9. [新课标·跨学科题]照相机成像应用了一个重要原理,用公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v≠f)$表示,其中$f$表示照相机镜头的焦距,$u$表示物体到镜头的距离,$v$表示胶片(像)到镜头的距离.已知$f$,$v$,则$u=$（）

A.$\frac{fv}{f-v}$
B.$\frac{f-v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v-f}$
D.$\frac{v-f}{fv}$

9.C

【分析】
本题需要结合给出的成像公式，用已知的$f$、$v$表示$u$。解题思路是先把含$u$的项单独移到等式的一侧，再对另一侧的分式做通分加减运算，最后对等式两边取倒数即可得到$u$的表达式，运算时要遵循分式的运算规则。
【解析】
已知公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，
第一步：移项，将含$\frac{1}{u}$的项留在等式左侧，其余项移到右侧，可得：
$\frac{1}{u}=\frac{1}{f}-\frac{1}{v}$
第二步：对右侧的分式通分计算，取公分母为$fv$：
$\frac{1}{u}=\frac{v}{fv}-\frac{f}{fv}=\frac{v-f}{fv}$
第三步：两边同时取倒数（题目已给出$v≠f$，分母不为0，倒数有意义），可得：
$u=\frac{fv}{v-f}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 代数式变形
3. 通分
【点评】
本题结合物理照相机成像原理命题，属于跨学科基础题，核心考查分式的基本运算能力，熟练掌握分式通分、加减的运算规则，按步骤推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8

10. 设一个人从 A 地到 B 地的平均速度为 $ a $，从 B 地到 A 地的平均速度为 $ b $，则这个人从 A 地到 B 地再返回 A 地的平均速度为 ______。(用含 $ a,b $ 的式子表示)

10.$\frac{2ab}{a+b}$

【分析】
要计算往返的平均速度，首先明确平均速度的核心计算公式：平均速度=总路程÷总时间，注意不能直接将两个速度求平均值，这是常见错误。题目未给出A、B两地的具体路程，我们可以设A、B两地路程为参数s，先分别求出往、返两段路程的用时，再计算总路程和总时间，代入公式后通过分式运算化简即可得到结果。
【解析】
设A地到B地的路程为$s$，
1. 计算往、返的用时：
从A到B的时间：$t_1=\frac{s}{a}$
从B返回A的时间：$t_2=\frac{s}{b}$
2. 计算往返总路程和总时间：
总路程：$s_{\mathrm{总}}=s+s=2s$
总时间：$t_{\mathrm{总}}=t_1+t_2=\frac{s}{a}+\frac{s}{b}=\frac{sb+sa}{ab}=\frac{s(a+b)}{ab}$
3. 代入平均速度公式计算：
$v=\frac{s_{\mathrm{总}}}{t_{\mathrm{总}}}=2s÷\frac{s(a+b)}{ab}=2s×\frac{ab}{s(a+b)}=\frac{2ab}{a+b}$（约去分子分母的$s$得到最终结果）
【答案】
$\frac{2ab}{a+b}$
【知识点】
1. 平均速度计算 2. 分式化简运算 3. 行程问题公式
【点评】
本题的易错点是混淆“平均速度”和“速度的平均值”，解题时要严格紧扣平均速度的定义列式，设参数表示未知路程的方法是解决这类无具体数值行程问题的常用技巧，计算过程中熟练运用分式的通分、约分规则即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6

11. 观察以下等式：
第1个等式：$\frac{1}{1}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$；
第2个等式：$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$；
第3个等式：$\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{15}=\frac{16}{15}$；
第4个等式：$\frac{1}{4}+\frac{5}{6}-\frac{1}{24}=\frac{25}{24}$；
第5个等式：$\frac{1}{5}+\frac{6}{7}-\frac{1}{35}=\frac{36}{35}$；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：$\underline{\hspace{5em}}$；
(2)写出你猜想的第$n$个等式：$\underline{\hspace{8em}}$(用含$n$的等式表示)，并说明其正确性.

11. 解:(1)$\frac{1}{6}+\frac{7}{8}-\frac{1}{48}=\frac{49}{48}$
(2)$\frac{1}{n}+\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}[或\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}]$
因为左边$=\frac{n+2+n(n+1)-1}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}[或\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}]=$右边,所以等式成立.

【分析】
我们通过观察前5个等式，将等式中各部分的数值与等式序号n（n为正整数）对应找规律：①等式左边第一个分数分子为1，分母等于序号n；②第二个分数分子为n+1，分母为n+2；③减去的分数分子为1，分母为n与(n+2)的乘积；④等式右边的分数分母和减去的分数分母相同，分子为(n+1)的平方。按照该规律可写出第6个等式和第n个等式，再通过分式加减运算验证第n个等式成立即可。
【解析】
(1) 当n=6时，代入上述规律：
第一个分数为$\frac{1}{6}$，第二个分数为$\frac{6+1}{6+2}=\frac{7}{8}$，减去的分数为$\frac{1}{6×8}=\frac{1}{48}$，右边的分数为$\frac{(6+1)^2}{6×8}=\frac{49}{48}$，因此第6个等式为$\frac{1}{6}+\frac{7}{8}-\frac{1}{48}=\frac{49}{48}$。
(2) 猜想第n个等式为：$\frac{1}{n}+\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$（n为正整数），验证如下：
对左边通分，取公分母为$n(n+2)$，则：
$\begin{aligned}左边&=\frac{n+2}{n(n+2)}+\frac{n(n+1)}{n(n+2)}-\frac{1}{n(n+2)}\\&=\frac{n+2 + n(n+1) - 1}{n(n+2)}\\&=\frac{n+2 + n^2 + n -1}{n(n+2)}\\&=\frac{n^2 + 2n +1}{n(n+2)}\\&=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=右边\end{aligned}$
因此等式成立。
【答案】
(1) $\frac{1}{6}+\frac{7}{8}-\frac{1}{48}=\frac{49}{48}$
(2) $\frac{1}{n}+\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$（或$\frac{n(n+2)+1}{n(n+2)}$），证明见解析
【知识点】
数字规律探究；分式加减运算；整式化简
【点评】
本题考查规律归纳能力和分式运算能力，解题核心是找准等式各项与序号的对应关系，验证时按照分式通分、合并化简的步骤计算即可，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.7