登录
1. 如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的点$A'$处.若$∠DBC=24°$,则$∠A'EB=$ （
A.$66°$
B.$60°$
C.$57°$
D.$48°$
C
）A.$66°$
B.$60°$
C.$57°$
D.$48°$
答案
1.C
解析
【分析】
遇到折叠类的角度计算问题，首先明确折叠前后对应图形全等，对应角、对应边相等。本题中我们可以先利用矩形内角为90°的性质，结合已知的∠DBC的度数，求出∠ABD的度数；再根据折叠的性质得到BE平分∠ABD，求出∠A'BE的度数；最后在Rt△A'BE中，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠A'EB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°
∵∠DBC=24°
∴∠ABD=∠ABC - ∠DBC = 90° - 24° = 66°
由折叠的性质可知，△ABE与△A'BE全等
∴∠BA'E=∠A=90°，∠ABE=∠A'BE = $\frac{1}{2}$∠ABD = $\frac{1}{2}$×66° = 33°
在Rt△A'BE中，∠BA'E=90°
∴∠A'EB = 90° - ∠A'BE = 90° - 33° = 57°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，将折叠变换和矩形性质结合考查，解题的关键是找准折叠前后相等的角，结合直角三角形的角度关系进行推导计算，掌握基础几何图形的性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类的角度计算问题，首先明确折叠前后对应图形全等，对应角、对应边相等。本题中我们可以先利用矩形内角为90°的性质，结合已知的∠DBC的度数，求出∠ABD的度数；再根据折叠的性质得到BE平分∠ABD，求出∠A'BE的度数；最后在Rt△A'BE中，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠A'EB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°
∵∠DBC=24°
∴∠ABD=∠ABC - ∠DBC = 90° - 24° = 66°
由折叠的性质可知，△ABE与△A'BE全等
∴∠BA'E=∠A=90°，∠ABE=∠A'BE = $\frac{1}{2}$∠ABD = $\frac{1}{2}$×66° = 33°
在Rt△A'BE中，∠BA'E=90°
∴∠A'EB = 90° - ∠A'BE = 90° - 33° = 57°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础的几何角度计算题，将折叠变换和矩形性质结合考查，解题的关键是找准折叠前后相等的角，结合直角三角形的角度关系进行推导计算，掌握基础几何图形的性质是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6,E,F分别为AD,DC上的动点,∠EBF=60°.在点E从点A向点D运动的过程中,AE+CF的长度 （
A.恒等于6
B.恒等于9
C.逐渐增大
D.先增大再减小
A
）A.恒等于6
B.恒等于9
C.逐渐增大
D.先增大再减小
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先结合菱形性质和已知角的度数推导等边三角形，再通过角的等量代换找到全等三角形，将线段转化后求解。步骤如下：1、根据菱形四边相等、∠A=60°，可判定△ABD和△BCD都是等边三角形，得到边、角的相等关系；2、结合∠EBF=60°，推导得出相等的角，证明三角形全等，将AE转化为和CF共线的DF，即可求出AE+CF的和为定值。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴AB=AD=CD=BC=6，∠A=∠C=60°，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=∠BDF=60°，
∵∠EBF=60°，即∠EBD + ∠DBF = 60°，
又
∵∠ABE + ∠EBD = ∠ABD=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BDF=60° \\AB=BD \\∠ABE=∠DBF\end{array} $
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF，
∴AE+CF=DF+CF=CD=6，
即AE+CF的长度恒等于6。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过构造辅助线证明全等三角形，实现线段的转化，从而求出两条线段和的定值，对几何推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形性质和已知角的度数推导等边三角形，再通过角的等量代换找到全等三角形，将线段转化后求解。步骤如下：1、根据菱形四边相等、∠A=60°，可判定△ABD和△BCD都是等边三角形，得到边、角的相等关系；2、结合∠EBF=60°，推导得出相等的角，证明三角形全等，将AE转化为和CF共线的DF，即可求出AE+CF的和为定值。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴AB=AD=CD=BC=6，∠A=∠C=60°，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=∠BDF=60°，
∵∠EBF=60°，即∠EBD + ∠DBF = 60°，
又
∵∠ABE + ∠EBD = ∠ABD=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠BDF=60° \\AB=BD \\∠ABE=∠DBF\end{array} $
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF，
∴AE+CF=DF+CF=CD=6，
即AE+CF的长度恒等于6。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过构造辅助线证明全等三角形，实现线段的转化，从而求出两条线段和的定值，对几何推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=5$,$AD=3$,动点$P$满足$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{3}S_{\mathrm{矩形}ABCD}$,则$PA+PB$的最小值为（
A.$\sqrt{29}$
B.$\sqrt{34}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$\sqrt{41}$
D
）A.$\sqrt{29}$
B.$\sqrt{34}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$\sqrt{41}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先根据面积关系确定动点P的运动轨迹：△PAB的底AB固定，面积为矩形的1/3，因此P到AB的距离为定值，可知P在平行于AB的某条定直线上；接下来求PA+PB的最小值属于“将军饮马”类最短路径问题，只需作其中一个点关于该定直线的对称点，对称点与另一个点的连线长度即为PA+PB的最小值，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
1. 先计算矩形与三角形面积，确定P点轨迹：
矩形ABCD的面积$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× AD=5×3=15$，
由题意得$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{3}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\dfrac{1}{3}×15=5$。
设点P到AB的距离为$h$，根据三角形面积公式：$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× AB× h$，
代入数值可得$\dfrac{1}{2}×5× h=5$，解得$h=2$，因此动点P在距离AB为2、且平行于AB的定直线上运动。
2. 利用对称法求最短路径：
建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，则$B(5,0)$，动点P所在直线为$y=2$。
作点A关于直线$y=2$的对称点$A'$，可得$A'(0,4)$。根据轴对称性质，$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取最小值，即线段$A'B$的长度。
3. 勾股定理计算最小值：
根据勾股定理，$A'B=\sqrt{(5-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题的核心是先通过面积关系确定动点的运动轨迹，再利用轴对称将线段和的最小值转化为两点间的距离求解，能够很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据面积关系确定动点P的运动轨迹：△PAB的底AB固定，面积为矩形的1/3，因此P到AB的距离为定值，可知P在平行于AB的某条定直线上；接下来求PA+PB的最小值属于“将军饮马”类最短路径问题，只需作其中一个点关于该定直线的对称点，对称点与另一个点的连线长度即为PA+PB的最小值，最后用勾股定理计算即可。
【解析】
1. 先计算矩形与三角形面积，确定P点轨迹：
矩形ABCD的面积$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× AD=5×3=15$，
由题意得$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{3}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\dfrac{1}{3}×15=5$。
设点P到AB的距离为$h$，根据三角形面积公式：$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× AB× h$，
代入数值可得$\dfrac{1}{2}×5× h=5$，解得$h=2$，因此动点P在距离AB为2、且平行于AB的定直线上运动。
2. 利用对称法求最短路径：
建立平面直角坐标系，设$A(0,0)$，则$B(5,0)$，动点P所在直线为$y=2$。
作点A关于直线$y=2$的对称点$A'$，可得$A'(0,4)$。根据轴对称性质，$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$取最小值，即线段$A'B$的长度。
3. 勾股定理计算最小值：
根据勾股定理，$A'B=\sqrt{(5-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是典型的几何最值问题，解题的核心是先通过面积关系确定动点的运动轨迹，再利用轴对称将线段和的最小值转化为两点间的距离求解，能够很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AC$,$BD$ 交于点 $O$,$AC=8$,$BD=6$,$P$ 为线段 $AC$ 上的一个动点(不与点 $A$,$C$ 重合),过点 $P$ 分别作 $PM ⊥ AD$ 于点 $M$,$PN ⊥ DC$ 于点 $N$,则 $PM+PN$ 的值为________.
答案
4.$\dfrac{24}{5}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长；2. 计算出菱形及△ACD的面积；3. 连接PD，将△ACD的面积拆分为△APD和△CPD的面积之和，两个小三角形的高分别是PM和PN，底均为菱形的边长，代入面积公式整理即可求出PM+PN的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=4$，$OD=\frac{1}{2}BD=3$，且AD=CD，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
菱形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$，
∴$△ ACD$的面积为菱形面积的一半，即$S_{△ ACD}=12$，
连接PD，
∵$S_{△ APD}+S_{△ CPD}=S_{△ ACD}$，
且$S_{△ APD}=\frac{1}{2}×AD×PM$，$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}×CD×PN$，AD=CD=5，
代入得：$\frac{1}{2}×5×PM+\frac{1}{2}×5×PN=12$，
整理得：$\frac{5}{2}(PM+PN)=12$，
解得：$PM+PN=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题是菱形性质的典型应用，用面积拆分法求解动点相关的线段和，避免了复杂的动点坐标计算，是解决这类垂线段和问题的常用技巧。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长；2. 计算出菱形及△ACD的面积；3. 连接PD，将△ACD的面积拆分为△APD和△CPD的面积之和，两个小三角形的高分别是PM和PN，底均为菱形的边长，代入面积公式整理即可求出PM+PN的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC=4$，$OD=\frac{1}{2}BD=3$，且AD=CD，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
菱形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×8×6=24$，
∴$△ ACD$的面积为菱形面积的一半，即$S_{△ ACD}=12$，
连接PD，
∵$S_{△ APD}+S_{△ CPD}=S_{△ ACD}$，
且$S_{△ APD}=\frac{1}{2}×AD×PM$，$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}×CD×PN$，AD=CD=5，
代入得：$\frac{1}{2}×5×PM+\frac{1}{2}×5×PN=12$，
整理得：$\frac{5}{2}(PM+PN)=12$，
解得：$PM+PN=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题是菱形性质的典型应用，用面积拆分法求解动点相关的线段和，避免了复杂的动点坐标计算，是解决这类垂线段和问题的常用技巧。
【难度系数】
0.65
5. 如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点$C'$处,点B落在点$B'$处.若$AB=9,BC=6$,则$FC'$的长为
5
.答案
5.5
解析
【分析】
解题时先结合矩形的性质得到各边长度与直角条件，再利用折叠前后对应边相等的性质转化线段长度，最后通过设未知数，在直角三角形中运用勾股定理列方程求解即可。首先由矩形性质得CD=AB=9，AD=BC=6，结合C'是AD中点可求出C'D的长度；折叠后FC'与FC长度相等，设FC'为x，即可用含x的式子表示出FD的长度，再在Rt△FC'D中用勾股定理列方程计算。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=9，AD=BC=6，∠D=90°
∵C'是AD的中点
∴$C'D=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×6=3$
由折叠的性质可得：$FC'=FC$
设$FC'=x$，则$FC=x$，$FD=CD-FC=9-x$
在$Rt△ FC'D$中，根据勾股定理得：
$FC'^2=FD^2+C'D^2$
代入得：$x^2=(9-x)^2+3^2$
展开计算：$x^2=81-18x+x^2+9$
消去$x^2$得：$18x=90$
解得：$x=5$
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于折叠类的基础综合题，主要考查几何性质与方程思想的结合应用，解题的突破口是抓住折叠前后对应边相等，构造直角三角形利用勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形的性质得到各边长度与直角条件，再利用折叠前后对应边相等的性质转化线段长度，最后通过设未知数，在直角三角形中运用勾股定理列方程求解即可。首先由矩形性质得CD=AB=9，AD=BC=6，结合C'是AD中点可求出C'D的长度；折叠后FC'与FC长度相等，设FC'为x，即可用含x的式子表示出FD的长度，再在Rt△FC'D中用勾股定理列方程计算。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=9，AD=BC=6，∠D=90°
∵C'是AD的中点
∴$C'D=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×6=3$
由折叠的性质可得：$FC'=FC$
设$FC'=x$，则$FC=x$，$FD=CD-FC=9-x$
在$Rt△ FC'D$中，根据勾股定理得：
$FC'^2=FD^2+C'D^2$
代入得：$x^2=(9-x)^2+3^2$
展开计算：$x^2=81-18x+x^2+9$
消去$x^2$得：$18x=90$
解得：$x=5$
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于折叠类的基础综合题，主要考查几何性质与方程思想的结合应用，解题的突破口是抓住折叠前后对应边相等，构造直角三角形利用勾股定理建立方程求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为________.
答案
6.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先观察到M、N分别是EF、AF的中点，可联想到三角形中位线定理，连接AE后，MN是△AEF的中位线，因此$MN=\frac{1}{2}AE$，求MN的最大值可转化为求AE的最大值。A为正方形定点，E是BC上的动点，当E运动到点C时，AE长度最大，等于正方形的对角线长度，代入计算即可得到MN的最大值。
【解析】
连接AE，
∵N是AF的中点，M是EF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$ MN=\frac{1}{2}AE $，
因此要使MN取得最大值，需AE取得最大值。
在边长为2的正方形ABCD中，点A为定点，E在边BC上运动，
当E与点C重合时，AE长度最大，此时AE为正方形的对角线，
由勾股定理得：$ AE=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2} $，
∴MN的最大值为$ \frac{1}{2} × 2\sqrt{2}=\sqrt{2} $。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，正方形的性质，动点最值
【点评】
本题通过中位线定理将未知线段的最值转化为已知动点线段的最值，解题关键是熟练掌握三角形中位线的性质，结合正方形的特征找到线段的最大值，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察到M、N分别是EF、AF的中点，可联想到三角形中位线定理，连接AE后，MN是△AEF的中位线，因此$MN=\frac{1}{2}AE$，求MN的最大值可转化为求AE的最大值。A为正方形定点，E是BC上的动点，当E运动到点C时，AE长度最大，等于正方形的对角线长度，代入计算即可得到MN的最大值。
【解析】
连接AE，
∵N是AF的中点，M是EF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$ MN=\frac{1}{2}AE $，
因此要使MN取得最大值，需AE取得最大值。
在边长为2的正方形ABCD中，点A为定点，E在边BC上运动，
当E与点C重合时，AE长度最大，此时AE为正方形的对角线，
由勾股定理得：$ AE=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2} $，
∴MN的最大值为$ \frac{1}{2} × 2\sqrt{2}=\sqrt{2} $。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，正方形的性质，动点最值
【点评】
本题通过中位线定理将未知线段的最值转化为已知动点线段的最值，解题关键是熟练掌握三角形中位线的性质，结合正方形的特征找到线段的最大值，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
