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15. 2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”“乐融融”吉祥物玩偶深受大家喜爱.某商店在售A,B两款吉祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元.在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元.
(1)求A,B两种型号玩偶的销售单价；
(2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶的$\frac{1}{3}$，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？
(1)求A,B两种型号玩偶的销售单价；
(2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶的$\frac{1}{3}$，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？
答案
15.解:(1)A型玩偶的销售单价为90元,B型玩偶的销售单价为50元.
(2)小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶,使得购买费用最低,最低费用为620元.
(2)小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶,使得购买费用最低,最低费用为620元.
解析
【分析】
(1) 要求A、B两款玩偶的单价，已知A型单价比B型高40元，且卖出相同数量时两款的销售额，可利用“卖出数量=销售额÷单价，且卖出数量相等”的等量关系列分式方程求解，解出后需检验根是否符合实际意义。
(2) 要找费用最低的购买方案，先设购买A型玩偶的数量，结合“A型数量不少于B型的$\frac{1}{3}$”的限制条件列不等式，求出A型数量的取值范围，再根据总费用的构成列出总费用关于A型数量的一次函数表达式，结合一次函数的增减性即可找到费用最低的方案。
【解析】
(1) 设B型玩偶的销售单价为$x$元，则A型玩偶的销售单价为$(x+40)$元。
由卖出数量相等可得方程：
$\frac{7200}{x+40}=\frac{4000}{x}$
交叉相乘得：$7200x=4000(x+40)$
展开化简：$7200x=4000x+160000$
$3200x=160000$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+40)=50×90=4500≠0$，所以$x=50$是原方程的解，符合实际意义。
则A型玩偶单价为$x+40=50+40=90$元。
(2) 设购买A型玩偶$m$个，购买B型玩偶$(10-m)$个，总费用为$w$元。
根据题意列不等式：
$m≥\frac{1}{3}(10-m)$
解得：$m≥2.5$
因为$m$为正整数，所以$m$的最小取值为3。
总费用$w=90m+50(10-m)=40m+500$
因为$40＞0$，所以$w$随$m$的增大而增大，当$m$取最小值3时，总费用最低。
此时$10-m=7$，最低费用$w=40×3+500=620$元。
【答案】
(1)A型玩偶的销售单价为90元，B型玩偶的销售单价为50元；
(2)小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶时购买费用最低，最低费用为620元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活热点场景考察方程、不等式与一次函数的综合应用，解题核心是找准等量关系和不等关系列式，注意分式方程需验根，购买数量为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.7
(1) 要求A、B两款玩偶的单价，已知A型单价比B型高40元，且卖出相同数量时两款的销售额，可利用“卖出数量=销售额÷单价，且卖出数量相等”的等量关系列分式方程求解，解出后需检验根是否符合实际意义。
(2) 要找费用最低的购买方案，先设购买A型玩偶的数量，结合“A型数量不少于B型的$\frac{1}{3}$”的限制条件列不等式，求出A型数量的取值范围，再根据总费用的构成列出总费用关于A型数量的一次函数表达式，结合一次函数的增减性即可找到费用最低的方案。
【解析】
(1) 设B型玩偶的销售单价为$x$元，则A型玩偶的销售单价为$(x+40)$元。
由卖出数量相等可得方程：
$\frac{7200}{x+40}=\frac{4000}{x}$
交叉相乘得：$7200x=4000(x+40)$
展开化简：$7200x=4000x+160000$
$3200x=160000$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$x(x+40)=50×90=4500≠0$，所以$x=50$是原方程的解，符合实际意义。
则A型玩偶单价为$x+40=50+40=90$元。
(2) 设购买A型玩偶$m$个，购买B型玩偶$(10-m)$个，总费用为$w$元。
根据题意列不等式：
$m≥\frac{1}{3}(10-m)$
解得：$m≥2.5$
因为$m$为正整数，所以$m$的最小取值为3。
总费用$w=90m+50(10-m)=40m+500$
因为$40＞0$，所以$w$随$m$的增大而增大，当$m$取最小值3时，总费用最低。
此时$10-m=7$，最低费用$w=40×3+500=620$元。
【答案】
(1)A型玩偶的销售单价为90元，B型玩偶的销售单价为50元；
(2)小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶时购买费用最低，最低费用为620元。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活热点场景考察方程、不等式与一次函数的综合应用，解题核心是找准等量关系和不等关系列式，注意分式方程需验根，购买数量为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.7
16. 根据以下信息，探索完成任务.
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图所示是这种平开窗的实物展示图
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成示意图如图所示.已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一条直线上.当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE=8 cm，DE=16 cm，BC=17 cm
续表
如何设计窗户限位器位置
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB.出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内(即∠COB≤30°)
问题解决
任务1 求解关键数量 填空：滑撑支架中CD的长度为
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时∠COB=30°，则限位器P应装在离点A多远的位置(结果保留根号)
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图所示是这种平开窗的实物展示图
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成示意图如图所示.已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一条直线上.当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE=8 cm，DE=16 cm，BC=17 cm
续表
如何设计窗户限位器位置
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB.出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内(即∠COB≤30°)
问题解决
任务1 求解关键数量 填空：滑撑支架中CD的长度为
8
cm，滑动轨道AB的长度是41
cm 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时∠COB=30°，则限位器P应装在离点A多远的位置(结果保留根号)
答案
16.解:任务1:8 41
任务2:过点C作CM⊥AB于点M,如图所示.
∵当点O滑动到点P时∠COB=30°,
∴$CM=\frac{1}{2}OC=8$ cm,$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=8\sqrt{3}$ cm.
∵BC=17 cm,
∴$BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=15$ cm.
∴$AP=AB-OM-BM=41-8\sqrt{3}-15=(26-8\sqrt{3})$cm.
∴限位器P应装在离点A$(26-8\sqrt{3})$cm的位置.
解析
【分析】
任务1解题思路：根据平行四边形对边相等的性质，CD与OE是平行四边形OCDE的一组对边，可得CD=OE，直接求出CD的长度；当窗户关闭时，DE、CD、BC共线且都落在AB上，因此AB的长度为DE、CD、BC三段长度之和，代入数值计算即可。
任务2解题思路：要求限位器P到A点的距离，已知AB总长度，只需先求出P到B点的距离。遇到∠COB=30°的条件，可过C作CM⊥AB构造直角三角形，先利用含30°角的直角三角形的性质求出CM的长度，再用勾股定理分别计算OM、BM的长度，OB的长度为OM与BM的和，最后用AB总长减去OB的长度即可得到AP的长度。
【解析】
任务1
∵四边形OCDE是平行四边形，平行四边形对边相等，
∴$CD=OE=8\ \mathrm{cm}$。
当窗户关闭时，DE、CD、BC共线且均在AB上，因此：
$AB=DE+CD+BC=16+8+17=41\ \mathrm{cm}$。
任务2
过点C作$CM⊥ AB$于点M，如图所示。
∵四边形OCDE是平行四边形，
∴$OC=DE=16\ \mathrm{cm}$。
当点O滑动到点P时$∠ COB=30°$，在$\mathrm{Rt}△ COM$中：
$CM=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，$BC=17\ \mathrm{cm}$，$CM=8\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15\ \mathrm{cm}$。
此时点O与点P重合，因此$PB=OM+BM=8\sqrt{3}+15\ \mathrm{cm}$，
则$AP=AB-PB=41-(8\sqrt{3}+15)=(26-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$。
【答案】
任务1：$\boxed{8}$；$\boxed{41}$
任务2：限位器P应装在离点A$\boxed{(26-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}}$的位置，辅助线图：
【知识点】
平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题以生活中窗户限位器安装为实际背景，将实际问题转化为几何模型进行求解，既考查了学生对基础几何知识的掌握程度，也考查了学生的数学建模能力和知识综合应用能力，贴合生活实际，能引导学生关注数学在生活中的应用。
【难度系数】
0.6
任务1解题思路：根据平行四边形对边相等的性质，CD与OE是平行四边形OCDE的一组对边，可得CD=OE，直接求出CD的长度；当窗户关闭时，DE、CD、BC共线且都落在AB上，因此AB的长度为DE、CD、BC三段长度之和，代入数值计算即可。
任务2解题思路：要求限位器P到A点的距离，已知AB总长度，只需先求出P到B点的距离。遇到∠COB=30°的条件，可过C作CM⊥AB构造直角三角形，先利用含30°角的直角三角形的性质求出CM的长度，再用勾股定理分别计算OM、BM的长度，OB的长度为OM与BM的和，最后用AB总长减去OB的长度即可得到AP的长度。
【解析】
任务1
∵四边形OCDE是平行四边形，平行四边形对边相等，
∴$CD=OE=8\ \mathrm{cm}$。
当窗户关闭时，DE、CD、BC共线且均在AB上，因此：
$AB=DE+CD+BC=16+8+17=41\ \mathrm{cm}$。
任务2
过点C作$CM⊥ AB$于点M，如图所示。
∵四边形OCDE是平行四边形，
∴$OC=DE=16\ \mathrm{cm}$。
当点O滑动到点P时$∠ COB=30°$，在$\mathrm{Rt}△ COM$中：
$CM=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，$BC=17\ \mathrm{cm}$，$CM=8\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15\ \mathrm{cm}$。
此时点O与点P重合，因此$PB=OM+BM=8\sqrt{3}+15\ \mathrm{cm}$，
则$AP=AB-PB=41-(8\sqrt{3}+15)=(26-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$。
【答案】
任务1：$\boxed{8}$；$\boxed{41}$
任务2：限位器P应装在离点A$\boxed{(26-8\sqrt{3})\ \mathrm{cm}}$的位置，辅助线图：
【知识点】
平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题以生活中窗户限位器安装为实际背景，将实际问题转化为几何模型进行求解，既考查了学生对基础几何知识的掌握程度，也考查了学生的数学建模能力和知识综合应用能力，贴合生活实际，能引导学生关注数学在生活中的应用。
【难度系数】
0.6
