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23.周末,小明坐公交车到文华公园游玩.他从家出发 0.8 h 后到达书城,停留一段时间后继续坐公交车到文华公园,在小明离家一段时间后,爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园,下图是他们离家的路程$s(\mathrm{km})$与小明离家时间$t(\mathrm{h})$之间的关系图,请根据图象回答下列问题:
(1)图中自变量是________,因变量是________;
(2)小明在书城停留的时间为$\_\_\_\_\_\_\mathrm{h}$,小明从家出发到达文华公园的平均速度为$\_\_\_\_\_\_\mathrm{km/h}$;
(3)爸爸驾车经过多久追上小明? 此时距离文华公园多远?
(1)图中自变量是________,因变量是________;
(2)小明在书城停留的时间为$\_\_\_\_\_\_\mathrm{h}$,小明从家出发到达文华公园的平均速度为$\_\_\_\_\_\_\mathrm{km/h}$;
(3)爸爸驾车经过多久追上小明? 此时距离文华公园多远?
答案
(1)小明离家的时间,离家的路程
(2)1.7 7.5
(3)由题图可得,小明从书城到文华公园的平均速度为$\dfrac{30-12}{4-2.5}=12(\mathrm{km/h})$,小明爸爸驾车的平均速度为$\dfrac{30}{3.5-2.5}=30(\mathrm{km/h})$,故爸爸驾车经过$\dfrac{12}{30-12}=\dfrac{2}{3}(\mathrm{h})$追上小明,$30-30×\dfrac{2}{3}=10(\mathrm{km})$.即爸爸驾车经过$\dfrac{2}{3}\ \mathrm{h}$追上小明,此时距离文华公园10 km.
(2)1.7 7.5
(3)由题图可得,小明从书城到文华公园的平均速度为$\dfrac{30-12}{4-2.5}=12(\mathrm{km/h})$,小明爸爸驾车的平均速度为$\dfrac{30}{3.5-2.5}=30(\mathrm{km/h})$,故爸爸驾车经过$\dfrac{12}{30-12}=\dfrac{2}{3}(\mathrm{h})$追上小明,$30-30×\dfrac{2}{3}=10(\mathrm{km})$.即爸爸驾车经过$\dfrac{2}{3}\ \mathrm{h}$追上小明,此时距离文华公园10 km.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：根据自变量、因变量的定义，结合图像横纵轴的含义判断，横轴代表的是主动变化的量即自变量，纵轴代表的随横轴变化的量即因变量。
2. 第(2)问：小明在书城停留时，离家路程不变，对应图像中水平线段的时长，用线段终点时间减起点时间即可；全程平均速度用总路程除以小明从家到文华公园的总时间计算。
3. 第(3)问：属于追及问题，先分别算出小明从书城出发后的行驶速度、爸爸驾车的速度，爸爸出发时小明已经在12km处，即路程差为12km，追及时间=路程差÷速度差；再用总路程减去爸爸追及时段行驶的路程，即可得到距离文华公园的距离。
【解析】
(1) 图像横轴为小明离家的时间$t$，纵轴为离家的路程$s$，路程随时间变化而变化，因此自变量是小明离家的时间，因变量是离家的路程。
(2) 小明在书城停留的时间为$2.5-0.8=1.7(\mathrm{h})$；小明从家到文华公园总路程为30km，总用时4h，平均速度为$\dfrac{30}{4}=7.5(\mathrm{km/h})$。
(3) 先计算对应行驶速度：
小明从书城到文华公园的平均速度：$\dfrac{30-12}{4-2.5}=12(\mathrm{km/h})$
爸爸驾车的平均速度：$\dfrac{30}{3.5-2.5}=30(\mathrm{km/h})$
爸爸出发时，两人路程差为12km，速度差为$30-12=18(\mathrm{km/h})$，因此追及时间为$\dfrac{12}{30-12}=\dfrac{2}{3}(\mathrm{h})$
此时爸爸行驶的路程为$30×\dfrac{2}{3}=20(\mathrm{km})$，距离文华公园的距离为$30-20=10(\mathrm{km})$
【答案】
(1)小明离家的时间，离家的路程
(2)$1.7$，$7.5$
(3)爸爸驾车经过$\dfrac{2}{3}\ \mathrm{h}$追上小明，此时距离文华公园$10\ \mathrm{km}$
【知识点】
变量的识别，s-t图像应用，追及问题计算
【点评】
本题结合生活场景考查函数图像的实际应用，要求学生能准确从s-t图像中提取路程、时间相关信息，结合行程公式求解，前两问较为基础，第三问的追及问题是行程类图像题的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 第(1)问：根据自变量、因变量的定义，结合图像横纵轴的含义判断，横轴代表的是主动变化的量即自变量，纵轴代表的随横轴变化的量即因变量。
2. 第(2)问：小明在书城停留时，离家路程不变，对应图像中水平线段的时长，用线段终点时间减起点时间即可；全程平均速度用总路程除以小明从家到文华公园的总时间计算。
3. 第(3)问：属于追及问题，先分别算出小明从书城出发后的行驶速度、爸爸驾车的速度，爸爸出发时小明已经在12km处，即路程差为12km，追及时间=路程差÷速度差；再用总路程减去爸爸追及时段行驶的路程，即可得到距离文华公园的距离。
【解析】
(1) 图像横轴为小明离家的时间$t$，纵轴为离家的路程$s$，路程随时间变化而变化，因此自变量是小明离家的时间，因变量是离家的路程。
(2) 小明在书城停留的时间为$2.5-0.8=1.7(\mathrm{h})$；小明从家到文华公园总路程为30km，总用时4h，平均速度为$\dfrac{30}{4}=7.5(\mathrm{km/h})$。
(3) 先计算对应行驶速度：
小明从书城到文华公园的平均速度：$\dfrac{30-12}{4-2.5}=12(\mathrm{km/h})$
爸爸驾车的平均速度：$\dfrac{30}{3.5-2.5}=30(\mathrm{km/h})$
爸爸出发时，两人路程差为12km，速度差为$30-12=18(\mathrm{km/h})$，因此追及时间为$\dfrac{12}{30-12}=\dfrac{2}{3}(\mathrm{h})$
此时爸爸行驶的路程为$30×\dfrac{2}{3}=20(\mathrm{km})$，距离文华公园的距离为$30-20=10(\mathrm{km})$
【答案】
(1)小明离家的时间，离家的路程
(2)$1.7$，$7.5$
(3)爸爸驾车经过$\dfrac{2}{3}\ \mathrm{h}$追上小明，此时距离文华公园$10\ \mathrm{km}$
【知识点】
变量的识别，s-t图像应用，追及问题计算
【点评】
本题结合生活场景考查函数图像的实际应用，要求学生能准确从s-t图像中提取路程、时间相关信息，结合行程公式求解，前两问较为基础，第三问的追及问题是行程类图像题的典型考法。
【难度系数】
0.7
24. 如图,已知在长方形 $ABCD$ 中,$AB=CD=16$,$BC=DA=24$,$E$ 为 $CD$ 边的中点,$P$ 为长方形 $ABCD$ 边上的动点,动点 $P$ 以每秒 4 个单位长度的速度从点 $A$ 出发,沿着 $A→B→C→E$ 运动到点 $E$ 停止.设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒,$△ APE$ 的面积为 $y$.
(1)当 $t=2$ 时,$y$ 的值是 ______;当 $t=6$ 时,$y$ 的值是 ______.
(2)①当点 $P$ 在 $AB$ 上时,即 $0{≤}t{≤}4$ 时,$y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y=\_\_\_\_\_\_$;
②当点 $P$ 在 $BC$ 上时,即 $4{＜}t{≤}10$ 时,$y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y=\_\_\_\_\_\_$;
③当点 $P$ 在 $CE$ 上时,即 $10{＜}t{≤}12$ 时,$y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y=\_\_\_\_\_\_$.
(3)当 $y=120$ 时,求 $t$ 的值.
(1)当 $t=2$ 时,$y$ 的值是 ______;当 $t=6$ 时,$y$ 的值是 ______.
(2)①当点 $P$ 在 $AB$ 上时,即 $0{≤}t{≤}4$ 时,$y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y=\_\_\_\_\_\_$;
②当点 $P$ 在 $BC$ 上时,即 $4{＜}t{≤}10$ 时,$y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y=\_\_\_\_\_\_$;
③当点 $P$ 在 $CE$ 上时,即 $10{＜}t{≤}12$ 时,$y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y=\_\_\_\_\_\_$.
(3)当 $y=120$ 时,求 $t$ 的值.
答案
(1)96 160
(2)①$48t$ ②$-16t+256$ ③$-48t+576$
(3)当$0≤t≤4$时,$y=48t=120$,$t=\dfrac{5}{2}$;当$4＜t≤10$时,$y=-16t+256=120$,$t=\dfrac{17}{2}$;当$10＜t≤12$时,$y=-48t+576=120$,$t=\dfrac{19}{2}＜10$,不合题意,舍去.故$y=120$时,$t=\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{17}{2}$.
(2)①$48t$ ②$-16t+256$ ③$-48t+576$
(3)当$0≤t≤4$时,$y=48t=120$,$t=\dfrac{5}{2}$;当$4＜t≤10$时,$y=-16t+256=120$,$t=\dfrac{17}{2}$;当$10＜t≤12$时,$y=-48t+576=120$,$t=\dfrac{19}{2}＜10$,不合题意,舍去.故$y=120$时,$t=\dfrac{5}{2}$或$\dfrac{17}{2}$.
解析
【分析】
这是一道长方形中的动点分段函数问题，解题需按动点P的运动路径分AB、BC、CE三段分类讨论：首先根据运动时间和速度确定对应线段的长度，选择直接法或割补法计算△APE的面积；再推导不同区间内y与t的函数关系式；最后求解y=120时，将y值分别代入各段函数式，结合t的取值范围筛选符合要求的解。
【解析】
先明确各段运动时长：AB长16，速度为4单位/秒，AB段运动时间为16÷4=4s；BC长24，BC段运动时间为24÷4=6s，到C点共运动10s；E为CD中点，CE=½CD=8，CE段运动时间为8÷4=2s，到E点共运动12s，与题目给出的区间一致。
(1) 当t=2时，P在AB上，AP=4×2=8，△APE以AP为底，高为AD=24，因此$y=\frac{1}{2}×8×24=96$；
当t=6时，P在BC上，总运动路程为4×6=24，BP=24-16=8，PC=24-8=16，用割补法计算：长方形ABCD面积为$16×24=384$，$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×16×8=64$，$S_{△PCE}=\frac{1}{2}×16×8=64$，$S_{△ADE}=\frac{1}{2}×24×8=96$，因此$y=384-64-64-96=160$。
(2)①当$0≤t≤4$时，P在AB上，AP=4t，因此$y=\frac{1}{2}×4t×24=48t$；
②当$4＜t≤10$时，P在BC上，BP=4t-16，PC=24-(4t-16)=40-4t，代入割补法公式化简得$y=384-\frac{1}{2}×16×(4t-16)-\frac{1}{2}×8×(40-4t)-96=-16t+256$；
③当$10＜t≤12$时，P在CE上，CP=4t-40，PE=8-(4t-40)=48-4t，△APE以PE为底、高为BC=24，因此$y=\frac{1}{2}×(48-4t)×24=-48t+576$。
(3)分三种情况讨论：
i. 当$0≤t≤4$时，令$48t=120$，解得$t=\frac{5}{2}$，符合区间要求；
ii. 当$4＜t≤10$时，令$-16t+256=120$，解得$t=\frac{17}{2}$，符合区间要求；
iii. 当$10＜t≤12$时，令$-48t+576=120$，解得$t=\frac{19}{2}=9.5$，不在$10＜t≤12$范围内，舍去。
【答案】
(1)$96$；$160$
(2)①$48t$；②$-16t+256$；③$-48t+576$
(3)$t=\frac{5}{2}$或$t=\frac{17}{2}$
【知识点】
三角形面积计算；分段函数；动点分类讨论
【点评】
本题是典型的动点分段函数应用题，核心是按照动点运动轨迹分段分析，计算面积时可灵活选择直接计算或割补法，求解时要注意结合自变量的取值范围舍去不符合要求的解，考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
这是一道长方形中的动点分段函数问题，解题需按动点P的运动路径分AB、BC、CE三段分类讨论：首先根据运动时间和速度确定对应线段的长度，选择直接法或割补法计算△APE的面积；再推导不同区间内y与t的函数关系式；最后求解y=120时，将y值分别代入各段函数式，结合t的取值范围筛选符合要求的解。
【解析】
先明确各段运动时长：AB长16，速度为4单位/秒，AB段运动时间为16÷4=4s；BC长24，BC段运动时间为24÷4=6s，到C点共运动10s；E为CD中点，CE=½CD=8，CE段运动时间为8÷4=2s，到E点共运动12s，与题目给出的区间一致。
(1) 当t=2时，P在AB上，AP=4×2=8，△APE以AP为底，高为AD=24，因此$y=\frac{1}{2}×8×24=96$；
当t=6时，P在BC上，总运动路程为4×6=24，BP=24-16=8，PC=24-8=16，用割补法计算：长方形ABCD面积为$16×24=384$，$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×16×8=64$，$S_{△PCE}=\frac{1}{2}×16×8=64$，$S_{△ADE}=\frac{1}{2}×24×8=96$，因此$y=384-64-64-96=160$。
(2)①当$0≤t≤4$时，P在AB上，AP=4t，因此$y=\frac{1}{2}×4t×24=48t$；
②当$4＜t≤10$时，P在BC上，BP=4t-16，PC=24-(4t-16)=40-4t，代入割补法公式化简得$y=384-\frac{1}{2}×16×(4t-16)-\frac{1}{2}×8×(40-4t)-96=-16t+256$；
③当$10＜t≤12$时，P在CE上，CP=4t-40，PE=8-(4t-40)=48-4t，△APE以PE为底、高为BC=24，因此$y=\frac{1}{2}×(48-4t)×24=-48t+576$。
(3)分三种情况讨论：
i. 当$0≤t≤4$时，令$48t=120$，解得$t=\frac{5}{2}$，符合区间要求；
ii. 当$4＜t≤10$时，令$-16t+256=120$，解得$t=\frac{17}{2}$，符合区间要求；
iii. 当$10＜t≤12$时，令$-48t+576=120$，解得$t=\frac{19}{2}=9.5$，不在$10＜t≤12$范围内，舍去。
【答案】
(1)$96$；$160$
(2)①$48t$；②$-16t+256$；③$-48t+576$
(3)$t=\frac{5}{2}$或$t=\frac{17}{2}$
【知识点】
三角形面积计算；分段函数；动点分类讨论
【点评】
本题是典型的动点分段函数应用题，核心是按照动点运动轨迹分段分析，计算面积时可灵活选择直接计算或割补法，求解时要注意结合自变量的取值范围舍去不符合要求的解，考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6
