1. 已知$\odot O$是以坐标原点$O$为圆心,4为半径的圆,若点$P$的坐标为$(-\sqrt{5},2)$,则点$P$与$\odot O$的位置关系为 ()

A.点$P$在$\odot O$外
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$内
D.点$P$在$\odot O$右下方

1. C

【分析】要判断点与圆的位置关系，需计算点到圆心的距离d，再与圆的半径r比较：若d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。本题中圆心为原点，半径已知，只需用两点间距离公式算出点P到原点的距离，再和半径比较即可。
【解析】1. 确定⊙O的半径r=4，圆心O为坐标原点(0,0)；
2. 计算点P(-√5,2)到圆心O的距离：根据两点间距离公式，d=√[(x_P - 0)² + (y_P - 0)²] = √[(-√5)² + 2²] = √(5 + 4) = √9 = 3；
3. 比较d与r的大小：因为3 ＜ 4，即d ＜ r，所以点P在⊙O内。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系、两点间距离公式
【点评】本题是点与圆位置关系的基础应用题，核心是掌握距离与半径的大小比较方法，计算过程简单，属于初中数学的基础考点，学生易掌握。
【难度系数】0.8

2. 已知$\odot O$的半径是6 cm,点$O$到同一平面内直线$l$的距离为5 cm,则直线$l$与$\odot O$的位置关系是 ()

A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断

2. A

【分析】要判断直线与圆的位置关系，需依据圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小关系：当$d ＜ r$时直线与圆相交，$d = r$时相切，$d ＞ r$时相离。本题已知圆半径和圆心到直线的距离，只需比较两者大小即可得出结论。
【解析】设圆的半径为$r$，圆心到直线的距离为$d$，直线与圆的位置关系判定规则为：若$d ＜ r$，直线与圆相交；若$d = r$，直线与圆相切；若$d ＞ r$，直线与圆相离。本题中，$\odot O$的半径$r = 6\ \mathrm{cm}$，点$O$到直线$l$的距离$d = 5\ \mathrm{cm}$，因为$5\ \mathrm{cm} ＜ 6\ \mathrm{cm}$，即$d ＜ r$，所以直线$l$与$\odot O$的位置关系是相交，对应选项A。
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【点评】本题是初中几何的基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，只要掌握$d$与$r$的大小比较规则即可快速解题，属于易得分题。
【难度系数】0.8

3. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$PA$切$\odot O$于点$A$,$PO$交$\odot O$于点$C$,连接$BC$.若$∠ B=28°$,则$∠ P=$°.

3. 34

【分析】首先根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，得到∠PAO=90°；再利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠AOC的度数；最后在直角三角形PAO中，利用直角三角形两锐角互余，计算出∠P的度数。
【解析】
∵ PA切⊙O于点A，
∴ OA⊥PA，即∠PAO=90°。
∵ ∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠AOC=2∠B=2×28°=56°。
在Rt△PAO中，∠P + ∠AOC = 90°，
∴ ∠P=90° - 56°=34°。
【答案】34
【知识点】切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】本题是圆的基础题型，主要考查切线性质和圆周角定理的应用，解题关键是利用圆周角定理求出圆心角，再结合直角三角形的性质计算角度，难度适中。
【难度系数】0.6

4. 以$O$为中心点的量角器与直角三角尺$ABC$按如图所示摆放,直角顶点$B$在零刻度线所在直线$DE$上,且量角器与三角尺只有一个公共点$P$.若点$P$对应读数为$37°$,则$∠ CBD$的度数为.

4. $37°$

【分析】
首先根据量角器的读数确定∠POB的度数；再结合量角器与三角尺仅一个公共点P，判断出BP是量角器的切线，利用切线性质得到OP与BP垂直；最后结合直角三角尺的直角，推出BC与OP平行，进而根据平行线的性质求出∠CBD的度数。
【解析】
1. 由量角器的读数可知，∠POB = 37°；
2. 因为量角器与三角尺只有一个公共点P，所以BP是量角器的切线，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OP⊥BP，即∠OPB = 90°；
3. 又因为直角三角尺ABC的直角顶点为B，所以∠ABC = 90°，因此∠OPB = ∠ABC = 90°，故BC//OP（同位角相等，两直线平行）；
4. 根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，所以∠CBD = ∠POB = 37°。
【答案】
37°
【知识点】
切线的性质、平行线的性质
【点评】
本题结合量角器与直角三角尺的摆放，考查切线性质和平行线的判定与性质，关键是利用切线垂直于半径的性质得到直角，进而推出平行关系，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

5. 如图,在$\odot O$中,直径$AB$与弦$CD$交于点$E$,$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,连接$AD$,过点$B$的切线与$AD$的延长线交于点$F$.若$∠ AFB=68°$,则$∠ DEB=$°.

5. 66

【分析】
首先利用切线的性质得到AB与BF垂直，结合直角三角形的性质求出∠BAF的度数；再根据圆周角定理，结合弧的倍数关系求出弧AC的度数，进而得到对应的圆周角∠ADC的度数；最后利用三角形外角的性质计算∠DEB的度数。
【解析】
1. 因为BF是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以$AB⊥ BF$，即$∠ ABF=90°$。
2. 在$△ ABF$中，$∠ AFB=68°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ BAF=90° - ∠ AFB=90° - 68°=22°$。
3. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，$∠ BAF$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，所以$\overset{\frown}{BD}$的度数$=2×∠ BAF=2×22°=44°$。
4. 已知$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$，则$\overset{\frown}{AC}$的度数$=2×44°=88°$。
5. 同理，$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，所以$∠ ADC=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AC}$的度数$=\frac{1}{2}×88°=44°$。
6. $∠ DEB$是$△ ADE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，得$∠ DEB=∠ BAF + ∠ ADC=22° + 44°=66°$。
【答案】
66
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题综合运用圆的切线性质、圆周角定理及三角形外角性质解题，关键是通过切线构造直角三角形，结合弧与圆周角的关系推导相关角度，需熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.5

6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=4$,$∠ C=64°$,以$AB$为直径的$\odot O$与$AC$相交于点$D$,$E$为$\overset{\frown}{ABD}$上一点,连接$AE$,且$∠ ADE=40°$.
(1) 求$\overset{\frown}{BE}$的长;
(2) 若$∠ EAD=76°$,求证:$CB$为$\odot O$的切线.

6. (1) $\dfrac{10π}{9}$ (2) 证明略

【分析】
对于(1)求弧BE的长，需利用弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，已知AB为直径且AB=4，可得半径r=2，关键是找到弧BE对应的圆心角∠BOE。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠ADE=40°算出弧AE的圆心角∠AOE，再结合AB为平角（180°），即可得到∠BOE，代入弧长公式求解。对于(2)证明CB为⊙O的切线，需根据切线判定定理，证明AB⊥BC（即∠ABC=90°），结合三角形内角和、圆周角定理，逐步推导得出∠ABC=90°即可。
【解析】
(1) 因为AB是⊙O的直径，AB=4，所以⊙O的半径$ r=\frac{AB}{2}=2 $。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠ADE=40°，∠ADE是弧AE所对的圆周角，故弧AE对应的圆心角$ ∠AOE=2∠ADE=2×40°=80° $。
又因为A、O、B共线，$ ∠AOB=180° $，所以弧BE对应的圆心角$ ∠BOE=∠AOB - ∠AOE=180°-80°=100° $。
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，代入n=100，r=2，得弧BE的长为：
$ l_{BE}=\frac{100×π×2}{180}=\frac{10π}{9} $。
(2) 证明：在△AED中，由三角形内角和为180°，得$ ∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=180°-76°-40°=64° $。
因为∠AED和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，故$ ∠ABD=∠AED=64° $。
又AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$ ∠ADB=90° $。
在△ABD中，$ ∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-64°=26° $。
在△ABC中，$ ∠ABC=180°-∠BAD-∠C=180°-26°-64°=90° $，即AB⊥BC。
因为AB是⊙O的直径，点B在⊙O上，所以CB经过半径OB的外端B且垂直于半径AB，根据切线判定定理，CB为⊙O的切线。
【答案】
(1) $\frac{10π}{9}$；(2) 证明略
【知识点】
弧长计算、圆周角定理、切线的判定
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，解题时需熟练运用圆周角定理、弧长公式及切线判定定理，结合三角形内角和推导，步骤清晰即可完成解答，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5