疑难点拨
关于反比例函数 $y=\frac{\sqrt{5}}{x}$,下列说法:①图象位于第一、三象限;②图象不与坐标轴相交;③在每个象限内,y随x的增大而增大;
④当$x＞0$时,$y＞0$,其中正确的说法有个.
点拨 注意反比例函数的增减性,一定要注意不能遗漏"在每个象限内"的条件.

【疑难点拨】 3

【分析】
要判断关于反比例函数$y=\frac{\sqrt{5}}{x}$的四个说法是否正确，需结合反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：①k的符号决定图象所在象限（k＞0时图象在一、三象限，k＜0时在二、四象限）；②自变量x≠0、函数值y≠0，故图象不与坐标轴相交；③增减性需强调“在每个象限内”，k＞0时每个象限内y随x增大而减小，k＜0时每个象限内y随x增大而增大；④当x＞0时，k＞0则y＞0，x＜0时y＜0。逐一分析四个说法即可得出正确个数。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{\sqrt{5}}{x}$中，$k=\sqrt{5}＞0$，逐一分析：
1. 因$k=\sqrt{5}＞0$，根据反比例函数性质，图象位于第一、三象限，故①正确；
2. 反比例函数中x≠0，对应y≠0，图象为双曲线，不与x轴、y轴相交，故②正确；
3. 当k＞0时，反比例函数在每个象限内y随x增大而减小，而非增大，增减性描述错误且遗漏前提，故③错误；
4. 当$x＞0$时，$k=\sqrt{5}＞0$，则$y=\frac{\sqrt{5}}{x}＞0$，故④正确；
综上，正确的说法是①②④，共3个。
【答案】3
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数的核心性质，需准确掌握k值对图象位置、增减性的影响，尤其注意增减性的前提是“在每个象限内”，这是易失分点，需仔细辨析每个说法的细节。
【难度系数】0.5

1. 若点$A(x_{1},-1),B(x_{2},1),C(x_{3},5)$都在反比例函数 $y=\frac{5}{x}$ 的图象上,则 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 的大小关系是 ()

A.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$
B.$x_{1}＜x_{3}＜x_{2}$
C.$x_{3}＜x_{2}＜x_{1}$
D.$x_{2}＜x_{1}＜x_{3}$

1. B

【分析】要确定$x_1,x_2,x_3$的大小，已知三点在反比例函数$y=\frac{5}{x}$上，可通过代入各点的$y$值计算对应的$x$，再比较大小；也可利用反比例函数的性质（$k＞0$时，每个象限内$y$随$x$增大而减小）判断，这里$k=5＞0$，A点$y=-1＜0$在第三象限，$x$为负；B、C点$y＞0$在第一象限，第一象限内$y$越大$x$越小，从而快速比较。
【解析】
∵点$A(x_1,-1)$、$B(x_2,1)$、$C(x_3,5)$在反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上，
∴将各点坐标代入函数解析式：
对于A点：$-1=\frac{5}{x_1}$，解得$x_1=-5$；
对于B点：$1=\frac{5}{x_2}$，解得$x_2=5$；
对于C点：$5=\frac{5}{x_3}$，解得$x_3=1$；
∵$-5＜1＜5$，
∴$x_1＜x_3＜x_2$，故答案选B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质、反比例函数的图像
【点评】本题考查反比例函数的基本应用，属于基础题，通过代入求值或利用函数性质均可快速得出结果，重点掌握反比例函数$k$值对图像及增减性的影响。
【难度系数】0.7

2. 某反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 具有下列性质:当 $x＞0$ 时,y随x的增大而减小,写出一个满足条件的k的值是.

2. 1(答案不唯一)

【分析】要解决这道题，需回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，在第一、三象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在第二、四象限内，$y$随$x$的增大而增大。题目要求当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，说明该函数在第一象限内满足此性质，因此只需取$k＞0$的任意值即可。
【解析】根据反比例函数的增减性，当$k＞0$时，$y=\frac{k}{x}$在$x＞0$（第一象限）的范围内，$y$随$x$的增大而减小。因此只要选取一个大于0的数作为$k$的值即可，例如取$k=1$。
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【点评】本题考查反比例函数的基本性质，属于基础题型，难度较低，学生只需掌握反比例函数增减性与$k$的符号关系即可快速解答，答案具有开放性。
【难度系数】0.8

3. 已知点$A(1,y_{1}),B(2,y_{2})$都在反比例函数 $y=\frac{m+1}{x}$ 的图象上,且 $y_{1}＜y_{2}$,则 m 的取值范围为.

3. $m＜-1$

【分析】首先，明确反比例函数的增减性与比例系数的关系：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。本题中，点$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$的横坐标均为正数，说明两点都在同一象限（第一象限），已知$y_1＜y_2$，即$x$增大时$y$增大，由此可判断比例系数$k=m+1$的符号，进而求出$m$的取值范围。
【解析】解：反比例函数$y=\frac{m+1}{x}$的比例系数为$k=m+1$。
因为点$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$的横坐标$1＞0$、$2＞0$，所以两点均在第一象限（同一象限）。
又因为在同一象限内$y_1＜y_2$，即$x$增大时$y$随之增大，根据反比例函数性质，此时比例系数$k＜0$，因此：
$m+1＜0$
解得：$m＜-1$
【答案】$m＜-1$
【知识点】反比例函数的性质；不等式的解法
【点评】本题考查反比例函数的增减性，解题关键是确定两点所在的象限，结合增减性判断比例系数符号，进而求解参数范围，需注意反比例函数增减性的前提是“在每个象限内”，属于基础题型。
【难度系数】0.5

4. 已知五个函数:①$y=5x$;②$y=x-1$;③$y=-x+3$;④$y=\frac{2}{x}$;⑤$y=-\frac{2}{x}$,现有两个条件:(1)第二、第四象限内均有它的图象;(2)在每个象限内,y随x的增大而增大.则同时满足这两个条件的函数是(只填序号).

4. ⑤

【分析】
要解决该问题，需先明确各类函数的图象所在象限和增减性，再结合两个条件逐一筛选：
1. 先依据条件(1)（第二、第四象限内均有图象），排除不符合的函数；
2. 再依据条件(2)（每个象限内y随x增大而增大），从剩余函数中筛选符合要求的；
3. 最终确定同时满足两个条件的函数序号。
【解析】
1. 分析各函数的图象所在象限：
①$y=5x$（正比例函数，$k=5＞0$）：图象在第一、三象限，不满足条件(1)；
②$y=x-1$（一次函数，$k=1＞0,b=-1$）：图象过第一、三、四象限，不满足条件(1)；
③$y=-x+3$（一次函数，$k=-1＜0,b=3$）：图象过第一、二、四象限，不满足条件(1)；
④$y=\frac{2}{x}$（反比例函数，$k=2＞0$）：图象在第一、三象限，不满足条件(1)；
⑤$y=-\frac{2}{x}$（反比例函数，$k=-2＜0$）：图象在第二、四象限，满足条件(1)。
2. 分析剩余函数⑤的增减性：反比例函数中，当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，满足条件(2)。
综上，同时满足两个条件的函数是⑤。
【答案】
⑤
【知识点】
反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质
【点评】
本题考查函数的图象与性质，需熟练掌握正比例函数、一次函数、反比例函数的图象特征和增减性，通过逐一分析筛选出符合条件的函数，难度适中。
【难度系数】
0.3

5. 反比例函数 $y=\frac{a-1}{x}$ 的图象分布在第二、四象限,则a的取值范围是.

5. $a＜1$

【分析】首先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，k≠0），当k＜0时，函数图象分布在第二、四象限；当k＞0时，图象分布在第一、三象限。本题中函数是$ y=\frac{a-1}{x} $，其图象在第二、四象限，说明比例系数$ a-1 $小于0，据此可列出不等式求解a的取值范围。
【解析】因为反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的图象在第二、四象限时，比例系数k＜0，所以对于函数$ y=\frac{a-1}{x} $，有$ a-1 ＜ 0 $，解这个不等式得：$ a ＜ 1 $。
【答案】$ a＜1 $
【知识点】反比例函数的性质、一元一次不等式的求解
【点评】本题考查反比例函数图象性质的基础应用，核心是掌握反比例函数中比例系数的符号与图象所在象限的对应关系，属于初中数学的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3

6. 在平面直角坐标系xOy中,若点(2,4)是函数$y=k_{1}x(k_{1}≠0)$和 $y=\frac{k_{2}}{x}(k_{2}≠0)$的图象的一个交点,则这两个函数图象的另一个交点的坐标是.

6.$(-2,-4)$

【分析】
要解决这个问题，可利用正比例函数与反比例函数的交点性质：两者的图象交点关于原点对称，也可通过联立函数解析式求解。首先将已知交点坐标代入两个函数，求出比例系数，再联立方程得到另一个交点；或直接利用中心对称性质，点$(x,y)$关于原点的对称点为$(-x,-y)$，快速得出结果。
【解析】
步骤1：求两个函数的比例系数。
将交点$(2,4)$代入正比例函数$y=k_1x$，得$4=2k_1$，解得$k_1=2$，故正比例函数为$y=2x$；
将交点$(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，得$4=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=8$，故反比例函数为$y=\frac{8}{x}$。
步骤2：联立方程求另一个交点。
联立两个函数解析式：$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{8}{x}\end{cases}$，将$y=2x$代入$y=\frac{8}{x}$，得$2x=\frac{8}{x}$（$x≠0$），两边同乘$x$得$2x^2=8$，化简得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$。
当$x=-2$时，$y=2×(-2)=-4$，因此另一个交点坐标为$(-2,-4)$。
【答案】
$(-2,-4)$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、函数交点
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的交点问题，既可以通过联立方程的常规方法求解，也可利用两函数交点关于原点对称的性质快速得出结果，属于初中函数部分的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7

7. 在平面直角坐标系中,直线$y=kx(k≠0)$与反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象交于$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$两点,则$x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$的值为.

7. $-12$

【分析】
首先，直线$y=kx(k≠0)$过原点，反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图像关于原点中心对称，因此它们的交点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$关于原点对称，即满足$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$；其次，点$A$在反比例函数图像上，故$x_1y_1=6$；最后将对称关系代入所求式子，结合$x_1y_1=6$即可计算结果。
【解析】
1. 联立直线与反比例函数方程：$\begin{cases}y=kx \\ y=\frac{6}{x}\end{cases}$，消去$y$得$kx=\frac{6}{x}$，整理为$x^2=\frac{6}{k}$，方程的两根为$x_1$、$x_2$，由韦达定理得$x_1+x_2=0$，即$x_2=-x_1$；同理可得$y_2=-y_1$。
2. 因为点$A(x_1,y_1)$在$y=\frac{6}{x}$上，所以$x_1y_1=6$。
3. 代入计算：$x_1y_2 +x_2y_1 =x_1(-y_1)+(-x_1)y_1=-x_1y_1 -x_1y_1=-2x_1y_1=-2×6=-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
反比例函数中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的中心对称性，利用交点关于原点对称的性质简化计算，属于基础题型，关键是掌握反比例函数图像的对称性质。
【难度系数】
0.5

8. (2025徐州)如图,B,C两点分别在函数 $y=\frac{5}{x}(x＞0)$ 和 $y=-\frac{1}{x}(x＜0)$ 的图象上,线段$BC⊥y$轴,点A在x轴上,则$△ ABC$的面积为.

8. 3

【分析】要计算△ABC的面积，首先根据BC⊥y轴得出B、C两点纵坐标相等，设出B点坐标，利用反比例函数表达式求出C点坐标，进而得到BC的长度；再结合A在x轴上，BC平行于x轴，确定△ABC的高为B点的纵坐标，最后用三角形面积公式计算，计算时会发现变量可约去，得到固定值。
【解析】设点B的坐标为$(a, \frac{5}{a})$（$a＞0$），因为$BC⊥y$轴，所以点C的纵坐标与点B相同，为$\frac{5}{a}$。将$y=\frac{5}{a}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$\frac{5}{a}=-\frac{1}{x}$，解得$x=-\frac{a}{5}$，故点C的坐标为$(-\frac{a}{5}, \frac{5}{a})$。由此可得$BC$的长度为$a - (-\frac{a}{5})=\frac{6a}{5}$。由于点A在x轴上，$BC// x$轴，因此△ABC中BC边上的高等于点B的纵坐标$\frac{5}{a}$。根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×\frac{6a}{5}×\frac{5}{a}=3$。
【答案】3
【知识点】反比例函数的性质、三角形面积计算
【点评】本题结合反比例函数的图象与性质，通过坐标法求解三角形面积，关键是利用BC垂直y轴的条件确定两点坐标的关系，计算时变量a会约去，体现了反比例函数中k的几何意义的应用，难度适中。
【难度系数】0.5