=y$
B.$4x+4y=5$
C.$4x+2y=5$
D.$2x-4y=5$
A.$x=y$
B.$4x+4y=5$
C.$4x+2y=5$
D.$2x-4y=5$
答案
C
解析
将方程组$\begin{cases}3x - y = 5 - 2k \\x + 3y = 2k\end{cases}$的两个方程左右两边分别相加，左边相加得$3x-y+x+3y=4x+2y$，右边相加得$5-2k+2k=5$，消去参数$k$后，得到$x$与$y$的等量关系为$4x+2y=5$。
3. 以方程组$\begin{cases}x=2-y, \\ y=x-1\end{cases}$的解为坐标，点$(x,y)$在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
A
解析
用代入消元法解方程组：
1. 将$y=x-1$代入$x=2-y$，得$x=2-(x-1)$，化简得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$；
2. 把$x=\frac{3}{2}$代入$y=x-1$，得$y=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。
得到点的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$，横、纵坐标均为正数，该点在第一象限。
1. 将$y=x-1$代入$x=2-y$，得$x=2-(x-1)$，化简得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$；
2. 把$x=\frac{3}{2}$代入$y=x-1$，得$y=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。
得到点的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$，横、纵坐标均为正数，该点在第一象限。
4. 已知$\begin{cases}x=-2, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}mx+ny=7, \\ ny - mx=3\end{cases}$的解，则$m,n$的值分别是（ ）
A.$-1,5$
B.$-1,-5$
C.$1,5$
D.$1,-5$
A.$-1,5$
B.$-1,-5$
C.$1,5$
D.$1,-5$
答案
A
解析
把$\begin{cases}x=-2 \\ y=1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}mx+ny=7 \\ ny - mx=3\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}-2m + n =7 \\ n + 2m =3\end{cases}$
将两个方程相加，得$2n=10$，解得$n=5$，
把$n=5$代入$n+2m=3$，得$5+2m=3$，解得$m=-1$。
因此$m=-1$，$n=5$。
$\begin{cases}-2m + n =7 \\ n + 2m =3\end{cases}$
将两个方程相加，得$2n=10$，解得$n=5$，
把$n=5$代入$n+2m=3$，得$5+2m=3$，解得$m=-1$。
因此$m=-1$，$n=5$。
5. 写出一个以$\begin{cases}x=-1, \\ y=3\end{cases}$为解的二元一次方程组： ______ 。
答案
解：
将$x=-1$，$y=3$代入构造两个二元一次方程：
$x+y=-1+3=2$，即$x+y=2$；
$x-y=-1-3=-4$，即$x-y=-4$。
得到满足条件的二元一次方程组：
$\begin{cases} x+y=2 \\ x-y=-4 \end{cases}$
（答案不唯一）
将$x=-1$，$y=3$代入构造两个二元一次方程：
$x+y=-1+3=2$，即$x+y=2$；
$x-y=-1-3=-4$，即$x-y=-4$。
得到满足条件的二元一次方程组：
$\begin{cases} x+y=2 \\ x-y=-4 \end{cases}$
（答案不唯一）
6. 二元一次方程$x+2y=10$的正整数解有组，请写出其中一组：.
答案
解：
将方程$x+2y=10$变形为$x=10-2y$。
因为x、y均为正整数，所以$x＞0$，$y＞0$，即$10-2y＞0$，解得$y＜5$。
结合y是正整数，可得y的取值为1、2、3、4，对应x的取值为8、6、4、2。
因此该二元一次方程的正整数解有4组，其中一组可以为$\begin{cases} x=8 \\ y=1 \end{cases}$（答案不唯一）。
将方程$x+2y=10$变形为$x=10-2y$。
因为x、y均为正整数，所以$x＞0$，$y＞0$，即$10-2y＞0$，解得$y＜5$。
结合y是正整数，可得y的取值为1、2、3、4，对应x的取值为8、6、4、2。
因此该二元一次方程的正整数解有4组，其中一组可以为$\begin{cases} x=8 \\ y=1 \end{cases}$（答案不唯一）。
7. 已知$a,b$满足方程组$\begin{cases}2a - b = 5, \\a + 2b = -1,\end{cases}$则$3a + b$的值为________。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
$\begin{cases}2a - b = 5&①\\a + 2b = -1&②\end{cases}$
①+②，得：
$(2a - b)+(a + 2b)=5+(-1)$
整理可得：$3a + b = 4$
$\begin{cases}2a - b = 5&①\\a + 2b = -1&②\end{cases}$
①+②，得：
$(2a - b)+(a + 2b)=5+(-1)$
整理可得：$3a + b = 4$
8. 对于$X,Y$定义一种新运算“$*$”：$X*Y=aX+bY$，其中$a,b$为常数，等式右边是通常的加法运算和乘法运算.已知$3*5=15,4*7=28$，那么$1*2=$.
答案
解：
由新运算定义 $X*Y=aX+bY$，结合已知条件可得方程组：
$\begin{cases}3a + 5b = 15 \quad ① \\4a + 7b = 28 \quad ②\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$a + 2b = 13$
又因为 $1*2 = a×1 + b×2 = a + 2b$
所以 $1*2 = 13$
由新运算定义 $X*Y=aX+bY$，结合已知条件可得方程组：
$\begin{cases}3a + 5b = 15 \quad ① \\4a + 7b = 28 \quad ②\end{cases}$
用②式减去①式，得：
$a + 2b = 13$
又因为 $1*2 = a×1 + b×2 = a + 2b$
所以 $1*2 = 13$
9. 解方程组：
(1)$\begin{cases} x=2y-1, \\ x+y=2; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 2x+y=0, \\ 2x-y=-4. \end{cases}$
(1)$\begin{cases} x=2y-1, \\ x+y=2; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 2x+y=0, \\ 2x-y=-4. \end{cases}$
答案
解：
(1)
$\begin{cases} x=2y-1 \quad ① \\ x+y=2 \quad ② \end{cases}$
把①代入②，得：
$2y-1+y=2$
$3y=3$
解得$y=1$
把$y=1$代入①，得：
$x=2×1-1=1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$
(2)
$\begin{cases} 2x+y=0 \quad ① \\ 2x-y=-4 \quad ② \end{cases}$
①+②，得：
$4x=-4$
解得$x=-1$
把$x=-1$代入①，得：
$2×(-1)+y=0$
解得$y=2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
(1)
$\begin{cases} x=2y-1 \quad ① \\ x+y=2 \quad ② \end{cases}$
把①代入②，得：
$2y-1+y=2$
$3y=3$
解得$y=1$
把$y=1$代入①，得：
$x=2×1-1=1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$
(2)
$\begin{cases} 2x+y=0 \quad ① \\ 2x-y=-4 \quad ② \end{cases}$
①+②，得：
$4x=-4$
解得$x=-1$
把$x=-1$代入①，得：
$2×(-1)+y=0$
解得$y=2$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
