8. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点.若$∠ A=50°$,则$∠ CBD$的度数为.

(第8题)
(第9题)
(第10题)
(第11题)

8. $25°$

【分析】
要解决本题，需结合圆周角定理和弧中点的性质：首先，∠A是圆周角，对应弧BCD，利用圆周角定理可求出弧BCD的度数；再由C是弧BD的中点，得到弧BC与弧CD相等，进而算出弧CD的度数；最后，∠CBD是弧CD所对的圆周角，再次用圆周角定理即可求出∠CBD的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧度数的一半。已知∠A=50°，∠A是弧BCD所对的圆周角，因此弧BCD的度数为 $2×50°=100°$。
2. 因为C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，故弧CD的度数为弧BCD度数的一半，即 $\frac{100°}{2}=50°$。
3. 又因为∠CBD是弧CD所对的圆周角，根据圆周角定理，∠CBD的度数为弧CD度数的一半，即 $\frac{50°}{2}=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
圆周角定理，弧中点的性质
【点评】
本题考查圆周角定理的基础应用，关键是利用弧中点得到等弧，结合圆周角与弧的度数关系求解，属于圆的常规基础题。
【难度系数】
0.6

9. 如图,AB是$\odot O$的直径,CD是弦.若$∠ BCD=32°$,则$∠ ABD$的度数为.

9. $58°$

【分析】要计算∠ABD的度数，需利用圆的相关性质：首先，AB是⊙O的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角是直角，可得到∠ADB=90°；其次，∠BCD与∠BAD都是弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此∠BAD=∠BCD；最后在直角三角形ABD中，利用直角三角形两锐角互余，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
又
∵∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD=32°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ABD中，∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴∠ABD=90° - ∠BAD=90° - 32°=58°。
【答案】58°
【知识点】圆周角定理、直径的性质
【点评】本题属于圆的基础题型，主要考查圆周角定理及直径的性质的应用，解题关键是找到同弧所对的圆周角相等，结合直角三角形的内角关系求解，难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】0.3

10. 如图,AB是圆的直径,$∠ 1$、$∠ 2$、$∠ 3$、$∠ 4$的顶点均在AB上方的圆弧上,$∠ 1$、$∠ 4$的一边分别
经过点A、B,则$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=$°.
素养拓展

10. 90

【分析】
要解决这个问题，需运用圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，且直径对应的弧为半圆（180°）。观察图形可知，∠1、∠2、∠3、∠4均为顶点在圆上的圆周角，它们各自所对的弧的总长度恰好是直径AB上方的半圆，总弧度数为180°。根据圆周角定理，四个角的和等于总弧度数的一半，由此可计算出结果。
【解析】
因为AB是圆的直径，所以AB上方的弧对应的度数为180°。根据圆周角定理，每个圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，因此：
∠1、∠2、∠3、∠4所对弧的度数之和为180°，则：
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = (1/2)×180° = 90°。
【答案】
90
【知识点】
圆周角定理、直径的性质
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是明确四个角所对的弧之和为半圆，通过圆周角定理将角的和转化为弧和的一半，进而求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5

11. 如图,在$\odot O$中,AB为直径,C为圆上一点,将劣弧AC沿弦AC翻折,交AB于点D不与点O
重合,连接CD.若$∠ BAC=23°$,则$∠ ACD$的度数为.

11. $44°$

【分析】要解决这道题，首先利用直径所对的圆周角为直角的性质求出∠ABC的度数；再根据翻折的性质得到∠ADC与∠ABC的互补关系；最后结合三角形内角和定理，计算出∠ACD的度数。
【解析】1. 因为AB是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得$∠ ACB=90°$。2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ BAC=23°$，所以$∠ ABC=90° - 23°=67°$。3. 将劣弧$AC$沿弦$AC$翻折，根据翻折的性质，翻折前后对应的圆周角互补，即$∠ ADC + ∠ ABC=180°$，因此$∠ ADC=180° - 67°=113°$。4. 在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACD=180° - ∠ BAC - ∠ ADC=180° -23° -113°=44°$。
【答案】$44°$
【知识点】圆周角定理、翻折性质、三角形内角和定理
【点评】本题综合考查圆的性质与翻折变换，需掌握直径的圆周角特征、翻折的角度关系，结合三角形内角和求解，关键是明确翻折后角度的互补关系，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5

12. [新定义]在平面直角坐标系xOy中,$\odot O$的半径为1,对于点P、点A和$\odot O$,给出下面定义:
将点P绕点A顺时针旋转$90°$得到点$P'$,若点$P'$在$\odot O$上或内部,则称点P为$\odot O$关于点A
的旋垂点.
(1) 如图1,若点A(2,2),
①在点$P_{1}(4,0)$、$P_{2}(4,1)$中,为$\odot O$关于点A的旋垂点是;
②点P是x轴上的动点,且点P为$\odot O$关于点A的旋垂点,则点P横坐标的最大值
是;
(2)如图2,若点A(-2,0),直线$y=x+b$上存在$\odot O$关于点A的旋垂点,求b的取值范围.

12. (1) ①$P_{1}$、$P_{2}$ ②5 (2) $\dfrac{7-\sqrt{3}}{2}≤ b≤ \dfrac{7+\sqrt{3}}{2}$

【分析】
本题是新定义题型，核心是理解“旋垂点”的定义：点P绕点A顺时针旋转90°得到点P'，若P'在⊙O上或内部，则P为旋垂点，等价于OP' ≤1。解题时需利用坐标旋转公式得到P'的坐标，结合点与圆的位置关系（OP' ≤1）转化为代数不等式求解。
对于(1)，先利用旋转公式计算各点旋转后的坐标，判断是否满足OP' ≤1；再设x轴上的动点P，代入旋转公式得到P'坐标，结合OP' ≤1列不等式求横坐标范围。
对于(2)，设直线上的点P，代入旋转公式得到P'坐标，由OP' ≤1转化为关于参数的二次不等式，利用二次不等式有解的条件（判别式≥0）求解b的范围。
【解析】
已知⊙O的圆心为原点O，半径为1，点P绕点A顺时针旋转90°后的坐标公式为：若P(x,y)，则旋转后点P'的坐标为$(A_x + (y - A_y), A_y - (x - A_x))$。
(1) ① 点A(2,2)，对$P_1(4,0)$：
$P_1'=(2 + (0-2), 2 - (4-2))=(0,0)$，$OP_1'=0 ≤1$，符合条件；
对$P_2(4,1)$：
$P_2'=(2 + (1-2), 2 - (4-2))=(1,0)$，$OP_2'=1 ≤1$，符合条件；
故旋垂点为$P_1、P_2$。
② 设x轴上的动点$P(x,0)$，代入旋转公式得：
$P'=(2 + (0-2), 2 - (x-2))=(0, 4 - x)$，
由$OP' ≤1$得$|4 - x| ≤1$，解得$3 ≤x ≤5$，故点P横坐标的最大值为5。
(2) 设直线$y=x+b$上的点$P(m, m+b)$，点A(-2,0)，代入旋转公式得：
$P'=(-2 + (m+b - 0), 0 - (m - (-2)))=(m + b - 2, -m - 2)$，
由$OP' ≤1$得：
$(m + b - 2)^2 + (-m - 2)^2 ≤1$，
展开整理：
$m^2 + 2(b-2)m + (b-2)^2 + m^2 + 4m + 4 ≤1$，
$2m^2 + 2bm + b^2 -4b +7 ≤0$，
因为直线上存在这样的点P，故关于m的二次不等式有实数解，判别式$\Delta ≥0$：
$\Delta=(2b)^2 -4×2×(b^2 -4b +7)= -4b^2 +32b -56 ≥0$，
化简得$b^2 -8b +14 ≤0$，解得$4 - \sqrt{2} ≤b ≤4 + \sqrt{2}$。
【答案】
(1) ① $P_1、P_2$；② $5$；(2) $4 - \sqrt{2} ≤ b ≤ 4 + \sqrt{2}$
【知识点】
旋转变换、点与圆的位置关系、二次不等式的应用
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查坐标旋转、点与圆的位置关系，解题关键是准确运用旋转公式转化问题，将几何条件转化为代数不等式，考查了代数运算能力和几何转化思想，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.4