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10.已知$3x-y=6$,若把$y$看成$x$的函数,则可表示为$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
10.$y=3x-6$
解析
【分析】
本题要求将y表示为x的函数，本质是对给定的二元一次方程进行变形，用含x的代数式表示y。解题时可将x看作已知数，把y看作未知数，利用等式的性质对方程进行变形，最终将y单独放在等号一侧即可。
【解析】
已知等式为$3x - y = 6$，
第一步：移项，将含$x$的项移到等号右侧，得：$-y = 6 - 3x$；
第二步：等式两边同时乘以$-1$，将$y$的系数化为1，得：$y = 3x - 6$。
【答案】
$y=3x-6$
【知识点】
等式的性质；函数的表示；一次函数的概念
【点评】
本题是基础题型，主要考查对方程变形的掌握和对函数表示方法的理解，只需熟练运用等式的基本性质对原式变形即可求解，是巩固一次函数相关基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
本题要求将y表示为x的函数，本质是对给定的二元一次方程进行变形，用含x的代数式表示y。解题时可将x看作已知数，把y看作未知数，利用等式的性质对方程进行变形，最终将y单独放在等号一侧即可。
【解析】
已知等式为$3x - y = 6$，
第一步：移项，将含$x$的项移到等号右侧，得：$-y = 6 - 3x$；
第二步：等式两边同时乘以$-1$，将$y$的系数化为1，得：$y = 3x - 6$。
【答案】
$y=3x-6$
【知识点】
等式的性质；函数的表示；一次函数的概念
【点评】
本题是基础题型，主要考查对方程变形的掌握和对函数表示方法的理解，只需熟练运用等式的基本性质对原式变形即可求解，是巩固一次函数相关基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9
11. 已知关于x的函数$y=(k-1)x+k^2-1$，当k______时，它是一次函数；当k______时，它是正比例函数。
答案
11.$≠1$ $=-1$
解析
【分析】
解答本题需先明确一次函数、正比例函数的定义，再根据定义列条件求解：
1. 求一次函数对应的k值：一次函数要求自变量x的一次项系数不为0，据此列不等式求解即可；
2. 求正比例函数对应的k值：正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次项系数不为0外，还要求常数项为0，联立两个条件求解即可。
【解析】
1. 若函数是一次函数：
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，
可得本题中一次项系数$k-1≠0$，
解得$k≠1$。
2. 若函数是正比例函数：
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，
可得需同时满足两个条件：$\begin{cases}k-1≠0 \\k^2-1=0 \end{cases}$，
解$k^2-1=0$得$k=1$或$k=-1$，结合$k≠1$的条件，得$k=-1$。
【答案】
$≠1$；$=-1$
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确区分一次函数和正比例函数的定义要求，尤其注意求解正比例函数的参数时，不要遗漏“一次项系数不为0”的前提条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
解答本题需先明确一次函数、正比例函数的定义，再根据定义列条件求解：
1. 求一次函数对应的k值：一次函数要求自变量x的一次项系数不为0，据此列不等式求解即可；
2. 求正比例函数对应的k值：正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次项系数不为0外，还要求常数项为0，联立两个条件求解即可。
【解析】
1. 若函数是一次函数：
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，
可得本题中一次项系数$k-1≠0$，
解得$k≠1$。
2. 若函数是正比例函数：
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，
可得需同时满足两个条件：$\begin{cases}k-1≠0 \\k^2-1=0 \end{cases}$，
解$k^2-1=0$得$k=1$或$k=-1$，结合$k≠1$的条件，得$k=-1$。
【答案】
$≠1$；$=-1$
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确区分一次函数和正比例函数的定义要求，尤其注意求解正比例函数的参数时，不要遗漏“一次项系数不为0”的前提条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $y=(m+1)x^{2-|m|}+n+4.$
(1)当 $m,n$ 取何值时,$y$ 是 $x$ 的一次函数?
(2)当 $m,n$ 取何值时,$y$ 是 $x$ 的正比例函数?
(1)当 $m,n$ 取何值时,$y$ 是 $x$ 的一次函数?
(2)当 $m,n$ 取何值时,$y$ 是 $x$ 的正比例函数?
答案
12.解:(1)根据一次函数的定义,得$2-|m|=1$,$m+1≠0$,
$\therefore m=1$,
$\therefore$当$m=1$,$n$为任意实数时,$y$是$x$的一次函数.
(2)根据正比例函数的定义,得$2-|m|=1$,$m+1≠0$,且$n+4=0$,$\therefore m=1$,$n=-4$,
$\therefore$当$m=1$,$n=-4$时,$y$是$x$的正比例函数.
$\therefore m=1$,
$\therefore$当$m=1$,$n$为任意实数时,$y$是$x$的一次函数.
(2)根据正比例函数的定义,得$2-|m|=1$,$m+1≠0$,且$n+4=0$,$\therefore m=1$,$n=-4$,
$\therefore$当$m=1$,$n=-4$时,$y$是$x$的正比例函数.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确一次函数和正比例函数的定义，再根据定义列对应条件求解：
1. 求解一次函数的参数：一次函数的形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k、b$为常数），需要满足x的次数为1，且一次项系数不为0，常数项无特殊限制，据此列关于$m、n$的条件即可求解；
2. 求解正比例函数的参数：正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的所有条件外，还要求常数项为0，在一次函数的条件基础上新增限制即可求出对应参数。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义，需同时满足：
① x的次数为1，即$2-|m|=1$，解得$|m|=1$，即$m=\pm1$；
② 一次项系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
结合两个条件可得$m=1$，常数项$n+4$无限制，即n为任意实数。
∴当$m=1$，n为任意实数时，$y$是$x$的一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义，需在一次函数的条件基础上，额外满足常数项为0，即：
除$2-|m|=1$、$m+1≠0$外，还需$n+4=0$。
由前两个条件得$m=1$，由$n+4=0$得$n=-4$。
∴当$m=1$，$n=-4$时，$y$是$x$的正比例函数。
【答案】
(1) $m=1$，$n$为任意实数；
(2) $m=1$，$n=-4$。
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题核心是准确区分一次函数和正比例函数的成立条件，尤其注意不要遗漏一次项系数不为0的限制，熟练掌握相关概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先明确一次函数和正比例函数的定义，再根据定义列对应条件求解：
1. 求解一次函数的参数：一次函数的形式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k、b$为常数），需要满足x的次数为1，且一次项系数不为0，常数项无特殊限制，据此列关于$m、n$的条件即可求解；
2. 求解正比例函数的参数：正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数的所有条件外，还要求常数项为0，在一次函数的条件基础上新增限制即可求出对应参数。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义，需同时满足：
① x的次数为1，即$2-|m|=1$，解得$|m|=1$，即$m=\pm1$；
② 一次项系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
结合两个条件可得$m=1$，常数项$n+4$无限制，即n为任意实数。
∴当$m=1$，n为任意实数时，$y$是$x$的一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义，需在一次函数的条件基础上，额外满足常数项为0，即：
除$2-|m|=1$、$m+1≠0$外，还需$n+4=0$。
由前两个条件得$m=1$，由$n+4=0$得$n=-4$。
∴当$m=1$，$n=-4$时，$y$是$x$的正比例函数。
【答案】
(1) $m=1$，$n$为任意实数；
(2) $m=1$，$n=-4$。
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题核心是准确区分一次函数和正比例函数的成立条件，尤其注意不要遗漏一次项系数不为0的限制，熟练掌握相关概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径.某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型.已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米.
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度$y$(米)与注水时间$x$(时)之间的函数表达式；
(2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多少小时可供发电4.2万千瓦时？
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度$y$(米)与注水时间$x$(时)之间的函数表达式；
(2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多少小时可供发电4.2万千瓦时？
答案
13.解:(1)蓄水池的水位高度$y$(米)与注水时间$x$(时)之间的函数表达式为$y=6x+5$.
(2)根据题意,得$0.4(6x+5)×0.3=4.2$,
解得$x=5$.
答:注水5小时可供发电4.2万千瓦时.
(2)根据题意,得$0.4(6x+5)×0.3=4.2$,
解得$x=5$.
答:注水5小时可供发电4.2万千瓦时.
解析
【分析】
(1) 求解水位高度与注水时间的函数表达式时，先明确水位高度的组成：一部分是注水前的初始水位5米，另一部分是注水x小时上升的高度，已知每小时水位上升6米，x小时上升高度为6x米，将两部分相加即可得到y与x的函数关系。
(2) 计算注水时长时，先理清发电量的计算逻辑：总发电量=蓄水池蓄水量×每立方米发电量，而圆柱形蓄水池的蓄水量=底面积×水位高度，水位高度可通过第一问的函数表达式用x表示，据此列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 已知注水前水位高度为5米，注水后每小时水位上升6米，注水x小时后水位上升的高度为6x米，因此总水位高度为初始高度加上升高度，即$y=6x+5$（$x≥0$）。
(2) 设注水x小时可供发电4.2万千瓦时：
首先计算x小时后的蓄水量：圆柱形蓄水量=底面积×水位高度，即蓄水量为$0.4×(6x+5)$万立方米；
再根据总发电量的等量关系列方程：总发电量=蓄水量×每立方米发电量，可得：
$0.4(6x+5)×0.3=4.2$
解方程：
先化简左边系数：$0.4×0.3=0.12$，方程变为$0.12(6x+5)=4.2$；
两边同时除以0.12得：$6x+5=35$；
移项计算得：$6x=30$，解得$x=5$。
【答案】
(1) $y=6x+5$；
(2) 注水5小时可供发电4.2万千瓦时。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次方程的应用；柱体体积计算
【点评】
本题结合绿色能源转型的现实背景考查数学知识的应用，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，将实际问题转化为数学表达式求解，引导学生体会数学在生产生活中的实用价值。
【难度系数】
0.85
(1) 求解水位高度与注水时间的函数表达式时，先明确水位高度的组成：一部分是注水前的初始水位5米，另一部分是注水x小时上升的高度，已知每小时水位上升6米，x小时上升高度为6x米，将两部分相加即可得到y与x的函数关系。
(2) 计算注水时长时，先理清发电量的计算逻辑：总发电量=蓄水池蓄水量×每立方米发电量，而圆柱形蓄水池的蓄水量=底面积×水位高度，水位高度可通过第一问的函数表达式用x表示，据此列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 已知注水前水位高度为5米，注水后每小时水位上升6米，注水x小时后水位上升的高度为6x米，因此总水位高度为初始高度加上升高度，即$y=6x+5$（$x≥0$）。
(2) 设注水x小时可供发电4.2万千瓦时：
首先计算x小时后的蓄水量：圆柱形蓄水量=底面积×水位高度，即蓄水量为$0.4×(6x+5)$万立方米；
再根据总发电量的等量关系列方程：总发电量=蓄水量×每立方米发电量，可得：
$0.4(6x+5)×0.3=4.2$
解方程：
先化简左边系数：$0.4×0.3=0.12$，方程变为$0.12(6x+5)=4.2$；
两边同时除以0.12得：$6x+5=35$；
移项计算得：$6x=30$，解得$x=5$。
【答案】
(1) $y=6x+5$；
(2) 注水5小时可供发电4.2万千瓦时。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次方程的应用；柱体体积计算
【点评】
本题结合绿色能源转型的现实背景考查数学知识的应用，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，将实际问题转化为数学表达式求解，引导学生体会数学在生产生活中的实用价值。
【难度系数】
0.85
14.小青同学受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球，量筒中水面升高
(2)直接写出放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与放入小球的个数x之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)，并求出当$x=6$时y的值；
(3)量筒中至少放入几个小球时有水溢出？
(1)放入一个小球，量筒中水面升高
2
cm；(2)直接写出放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与放入小球的个数x之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)，并求出当$x=6$时y的值；
(3)量筒中至少放入几个小球时有水溢出？
答案
14.(1)2
(2)解:由题意,得$y=30+2x$,
当$x=6$时,$y=30+2×6=42$,
即放入小球后量筒中水面的高度$y$(cm)与放入小球的个数$x$之间的函数表达式是$y=30+2x$,当$x=6$时,$y$的值是42.
(3)解:由题意,得$30+2x＞49$,解得$x＞9.5$.
答:量筒中至少放入10个小球时有水溢出.
(2)解:由题意,得$y=30+2x$,
当$x=6$时,$y=30+2×6=42$,
即放入小球后量筒中水面的高度$y$(cm)与放入小球的个数$x$之间的函数表达式是$y=30+2x$,当$x=6$时,$y$的值是42.
(3)解:由题意,得$30+2x＞49$,解得$x＞9.5$.
答:量筒中至少放入10个小球时有水溢出.
解析
【分析】
解决本题可逐步推导：
(1) 对比无球和放3个球的水面高度：无球时水面高30cm，放3个球后水面高36cm，3个球共让水面升高6cm，因小球体积相同，每个球升高的高度一致，用总升高高度除以球数即可得单个球使水面升高的高度。
(2) 水面总高度=原有水面高度+放入x个球升高的总高度，每放1个球升高2cm，x个球升高2x cm，据此写出y与x的函数表达式，再将x=6代入即可求对应y值。
(3) 水溢出的条件是水面高度超过量筒总高49cm，据此列不等式求解，注意小球个数为正整数，需取大于解集的最小正整数。
【解析】
(1) 放入3个小球时水面升高高度：$36-30=6(\mathrm{cm})$，则放入1个小球水面升高：$6÷3=2(\mathrm{cm})$。
(2) 由题意得，放入x个小球后水面高度为原有高度加x个球升高的高度，因此函数表达式为：$y=30+2x$。
当$x=6$时，代入表达式得：$y=30+2×6=42$。
(3) 当水面高度大于量筒总高度49cm时有水溢出，列不等式：
$30+2x＞49$
移项得：$2x＞19$
解得：$x＞9.5$
因x为正整数，故x的最小取值为10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) 函数表达式为$\boldsymbol{y=30+2x}$，当$x=6$时，$y$的值为$\boldsymbol{42}$
(3) 量筒中至少放入$\boldsymbol{10}$个小球时有水溢出
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、函数求值
【点评】
本题结合经典故事创设情景，考查学生从图中提取信息、建立数学模型解决实际问题的能力，解题核心是找准水面升高高度与小球个数的对应关系，注重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
解决本题可逐步推导：
(1) 对比无球和放3个球的水面高度：无球时水面高30cm，放3个球后水面高36cm，3个球共让水面升高6cm，因小球体积相同，每个球升高的高度一致，用总升高高度除以球数即可得单个球使水面升高的高度。
(2) 水面总高度=原有水面高度+放入x个球升高的总高度，每放1个球升高2cm，x个球升高2x cm，据此写出y与x的函数表达式，再将x=6代入即可求对应y值。
(3) 水溢出的条件是水面高度超过量筒总高49cm，据此列不等式求解，注意小球个数为正整数，需取大于解集的最小正整数。
【解析】
(1) 放入3个小球时水面升高高度：$36-30=6(\mathrm{cm})$，则放入1个小球水面升高：$6÷3=2(\mathrm{cm})$。
(2) 由题意得，放入x个小球后水面高度为原有高度加x个球升高的高度，因此函数表达式为：$y=30+2x$。
当$x=6$时，代入表达式得：$y=30+2×6=42$。
(3) 当水面高度大于量筒总高度49cm时有水溢出，列不等式：
$30+2x＞49$
移项得：$2x＞19$
解得：$x＞9.5$
因x为正整数，故x的最小取值为10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) 函数表达式为$\boldsymbol{y=30+2x}$，当$x=6$时，$y$的值为$\boldsymbol{42}$
(3) 量筒中至少放入$\boldsymbol{10}$个小球时有水溢出
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、函数求值
【点评】
本题结合经典故事创设情景，考查学生从图中提取信息、建立数学模型解决实际问题的能力，解题核心是找准水面升高高度与小球个数的对应关系，注重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
