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14 一商品的标准价格是120元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%.
（1）±10%的含义是什么？
（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格.
（3）如果以标准价格为标准，超过标准价格记作“+”，低于标准价格记作“-”，求该商品价格浮动的范围.
（1）±10%的含义是什么？
（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格.
（3）如果以标准价格为标准，超过标准价格记作“+”，低于标准价格记作“-”，求该商品价格浮动的范围.
答案
14.（1）±10%表示商品的价格可能上涨10%，记作+10%，也可能下调10%，记作-10%
（2）最高价格是120+120×10%=132(元)；最低价格是120-120×10%=108(元)
（3）120×10%=12(元)，该商品价格浮动的范围是-12~12元
（2）最高价格是120+120×10%=132(元)；最低价格是120-120×10%=108(元)
（3）120×10%=12(元)，该商品价格浮动的范围是-12~12元
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：
（1）结合正负数的实际意义理解±10%：“+”代表高于标准，“-”代表低于标准，所以该符号表示价格在标准价基础上的浮动上下限。
（2）计算最高、最低价格时，最高价格为标准价加上最高涨幅对应的金额，最低价格为标准价减去最大降幅对应的金额，涨幅、降幅金额都用标准价乘10%计算即可。
（3）求浮动范围时，先算出价格浮动的最大绝对值，再结合“超正低负”的记法，即可得到对应的浮动区间。
【解析】
（1）根据正负数的实际含义，±10%表示商品价格可以在标准价的基础上上涨10%，记作+10%，也可以在标准价的基础上下调10%，记作-10%。
（2）最高价格：标准价加上涨的10%，列式为$120 + 120×10\% = 132$（元）
最低价格：标准价减去下调的10%，列式为$120 - 120×10\% = 108$（元）
（3）先计算价格浮动的最大金额：$120×10\% = 12$（元），以标准价为基准，超过记正、低于记负，因此浮动范围是-12~12元。
【答案】
（1）±10%表示商品的价格可能上涨10%，记作+10%，也可能下调10%，记作-10%
（2）最高价格是120+120×10%=132(元)；最低价格是120-120×10%=108(元)
（3）120×10%=12(元)，该商品价格浮动的范围是-12~12元
【知识点】
正负数的实际意义；百分数的应用；有理数加减运算
【点评】
本题结合生活中商品调价的常见场景出题，考查正负数在实际问题中的应用，解题核心是准确理解“±”的浮动含义，能有效锻炼学生把数学知识和生活实际结合的能力。
【难度系数】
0.85
解题思路可分三步梳理：
（1）结合正负数的实际意义理解±10%：“+”代表高于标准，“-”代表低于标准，所以该符号表示价格在标准价基础上的浮动上下限。
（2）计算最高、最低价格时，最高价格为标准价加上最高涨幅对应的金额，最低价格为标准价减去最大降幅对应的金额，涨幅、降幅金额都用标准价乘10%计算即可。
（3）求浮动范围时，先算出价格浮动的最大绝对值，再结合“超正低负”的记法，即可得到对应的浮动区间。
【解析】
（1）根据正负数的实际含义，±10%表示商品价格可以在标准价的基础上上涨10%，记作+10%，也可以在标准价的基础上下调10%，记作-10%。
（2）最高价格：标准价加上涨的10%，列式为$120 + 120×10\% = 132$（元）
最低价格：标准价减去下调的10%，列式为$120 - 120×10\% = 108$（元）
（3）先计算价格浮动的最大金额：$120×10\% = 12$（元），以标准价为基准，超过记正、低于记负，因此浮动范围是-12~12元。
【答案】
（1）±10%表示商品的价格可能上涨10%，记作+10%，也可能下调10%，记作-10%
（2）最高价格是120+120×10%=132(元)；最低价格是120-120×10%=108(元)
（3）120×10%=12(元)，该商品价格浮动的范围是-12~12元
【知识点】
正负数的实际意义；百分数的应用；有理数加减运算
【点评】
本题结合生活中商品调价的常见场景出题，考查正负数在实际问题中的应用，解题核心是准确理解“±”的浮动含义，能有效锻炼学生把数学知识和生活实际结合的能力。
【难度系数】
0.85
15 新考向 开放性问题
（1）如图所示的两个圈分别表示非负数集合与整数集合，在每个圈里各填入5个数，使其中有两个数既在非负数集合里，又在整数集合里；
（2）（1）中表示非负数集合与整数集合的两个圈有重叠的部分，你能说出重叠部分表示的是什么数的集合吗？
（1）如图所示的两个圈分别表示非负数集合与整数集合，在每个圈里各填入5个数，使其中有两个数既在非负数集合里，又在整数集合里；
（2）（1）中表示非负数集合与整数集合的两个圈有重叠的部分，你能说出重叠部分表示的是什么数的集合吗？
答案
15.（1）答案不唯一，如图所示
（2）重叠部分表示的是正整数和零，即非负整数集合
解析
【分析】
首先解决本题需要先明确两个核心概念：1.非负数是指大于等于0的数，包括0、正整数、正分数（正小数、正百分数也属于正分数范畴）；2.整数是指正整数、0、负整数的统称。
针对第（1）问：两个圈的重叠部分是同时属于两个集合的数，也就是既是非负数又是整数的数，即非负整数。我们只需要先在重叠部分填入2个非负整数（比如0、5），再在非负数集合的非重叠部分填入3个是正数但不是整数的数，在整数集合的非重叠部分填入3个负整数，就能满足各填5个数、2个公共数的要求，答案不唯一。
针对第（2）问：重叠部分的数同时满足“非负数”和“整数”两个属性，也就是大于等于0的整数，据此就能判断该集合的名称。
【解析】
（1）第一步：确定重叠部分的数：选择2个非负整数，比如0、5，填入两个圈的重叠区域；
第二步：填写非负数集合的剩余区域：选择3个大于0且不是整数的数，比如$1\frac{3}{5}$、45%、0.333，填入非负数集合不重叠的部分；
第三步：填写整数集合的剩余区域：选择3个负整数，比如-125、-10、-48，填入整数集合不重叠的部分，就符合要求，填法不唯一。
（2）重叠部分的数需要同时满足两个条件：①属于非负数集合，即数值≥0；②属于整数集合，即是整数。因此该部分的数是大于等于0的整数，也就是正整数和0。
【答案】
（1）答案不唯一，如图所示
（2）重叠部分表示的是正整数和零，即非负整数集合
【知识点】
有理数的分类、非负数的定义、整数的定义
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对有理数分类相关概念的理解与运用，需要准确区分不同数集的范围，明确公共部分数的双重属性即可解题，也能加深对数集包含关系的认识。
【难度系数】
0.85
首先解决本题需要先明确两个核心概念：1.非负数是指大于等于0的数，包括0、正整数、正分数（正小数、正百分数也属于正分数范畴）；2.整数是指正整数、0、负整数的统称。
针对第（1）问：两个圈的重叠部分是同时属于两个集合的数，也就是既是非负数又是整数的数，即非负整数。我们只需要先在重叠部分填入2个非负整数（比如0、5），再在非负数集合的非重叠部分填入3个是正数但不是整数的数，在整数集合的非重叠部分填入3个负整数，就能满足各填5个数、2个公共数的要求，答案不唯一。
针对第（2）问：重叠部分的数同时满足“非负数”和“整数”两个属性，也就是大于等于0的整数，据此就能判断该集合的名称。
【解析】
（1）第一步：确定重叠部分的数：选择2个非负整数，比如0、5，填入两个圈的重叠区域；
第二步：填写非负数集合的剩余区域：选择3个大于0且不是整数的数，比如$1\frac{3}{5}$、45%、0.333，填入非负数集合不重叠的部分；
第三步：填写整数集合的剩余区域：选择3个负整数，比如-125、-10、-48，填入整数集合不重叠的部分，就符合要求，填法不唯一。
（2）重叠部分的数需要同时满足两个条件：①属于非负数集合，即数值≥0；②属于整数集合，即是整数。因此该部分的数是大于等于0的整数，也就是正整数和0。
【答案】
（1）答案不唯一，如图所示
（2）重叠部分表示的是正整数和零，即非负整数集合
【知识点】
有理数的分类、非负数的定义、整数的定义
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对有理数分类相关概念的理解与运用，需要准确区分不同数集的范围，明确公共部分数的双重属性即可解题，也能加深对数集包含关系的认识。
【难度系数】
0.85
16 如图①，A，B，C 是数轴上从左到右排列的三个点，表示的数分别为－7，b，2. 某同学将刻度尺按如图②所示的方式放置，使刻度尺上的刻度0 cm 对齐数轴上的点A，发现点B 对齐刻度2.1 cm，点C 对齐刻度6.3 cm.
（1）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少厘米？
（2）求在数轴上点B 表示的数b.
（3）若Q 是数轴上一点，且满足A，Q 两点间的距离是A，B 两点间的距离的2倍，求点Q 在数轴上所表示的数.
（1）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少厘米？
（2）求在数轴上点B 表示的数b.
（3）若Q 是数轴上一点，且满足A，Q 两点间的距离是A，B 两点间的距离的2倍，求点Q 在数轴上所表示的数.
答案
16.（1）因为在数轴上点A,C表示的数分别为-7,2,所以数轴上点A,C之间的距离为2-(-7)=9.因为刻度尺上的刻度0 cm对齐点A,刻度6.3 cm对齐点C,所以刻度尺上点A,C之间的距离为6.3 cm.所以数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是$\dfrac{6.3}{9}=0.7$(cm)
（2）因为刻度尺上点A,B之间的距离为2.1 cm,所以在数轴上点A,B之间的距离为2.1÷0.7=3.所以点B表示的数为-7+3=-4.所以b=-4
（3）设数轴上点Q表示的数为x.因为点A,B表示的数分别为-7,-4,所以A,B两点间的距离为3,A,Q两点间的距离为|x-(-7)|=|x+7|.因为A,Q两点间的距离是A,B两点间的距离的2倍,所以|x+7|=2×3=6.所以x+7=±6.所以x=-1或x=-13.所以点Q表示的数为-1或-13
（2）因为刻度尺上点A,B之间的距离为2.1 cm,所以在数轴上点A,B之间的距离为2.1÷0.7=3.所以点B表示的数为-7+3=-4.所以b=-4
（3）设数轴上点Q表示的数为x.因为点A,B表示的数分别为-7,-4,所以A,B两点间的距离为3,A,Q两点间的距离为|x-(-7)|=|x+7|.因为A,Q两点间的距离是A,B两点间的距离的2倍,所以|x+7|=2×3=6.所以x+7=±6.所以x=-1或x=-13.所以点Q表示的数为-1或-13
解析
【分析】
（1）要计算数轴上1个单位长度对应刻度尺的长度，首先求出数轴上A、C两点间的单位长度总个数：用C点表示的数减去A点表示的数即可得到；再读取刻度尺上A到C的总长度，用总长度除以单位总个数，就能算出1个单位长度对应的厘米数。
（2）先读取刻度尺上A到B的长度，除以第（1）问求出的1个单位长度对应的厘米数，得到A、B之间的单位长度个数，由于B在A的右侧，用A点表示的数加上这个个数，即可得到b的值。
（3）先计算出A、B两点的距离，根据“AQ是AB的2倍”得到AQ的长度，设Q表示的数为x，利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值列方程求解即可，注意Q的位置有在A左侧、右侧两种情况，不要漏解。
【解析】
（1）数轴上点A表示的数为-7，点C表示的数为2，
因此A、C在数轴上的距离为$2-(-7)=9$（个单位长度），
刻度尺上A到C的长度为6.3 cm，
所以数轴上1个单位长度对应刻度尺的长度为$\frac{6.3}{9}=0.7$（cm）。
（2）刻度尺上A到B的长度为2.1 cm，
因此A、B之间的单位长度个数为$2.1÷0.7=3$，
因为B在A的右侧，所以点B表示的数$b=-7+3=-4$。
（3）设数轴上点Q表示的数为$x$，
A、B两点间的距离为$\vert -4-(-7)\vert=3$，
由题意得A、Q两点间的距离为$2×3=6$，即$\vert x-(-7)\vert=6$，
化简得$\vert x+7\vert=6$，
因此$x+7=6$或$x+7=-6$，
解得$x=-1$或$x=-13$。
【答案】
（1）0.7 cm；（2）$b=-4$；（3）$-1$或$-13$
【知识点】
数轴上两点距离计算，单位长度的概念，绝对值方程求解
【点评】
本题结合刻度尺测量和数轴知识，考查数形结合思想的应用，解题时需熟练掌握数轴上两点距离的计算方法，第三问要注意点Q的位置存在两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要计算数轴上1个单位长度对应刻度尺的长度，首先求出数轴上A、C两点间的单位长度总个数：用C点表示的数减去A点表示的数即可得到；再读取刻度尺上A到C的总长度，用总长度除以单位总个数，就能算出1个单位长度对应的厘米数。
（2）先读取刻度尺上A到B的长度，除以第（1）问求出的1个单位长度对应的厘米数，得到A、B之间的单位长度个数，由于B在A的右侧，用A点表示的数加上这个个数，即可得到b的值。
（3）先计算出A、B两点的距离，根据“AQ是AB的2倍”得到AQ的长度，设Q表示的数为x，利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值列方程求解即可，注意Q的位置有在A左侧、右侧两种情况，不要漏解。
【解析】
（1）数轴上点A表示的数为-7，点C表示的数为2，
因此A、C在数轴上的距离为$2-(-7)=9$（个单位长度），
刻度尺上A到C的长度为6.3 cm，
所以数轴上1个单位长度对应刻度尺的长度为$\frac{6.3}{9}=0.7$（cm）。
（2）刻度尺上A到B的长度为2.1 cm，
因此A、B之间的单位长度个数为$2.1÷0.7=3$，
因为B在A的右侧，所以点B表示的数$b=-7+3=-4$。
（3）设数轴上点Q表示的数为$x$，
A、B两点间的距离为$\vert -4-(-7)\vert=3$，
由题意得A、Q两点间的距离为$2×3=6$，即$\vert x-(-7)\vert=6$，
化简得$\vert x+7\vert=6$，
因此$x+7=6$或$x+7=-6$，
解得$x=-1$或$x=-13$。
【答案】
（1）0.7 cm；（2）$b=-4$；（3）$-1$或$-13$
【知识点】
数轴上两点距离计算，单位长度的概念，绝对值方程求解
【点评】
本题结合刻度尺测量和数轴知识，考查数形结合思想的应用，解题时需熟练掌握数轴上两点距离的计算方法，第三问要注意点Q的位置存在两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
