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1.(2025 · 如皋期末)一次函数$y=-x+3$的图象不经过 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一次函数图象不经过的象限，需结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质求解：首先明确$k$的正负决定直线的倾斜方向，$b$的正负决定直线与y轴的交点位置，再结合两个参数的符号即可判断出图象经过的所有象限，进而得出答案。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）：
1. 先确定参数值：在函数$y=-x+3$中，$k=-1$，$b=3$；
2. 分析$k$的影响：$\because k=-1＜0$，$\therefore$函数图象从左到右呈下降趋势，必然经过第二、四象限；
3. 分析$b$的影响：$\because b=3＞0$，$\therefore$函数图象与y轴交于正半轴，因此图象还会经过第一象限；
综上，该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数图象特征与系数$k$、$b$的对应关系，牢记相关性质即可快速判断出函数图象经过的象限。
【难度系数】
0.9
要判断一次函数图象不经过的象限，需结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质求解：首先明确$k$的正负决定直线的倾斜方向，$b$的正负决定直线与y轴的交点位置，再结合两个参数的符号即可判断出图象经过的所有象限，进而得出答案。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）：
1. 先确定参数值：在函数$y=-x+3$中，$k=-1$，$b=3$；
2. 分析$k$的影响：$\because k=-1＜0$，$\therefore$函数图象从左到右呈下降趋势，必然经过第二、四象限；
3. 分析$b$的影响：$\because b=3＞0$，$\therefore$函数图象与y轴交于正半轴，因此图象还会经过第一象限；
综上，该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数图象特征与系数$k$、$b$的对应关系，牢记相关性质即可快速判断出函数图象经过的象限。
【难度系数】
0.9
2.(2025 · 南通期末)已知点$(1,y_{1}),(2,y_{2}),(-1,y_{3})$都在直线$y=2x+b$上，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是（
A.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
B.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C
）A.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
B.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
要比较三个点的纵坐标大小，首先回忆一次函数的性质：一次函数y=kx+b（k≠0）中，k的正负决定函数的增减性。本题中直线解析式为y=2x+b，先判断k的符号，再比较三个点横坐标的大小，结合增减性即可直接推出y值的大小关系，无需计算b的具体值。
【解析】
对于一次函数y=2x+b，其中k=2＞0，因此y随x的增大而增大。
已知三个点的横坐标分别为-1、1、2，比较横坐标大小可得：-1 ＜ 1 ＜ 2，
根据函数的增减性，横坐标越小，对应的函数值越小，因此y₃ ＜ y₁ ＜ y₂。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握k值与一次函数增减性的对应关系，利用该性质可快速比较同一直线上点的纵坐标大小，也可通过代入解析式计算各y值后比较，两种方法均适用。
【难度系数】
0.9
要比较三个点的纵坐标大小，首先回忆一次函数的性质：一次函数y=kx+b（k≠0）中，k的正负决定函数的增减性。本题中直线解析式为y=2x+b，先判断k的符号，再比较三个点横坐标的大小，结合增减性即可直接推出y值的大小关系，无需计算b的具体值。
【解析】
对于一次函数y=2x+b，其中k=2＞0，因此y随x的增大而增大。
已知三个点的横坐标分别为-1、1、2，比较横坐标大小可得：-1 ＜ 1 ＜ 2，
根据函数的增减性，横坐标越小，对应的函数值越小，因此y₃ ＜ y₁ ＜ y₂。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；函数值大小比较
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，核心是掌握k值与一次函数增减性的对应关系，利用该性质可快速比较同一直线上点的纵坐标大小，也可通过代入解析式计算各y值后比较，两种方法均适用。
【难度系数】
0.9
3. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$相交于点$P$,根据图象可知,关于$x$的方程$x+5=ax+b$的解是 （
A.$x=20$
B.$x=5$
C.$x=25$
D.$x=15$
A
）A.$x=20$
B.$x=5$
C.$x=25$
D.$x=15$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一次函数与一元一次方程的对应关系：求两个一次函数表达式相等组成的方程的解，对应的几何意义就是找这两个一次函数图象交点的横坐标，交点处两个函数的y值相等，此时对应的x值就是方程的解。接下来观察图象找到两条直线交点的横坐标，就能直接得到方程的解。
【解析】
解：关于x的方程$x+5=ax+b$的解，就是直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$交点的横坐标。
由图象可知，两条直线的交点为$P(20,25)$，横坐标为20，因此方程$x+5=ax+b$的解是$x=20$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次方程；一次函数的图象
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题的核心是理解两个一次函数交点的横坐标即为对应一元一次方程的解，掌握该对应关系就可以快速得到答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确一次函数与一元一次方程的对应关系：求两个一次函数表达式相等组成的方程的解，对应的几何意义就是找这两个一次函数图象交点的横坐标，交点处两个函数的y值相等，此时对应的x值就是方程的解。接下来观察图象找到两条直线交点的横坐标，就能直接得到方程的解。
【解析】
解：关于x的方程$x+5=ax+b$的解，就是直线$y=x+5$和直线$y=ax+b$交点的横坐标。
由图象可知，两条直线的交点为$P(20,25)$，横坐标为20，因此方程$x+5=ax+b$的解是$x=20$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与一元一次方程；一次函数的图象
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题的核心是理解两个一次函数交点的横坐标即为对应一元一次方程的解，掌握该对应关系就可以快速得到答案。
【难度系数】
0.9
4.若点$A(m,n)$在一次函数$y=3x+b$的图象上，且$3m-n＞2$，则$b$的取值范围为 （
A.$b＜-2$
B.$b＞-2$
C.$b＜2$
D.$b＞2$
A
）A.$b＜-2$
B.$b＞-2$
C.$b＜2$
D.$b＞2$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数图象上点的坐标的性质：若点在一次函数图象上，则点的横纵坐标满足函数的解析式。第一步先将点A的坐标代入一次函数解析式，得到n与m、b的关系式，再对关系式变形得到3m-n的表达式，将其代入已知的不等式3m-n＞2，最后根据不等式的性质求解b的取值范围即可。
【解析】
∵点A(m,n)在一次函数y=3x+b的图象上
∴将x=m，y=n代入函数解析式得：$n=3m + b$
移项可得：$3m - n = -b$
又
∵已知$3m - n＞2$
∴将$3m-n=-b$代入不等式得：$-b＞2$
不等式两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得：$b＜-2$
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用一次函数图象上点的坐标特征建立关于m、n、b的等式，再结合已知不等式转化为关于b的不等式求解，计算时注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一次函数图象上点的坐标的性质：若点在一次函数图象上，则点的横纵坐标满足函数的解析式。第一步先将点A的坐标代入一次函数解析式，得到n与m、b的关系式，再对关系式变形得到3m-n的表达式，将其代入已知的不等式3m-n＞2，最后根据不等式的性质求解b的取值范围即可。
【解析】
∵点A(m,n)在一次函数y=3x+b的图象上
∴将x=m，y=n代入函数解析式得：$n=3m + b$
移项可得：$3m - n = -b$
又
∵已知$3m - n＞2$
∴将$3m-n=-b$代入不等式得：$-b＞2$
不等式两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得：$b＜-2$
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用一次函数图象上点的坐标特征建立关于m、n、b的等式，再结合已知不等式转化为关于b的不等式求解，计算时注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.8
5.已知关于$x$的一次函数$y=kx+3k+1$,不论$k$为何值,该函数的图象都经过点$P$,则点$P$的坐标为 （
A.$(-3,1)$
B.$(1,-3)$
C.$(3,1)$
D.$(1,3)$
A
）A.$(-3,1)$
B.$(1,-3)$
C.$(3,1)$
D.$(1,3)$
答案
5.A
解析
【分析】
本题要求一次函数恒过的定点坐标，核心思路是：函数图象过点意味着点坐标满足函数解析式，而“不论k为何值都经过点P”说明代入点坐标后的等式和k的取值无关。我们可以通过两种思路求解：思路一，将解析式中含k的项合并，让k的系数为0，即可消去k的影响，求出x、y的值；思路二，取两个不同的k值得到两个具体的一次函数，它们的交点就是恒过的定点。
【解析】
解法1：整理一次函数解析式：
$y = kx + 3k + 1 = k(x + 3) + 1$
因为不论k取何值，函数都过点P，即式子的值与k无关，因此k的系数必须为0：
令$x + 3 = 0$，解得$x = -3$
将$x = -3$代入解析式，得$y = 0 + 1 = 1$
所以点P的坐标为$(-3,1)$。
解法2（特殊值法）：
取k=0，得函数解析式$y = 1$
取k=1，得函数解析式$y = x + 4$
两个函数图象的交点就是定点P，联立：
$\begin{cases}y = 1 \\ y = x + 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -3 \\ y = 1 \end{cases}$
所以点P的坐标为$(-3,1)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；函数图象上点的坐标特征；含参函数过定点
【点评】
本题是一次函数过定点的常考基础题型，解题关键是抓住“参数任意取值时等式恒成立”的特点，两种解题方法都属于该类题型的常规解法，容易掌握。
【难度系数】
0.8
本题要求一次函数恒过的定点坐标，核心思路是：函数图象过点意味着点坐标满足函数解析式，而“不论k为何值都经过点P”说明代入点坐标后的等式和k的取值无关。我们可以通过两种思路求解：思路一，将解析式中含k的项合并，让k的系数为0，即可消去k的影响，求出x、y的值；思路二，取两个不同的k值得到两个具体的一次函数，它们的交点就是恒过的定点。
【解析】
解法1：整理一次函数解析式：
$y = kx + 3k + 1 = k(x + 3) + 1$
因为不论k取何值，函数都过点P，即式子的值与k无关，因此k的系数必须为0：
令$x + 3 = 0$，解得$x = -3$
将$x = -3$代入解析式，得$y = 0 + 1 = 1$
所以点P的坐标为$(-3,1)$。
解法2（特殊值法）：
取k=0，得函数解析式$y = 1$
取k=1，得函数解析式$y = x + 4$
两个函数图象的交点就是定点P，联立：
$\begin{cases}y = 1 \\ y = x + 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -3 \\ y = 1 \end{cases}$
所以点P的坐标为$(-3,1)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；函数图象上点的坐标特征；含参函数过定点
【点评】
本题是一次函数过定点的常考基础题型，解题关键是抓住“参数任意取值时等式恒成立”的特点，两种解题方法都属于该类题型的常规解法，容易掌握。
【难度系数】
0.8
6.(2025·滨湖区一模)已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$(0,5)$，且$y$随$x$的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数表达式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
6.$y=-x+5$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先利用函数过点$(0,5)$的条件，代入解析式求出常数$b$的值；再结合“$y$随$x$的增大而减小”的性质，明确一次项系数$k$的取值范围为负数；最后任意选取一个负的$k$值，即可写出符合要求的函数表达式，答案不唯一。
【解析】
1. 求$b$的值：
将点$(0,5)$代入一次函数解析式$y=kx+b$中，可得：
$5=k×0 + b$，解得$b=5$。
2. 确定$k$的取值：
根据一次函数的性质，当$y$随$x$的增大而减小时，一次项系数$k＜0$，只需取任意小于0的数值作为$k$即可。
3. 写出解析式示例：
若取$k=-1$，则符合条件的函数表达式为$y=-x+5$（取$k=-2$、$k=-0.5$等负数值均可）。
【答案】
$y=-x+5$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查一次函数中$k$、$b$的取值对函数性质的影响，熟练掌握一次函数增减性与$k$的符号的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
首先利用函数过点$(0,5)$的条件，代入解析式求出常数$b$的值；再结合“$y$随$x$的增大而减小”的性质，明确一次项系数$k$的取值范围为负数；最后任意选取一个负的$k$值，即可写出符合要求的函数表达式，答案不唯一。
【解析】
1. 求$b$的值：
将点$(0,5)$代入一次函数解析式$y=kx+b$中，可得：
$5=k×0 + b$，解得$b=5$。
2. 确定$k$的取值：
根据一次函数的性质，当$y$随$x$的增大而减小时，一次项系数$k＜0$，只需取任意小于0的数值作为$k$即可。
3. 写出解析式示例：
若取$k=-1$，则符合条件的函数表达式为$y=-x+5$（取$k=-2$、$k=-0.5$等负数值均可）。
【答案】
$y=-x+5$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查一次函数中$k$、$b$的取值对函数性质的影响，熟练掌握一次函数增减性与$k$的符号的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7.把直线$y=2x-1$向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的函数表达式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
7.$y=2x+3$
解析
【分析】
本题考查一次函数的图像平移，解题时需牢记一次函数平移的核心规律：“左加右减，上加下减”。其中“左加右减”是针对自变量x的操作，即向左平移m个单位，将原式中的x替换为(x+m)，向右平移则替换为(x-m)；“上加下减”是针对整个函数值的操作，即向上平移n个单位，整体表达式加n，向下平移则整体减n。解题时先处理向左平移的操作，再处理向上平移的操作，最后化简即可得到结果。
【解析】
已知原直线的函数表达式为$y=2x-1$：
1. 向左平移1个单位长度，根据“左加右减”规则，将表达式中的$x$替换为$x+1$，可得：
$y=2(x+1)-1$
2. 再向上平移2个单位长度，根据“上加下减”规则，在上述表达式基础上整体加2，可得：
$y=2(x+1)-1+2$
3. 化简表达式：
展开括号得$y=2x+2-1+2$，合并同类项后得$y=2x+3$。
【答案】
$y=2x+3$
【知识点】
一次函数图像平移；函数平移规律
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，解题关键是准确区分平移规则的适用对象：“左加右减”仅针对自变量x操作，对x加减时要注意添加括号，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的图像平移，解题时需牢记一次函数平移的核心规律：“左加右减，上加下减”。其中“左加右减”是针对自变量x的操作，即向左平移m个单位，将原式中的x替换为(x+m)，向右平移则替换为(x-m)；“上加下减”是针对整个函数值的操作，即向上平移n个单位，整体表达式加n，向下平移则整体减n。解题时先处理向左平移的操作，再处理向上平移的操作，最后化简即可得到结果。
【解析】
已知原直线的函数表达式为$y=2x-1$：
1. 向左平移1个单位长度，根据“左加右减”规则，将表达式中的$x$替换为$x+1$，可得：
$y=2(x+1)-1$
2. 再向上平移2个单位长度，根据“上加下减”规则，在上述表达式基础上整体加2，可得：
$y=2(x+1)-1+2$
3. 化简表达式：
展开括号得$y=2x+2-1+2$，合并同类项后得$y=2x+3$。
【答案】
$y=2x+3$
【知识点】
一次函数图像平移；函数平移规律
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，解题关键是准确区分平移规则的适用对象：“左加右减”仅针对自变量x操作，对x加减时要注意添加括号，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
8.(2025·扬州一模)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=2x+a$与直线$y=-3x+b$相交于点A,则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} y=2x+a, \\ y=-3x+b \end{cases}$的解是________.
答案
8.$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$
解析
【分析】
二元一次方程组的解是同时满足两个方程的x、y的值，而每个二元一次方程都对应一个一次函数、对应平面直角坐标系中的一条直线，因此同时满足两个方程的(x,y)，就是同时在两条直线上的点，也就是两条直线的交点，所以我们只需要从图中读出两条直线交点A的坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解。
由题图可知，直线$y=2x+a$与直线$y=-3x+b$的交点A的坐标为$(1,3)$，
因此关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} y=2x+a \\ y=-3x+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，坐标与图形性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，只要掌握“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”这一规律，结合图象读取交点坐标即可快速解题。
【难度系数】
0.9
二元一次方程组的解是同时满足两个方程的x、y的值，而每个二元一次方程都对应一个一次函数、对应平面直角坐标系中的一条直线，因此同时满足两个方程的(x,y)，就是同时在两条直线上的点，也就是两条直线的交点，所以我们只需要从图中读出两条直线交点A的坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解。
由题图可知，直线$y=2x+a$与直线$y=-3x+b$的交点A的坐标为$(1,3)$，
因此关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} y=2x+a \\ y=-3x+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，坐标与图形性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，只要掌握“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”这一规律，结合图象读取交点坐标即可快速解题。
【难度系数】
0.9
9.(2025·泰州月考)如图,直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$与坐标轴分别交于$A,B$两点,$P$是$AB$的中点,则$OP$的长为________.
答案
9.5
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先求直线与坐标轴的交点A、B的坐标：一次函数与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，代入函数解析式即可求出A、B坐标；第二步判断△AOB是直角三角形，∠AOB为直角，P是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，OP的长度等于AB长度的一半，因此只需先利用勾股定理求出AB的长度，即可算出OP的长。也可以先利用中点坐标公式求出P点坐标，再用勾股定理计算OP的长度。
【解析】
1. 求A、B两点的坐标：
当直线与x轴交于A点时，y=0，代入解析式$y=-\dfrac{4}{3}x+8$得：
$0=-\dfrac{4}{3}x+8$，解得$x=6$，即$A(6,0)$，$OA=6$；
当直线与y轴交于B点时，x=0，代入解析式得$y=8$，即$B(0,8)$，$OB=8$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
3. 计算OP的长度：
∵P是AB的中点，△AOB是直角三角形，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OP=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×10=5$。
（可选解法：由中点坐标公式得P点坐标为$(\dfrac{6+0}{2},\dfrac{0+8}{2})=(3,4)$，再由勾股定理得$OP=\sqrt{3^2+4^2}=5$）
【答案】
5
【知识点】
一次函数的图象与性质；勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，解题的关键是先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再结合直角三角形的相关性质求解，计算量小，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步先求直线与坐标轴的交点A、B的坐标：一次函数与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，代入函数解析式即可求出A、B坐标；第二步判断△AOB是直角三角形，∠AOB为直角，P是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，OP的长度等于AB长度的一半，因此只需先利用勾股定理求出AB的长度，即可算出OP的长。也可以先利用中点坐标公式求出P点坐标，再用勾股定理计算OP的长度。
【解析】
1. 求A、B两点的坐标：
当直线与x轴交于A点时，y=0，代入解析式$y=-\dfrac{4}{3}x+8$得：
$0=-\dfrac{4}{3}x+8$，解得$x=6$，即$A(6,0)$，$OA=6$；
当直线与y轴交于B点时，x=0，代入解析式得$y=8$，即$B(0,8)$，$OB=8$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。
3. 计算OP的长度：
∵P是AB的中点，△AOB是直角三角形，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OP=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×10=5$。
（可选解法：由中点坐标公式得P点坐标为$(\dfrac{6+0}{2},\dfrac{0+8}{2})=(3,4)$，再由勾股定理得$OP=\sqrt{3^2+4^2}=5$）
【答案】
5
【知识点】
一次函数的图象与性质；勾股定理；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，解题的关键是先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再结合直角三角形的相关性质求解，计算量小，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.8
10.(2025·海门区月考)一次函数$y=kx+b$,当$1≤ x≤ 4$时,$3≤ y≤ 6$,则$\dfrac{b}{k}$的值是
2或-7
.答案
10.2或-7
解析
【分析】
本题需要结合一次函数的增减性分类讨论求解：首先一次函数的单调性由k的符号决定，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，题中未给出k的正负，因此需分两种情况，分别将x、y的对应边界值代入解析式，求出k和b后即可计算$\dfrac{b}{k}$的值。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵当$1≤x≤4$时，$3≤y≤6$，
∴当$x=1$时，$y=3$；当$x=4$时，$y=6$，
代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=3\\4k+b=6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=3$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k+b=3$得：$b=2$，
此时$\dfrac{b}{k}=\dfrac{2}{1}=2$；
② 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵当$1≤x≤4$时，$3≤y≤6$，
∴当$x=1$时，$y=6$；当$x=4$时，$y=3$，
代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=6\\4k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=6$得：$b=7$，
此时$\dfrac{b}{k}=\dfrac{7}{-1}=-7$。
综上，$\dfrac{b}{k}$的值为2或-7。
【答案】
2或-7
【知识点】
一次函数的增减性；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略k的符号不明确，漏去k＜0的情况，解题时需先根据一次函数的单调性分类，再代入对应边界值列方程组求解即可。
【难度系数】
0.6
本题需要结合一次函数的增减性分类讨论求解：首先一次函数的单调性由k的符号决定，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小，题中未给出k的正负，因此需分两种情况，分别将x、y的对应边界值代入解析式，求出k和b后即可计算$\dfrac{b}{k}$的值。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵当$1≤x≤4$时，$3≤y≤6$，
∴当$x=1$时，$y=3$；当$x=4$时，$y=6$，
代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=3\\4k+b=6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=3$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k+b=3$得：$b=2$，
此时$\dfrac{b}{k}=\dfrac{2}{1}=2$；
② 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵当$1≤x≤4$时，$3≤y≤6$，
∴当$x=1$时，$y=6$；当$x=4$时，$y=3$，
代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=6\\4k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=6$得：$b=7$，
此时$\dfrac{b}{k}=\dfrac{7}{-1}=-7$。
综上，$\dfrac{b}{k}$的值为2或-7。
【答案】
2或-7
【知识点】
一次函数的增减性；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略k的符号不明确，漏去k＜0的情况，解题时需先根据一次函数的单调性分类，再代入对应边界值列方程组求解即可。
【难度系数】
0.6
11.(2025·玄武区开学)将一次函数$y=-2x+4$的图象绕原点$O$逆时针旋转$90°$,所得到的图象对应的函数表达式是________.
答案
11.$y=\frac{1}{2}x+2$
解析
【分析】
一次函数的图象是直线，绕原点逆时针旋转90°后仍是直线，因此我们可以先找到原直线上两个易求的特殊点（通常取与x轴、y轴的交点），求出这两个点旋转后的对应点坐标，再利用待定系数法求出旋转后直线对应的函数表达式即可。首先回忆点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律：点$(a,b)$绕原点逆时针旋转90°后对应点的坐标为$(-b,a)$。
【解析】
步骤1：求原一次函数图象与坐标轴的交点
对于$y=-2x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，即原直线与y轴交点为$A(0,4)$；
令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即原直线与x轴交点为$B(2,0)$。
步骤2：求两个交点旋转90°后的对应点坐标
根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：$(a,b)\xrightarrow{\mathrm{逆时针旋转}90°}(-b,a)$
则点$A(0,4)$旋转后对应点$A'$的坐标为$(-4,0)$；
点$B(2,0)$旋转后对应点$B'$的坐标为$(0,2)$。
步骤3：用待定系数法求旋转后函数的表达式
设旋转后图象对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A'(-4,0)$、$B'(0,2)$代入表达式：
把$B'(0,2)$代入得：$b=2$；
把$A'(-4,0)$、$b=2$代入得：$0=-4k+2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此旋转后对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x+2$
【知识点】
一次函数的图象与性质；坐标的旋转变换；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数图象变换的常规题型，解题核心是将直线的旋转变换转化为直线上特殊点的旋转变换，结合坐标旋转规律和待定系数法即可求解，解题时要注意旋转方向对应的坐标变化规律不要混淆。
【难度系数】
0.7
一次函数的图象是直线，绕原点逆时针旋转90°后仍是直线，因此我们可以先找到原直线上两个易求的特殊点（通常取与x轴、y轴的交点），求出这两个点旋转后的对应点坐标，再利用待定系数法求出旋转后直线对应的函数表达式即可。首先回忆点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律：点$(a,b)$绕原点逆时针旋转90°后对应点的坐标为$(-b,a)$。
【解析】
步骤1：求原一次函数图象与坐标轴的交点
对于$y=-2x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，即原直线与y轴交点为$A(0,4)$；
令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即原直线与x轴交点为$B(2,0)$。
步骤2：求两个交点旋转90°后的对应点坐标
根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：$(a,b)\xrightarrow{\mathrm{逆时针旋转}90°}(-b,a)$
则点$A(0,4)$旋转后对应点$A'$的坐标为$(-4,0)$；
点$B(2,0)$旋转后对应点$B'$的坐标为$(0,2)$。
步骤3：用待定系数法求旋转后函数的表达式
设旋转后图象对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A'(-4,0)$、$B'(0,2)$代入表达式：
把$B'(0,2)$代入得：$b=2$；
把$A'(-4,0)$、$b=2$代入得：$0=-4k+2$，解得$k=\frac{1}{2}$。
因此旋转后对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x+2$
【知识点】
一次函数的图象与性质；坐标的旋转变换；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数图象变换的常规题型，解题核心是将直线的旋转变换转化为直线上特殊点的旋转变换，结合坐标旋转规律和待定系数法即可求解，解题时要注意旋转方向对应的坐标变化规律不要混淆。
【难度系数】
0.7
