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8. 有五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8,9,12,15,17.现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（
C
）答案
8.C
解析
【分析】
本题需要判断哪个选项中的两个三角形均为直角三角形，解题核心是运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们需要先计算出所有木棒长度的平方，再逐一验证每个选项里的两个三角形是否都满足勾股定理的逆定理，只有两个三角形都符合要求的选项才是正确答案。
【解析】
先计算各木棒长度的平方：
$8^2=64$，$9^2=81$，$12^2=144$，$15^2=225$，$17^2=289$。
逐一验证选项：
选项A：第一个三角形三边为9、12、17，$9^2+12^2=81+144=225≠289=17^2$，不是直角三角形，排除A；
选项B：第一个三角形三边为9、12、17，$9^2+12^2=225≠289=17^2$，不是直角三角形，排除B；
选项C：第一个三角形三边为8、15、17，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，是直角三角形；第二个三角形三边为9、12、15，$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，也是直角三角形，符合要求；
选项D：第一个三角形三边为8、9、12，$8^2+9^2=64+81=145≠144=12^2$，不是直角三角形，排除D。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，验证时要注意对每个三角形的三边都进行计算，避免因漏看某一个三角形而出错，计算平方值时要细心，确保数值计算准确。
【难度系数】
0.7
本题需要判断哪个选项中的两个三角形均为直角三角形，解题核心是运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。我们需要先计算出所有木棒长度的平方，再逐一验证每个选项里的两个三角形是否都满足勾股定理的逆定理，只有两个三角形都符合要求的选项才是正确答案。
【解析】
先计算各木棒长度的平方：
$8^2=64$，$9^2=81$，$12^2=144$，$15^2=225$，$17^2=289$。
逐一验证选项：
选项A：第一个三角形三边为9、12、17，$9^2+12^2=81+144=225≠289=17^2$，不是直角三角形，排除A；
选项B：第一个三角形三边为9、12、17，$9^2+12^2=225≠289=17^2$，不是直角三角形，排除B；
选项C：第一个三角形三边为8、15、17，$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，是直角三角形；第二个三角形三边为9、12、15，$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，也是直角三角形，符合要求；
选项D：第一个三角形三边为8、9、12，$8^2+9^2=64+81=145≠144=12^2$，不是直角三角形，排除D。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，验证时要注意对每个三角形的三边都进行计算，避免因漏看某一个三角形而出错，计算平方值时要细心，确保数值计算准确。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在正方形网格中,A,B,C,D 四点都在格点(网格线的交点)上,则$∠ BAC+∠ DAC=$（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
9.B
解析
【分析】
要计算两个角的和，我们可以利用转化思想，通过作点B关于AC的对称点，将∠BAC转化为和它相等的∠B'AC，这样两个角的和就转化为∠B'AD的度数。接下来设小正方形边长为1，用勾股定理计算出△AB'D各边的长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可求出角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，作点B关于直线AC的对称点B'，连接AB'、B'D。
根据轴对称的性质，可得∠B'AC = ∠BAC，因此∠BAC + ∠DAC = ∠B'AC + ∠DAC = ∠B'AD。
利用勾股定理计算各边长度：
$AB' = AB = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
$B'D = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
$AD = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
验证三边平方关系：
$AB'^2 + B'D^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 10 + 10 = 20$，
$AD^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$，
因此$AB'^2 + B'D^2 = AD^2$，且$AB' = B'D$，
所以△AB'D是等腰直角三角形，$∠ B'AD = 45°$，
即$∠ BAC + ∠ DAC = 45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过构造对称点将分散的角集中到同一个三角形中，结合勾股定理及其逆定理判断三角形形状求解，有效考查了转化思想和对定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要计算两个角的和，我们可以利用转化思想，通过作点B关于AC的对称点，将∠BAC转化为和它相等的∠B'AC，这样两个角的和就转化为∠B'AD的度数。接下来设小正方形边长为1，用勾股定理计算出△AB'D各边的长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可求出角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，作点B关于直线AC的对称点B'，连接AB'、B'D。
根据轴对称的性质，可得∠B'AC = ∠BAC，因此∠BAC + ∠DAC = ∠B'AC + ∠DAC = ∠B'AD。
利用勾股定理计算各边长度：
$AB' = AB = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
$B'D = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，
$AD = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
验证三边平方关系：
$AB'^2 + B'D^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 10 + 10 = 20$，
$AD^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$，
因此$AB'^2 + B'D^2 = AD^2$，且$AB' = B'D$，
所以△AB'D是等腰直角三角形，$∠ B'AD = 45°$，
即$∠ BAC + ∠ DAC = 45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过构造对称点将分散的角集中到同一个三角形中，结合勾股定理及其逆定理判断三角形形状求解，有效考查了转化思想和对定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在$4×4$的正方形网格中,A,B为格点(网格线的交点),另取一格点C,使$△ ABC$为直角三角形,则点C的个数为________.
答案
10.6
解析
【分析】
要解决这个问题，我们按直角顶点的不同分三类讨论：①直角顶点是点A，②直角顶点是点B，③直角顶点是点C。每一类都结合勾股定理的逆定理，在4×4网格中寻找满足条件的格点C，最后把三类的个数相加就是总个数，注意不要重复也不要遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算AB的长度平方：点A到点B横向相差2格，纵向相差2格，因此$AB^2=2^2+2^2=8$。
1. 当直角顶点为A时：过A作AB的垂线，在网格中可找到1个符合条件的格点C；
2. 当直角顶点为B时：过B作AB的垂线，在网格中可找到3个符合条件的格点C；
3. 当直角顶点为C时：需满足$AC^2+BC^2=AB^2=8$，结合格点坐标特征，可找到2个符合条件的格点C。
综上，满足条件的点C总个数为$1+3+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形判定，分类讨论思想
【点评】
本题核心是分类讨论直角顶点的三种情况，结合网格特性和勾股定理逆定理找格点，容易出现遗漏某类格点的错误，解题时要逐一排查所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们按直角顶点的不同分三类讨论：①直角顶点是点A，②直角顶点是点B，③直角顶点是点C。每一类都结合勾股定理的逆定理，在4×4网格中寻找满足条件的格点C，最后把三类的个数相加就是总个数，注意不要重复也不要遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算AB的长度平方：点A到点B横向相差2格，纵向相差2格，因此$AB^2=2^2+2^2=8$。
1. 当直角顶点为A时：过A作AB的垂线，在网格中可找到1个符合条件的格点C；
2. 当直角顶点为B时：过B作AB的垂线，在网格中可找到3个符合条件的格点C；
3. 当直角顶点为C时：需满足$AC^2+BC^2=AB^2=8$，结合格点坐标特征，可找到2个符合条件的格点C。
综上，满足条件的点C总个数为$1+3+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形判定，分类讨论思想
【点评】
本题核心是分类讨论直角顶点的三种情况，结合网格特性和勾股定理逆定理找格点，容易出现遗漏某类格点的错误，解题时要逐一排查所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
11. [2024·合肥庐阳区期末]如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,$△ ABC$ 的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.请按要求解答下列各题:
(1)判断$△ ABC$ 的形状,并说明理由；
(2)求 BC 边上的高.
(1)判断$△ ABC$ 的形状,并说明理由；
(2)求 BC 边上的高.
答案
11.解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵AB=√(2²+2²)=2√2,AC=√(3²+3²)=3√2,BC=√(1²+5²)=√26,
∴AB²+AC²=26=BC²,
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.(2)过点A作AD⊥BC于点D.由(1)知∠BAC=90°,
∴S△ABC=1/2 AC·AB=1/2 BC·AD,
∴AD=(AC·AB)/BC=6√26/13,即BC边上的高为6√26/13.
∵AB=√(2²+2²)=2√2,AC=√(3²+3²)=3√2,BC=√(1²+5²)=√26,
∴AB²+AC²=26=BC²,
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.(2)过点A作AD⊥BC于点D.由(1)知∠BAC=90°,
∴S△ABC=1/2 AC·AB=1/2 BC·AD,
∴AD=(AC·AB)/BC=6√26/13,即BC边上的高为6√26/13.
解析
【分析】
(1) 要判断网格中三角形的形状，首先利用勾股定理分别计算△ABC三条边的长度，再通过勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形是否为直角三角形。
(2) 求BC边上的高可使用等积法：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用底乘对应高的一半计算，建立等式就能快速求出高，不需要额外构造辅助线计算，更为简便。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$，
∵$AB^2+AC^2=(2\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=8+18=26$，$BC^2=(\sqrt{26})^2=26$，
∴$AB^2+AC^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
(2) 过点A作$AD⊥ BC$于点D，AD即为BC边上的高。
由(1)知$∠ BAC=90°$，因此△ABC的面积有两种表达形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，
联立得$\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，即$AB· AC=BC· AD$，
代入数值：$2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=\sqrt{26}· AD$，
计算得$12=\sqrt{26}· AD$，化简得$AD=\frac{6\sqrt{26}}{13}$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形，$∠ BAC=90°$；
(2) BC边上的高为$\frac{6\sqrt{26}}{13}$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等积法求线段长
【点评】
本题是网格类几何的常考基础题型，重点考查勾股定理及其逆定理的应用，通过等积法求高可以简化计算，需要熟练掌握网格中线段长度的求解方法，灵活运用三角形面积的不同表达形式解决相关问题。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断网格中三角形的形状，首先利用勾股定理分别计算△ABC三条边的长度，再通过勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形是否为直角三角形。
(2) 求BC边上的高可使用等积法：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用底乘对应高的一半计算，建立等式就能快速求出高，不需要额外构造辅助线计算，更为简便。
【解析】
(1) △ABC是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$，
∵$AB^2+AC^2=(2\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=8+18=26$，$BC^2=(\sqrt{26})^2=26$，
∴$AB^2+AC^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
(2) 过点A作$AD⊥ BC$于点D，AD即为BC边上的高。
由(1)知$∠ BAC=90°$，因此△ABC的面积有两种表达形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，
联立得$\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，即$AB· AC=BC· AD$，
代入数值：$2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=\sqrt{26}· AD$，
计算得$12=\sqrt{26}· AD$，化简得$AD=\frac{6\sqrt{26}}{13}$。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形，$∠ BAC=90°$；
(2) BC边上的高为$\frac{6\sqrt{26}}{13}$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等积法求线段长
【点评】
本题是网格类几何的常考基础题型，重点考查勾股定理及其逆定理的应用，通过等积法求高可以简化计算，需要熟练掌握网格中线段长度的求解方法，灵活运用三角形面积的不同表达形式解决相关问题。
【难度系数】
0.7
