6. 解系数中含有字母的一元一次方程,最后都化成$ax=b$的形式,它的解有三种不同的情况:①当$a≠0$时,方程有唯一的解;②当$a=0,b=0$时,方程有无数个解;③当$a=0,b≠0$时,方程无解。下面举例予以分析说明。
例:解关于$x$的方程$(a+2)x=a-3$。
解:当$a+2≠0$,即$a≠-2$时,方程有唯一的解$x=\frac{a-3}{a+2}$。
当$a+2=0$,即$a=-2$时,原方程可化为$0×x=-5$,方程无解。
分析:此方程为什么不存在无数个解的情况呢?
因为只有当方程可化为$0×x=0$时,方程才能有无数个解。而当$a+2=0$时,$a-3≠0$;当$a-3=0$时,$a+2≠0$。因为$a$不可能既等于$-2$又等于$3$,所以不存在无数个解。
根据上述材料,请你尝试解关于$x$的方程:$mx+n=nx+m$。

当$m≠n$时，方程有唯一解$x=1$；当$m=n$时，方程有无数个解。

先对原方程进行移项，把含x的项移到方程左侧，常数项移到方程右侧，得到：$mx - nx = m - n$，合并同类项后化为$ax=b$的标准形式：$(m-n)x = m - n$，再分情况讨论：
1. 当$m-n ≠ 0$，即$m ≠ n$时，方程两边同时除以不为0的系数$m-n$，可得方程有唯一解$x=1$；
2. 当$m-n = 0$，即$m = n$时，原方程可化为$0 · x = 0$，此时任意实数x都能使等式成立，方程有无数个解。

1. 运输一批货物,用载重4.5 t的汽车要比用载重12 t的大卡车多运15次才能运完。设这批货物的吨数为$ x $ t,则可列方程（）。

A.$ 4.5x + 15 = 12x $
B.$ \dfrac{x}{4.5} + 15 = \dfrac{x}{12} $
C.$ \dfrac{4.5}{x} + 15 = \dfrac{12}{x} $
D.$ \dfrac{x}{4.5} - 15 = \dfrac{x}{12} $

D

已知货物总吨数为$x$ t，载重4.5t的汽车运输总次数为$\frac{x}{4.5}$次，载重12t的大卡车运输总次数为$\frac{x}{12}$次。根据“用载重4.5t的汽车比大卡车多运15次”的等量关系，可得汽车运输次数减去15等于大卡车的运输次数，列方程为$\dfrac{x}{4.5} - 15 = \dfrac{x}{12}$。

2. 如果参加某保险公司的医疗保险，住院病人可以享受分段报销，报销细则如右表所示。某人住院治疗后得到保险公司的报销金额为 1100 元，那么此人住院花的医疗费用是（）。

A.1000 元
B.1250 元
C.1500 元
D.2000 元

D

我们先分段计算不同区间的最高报销额，判断总医疗费的范围：
1. 医疗费不超过500元时，报销金额为0，不符合报销1100元的条件；
2. 医疗费在500~1000元区间时，最多可报销：(1000-500)×60% = 300元，300＜1100，说明总医疗费超过1000元；
3. 设超过1000元的部分医疗费用为x元，前两段累计报销300元，1000~3000部分报销率为80%，列方程：
300 + 80%x = 1100
解得x=1000
4. 总医疗费用为1000 + 1000 = 2000元

3. 已知一辆汽车从甲地到乙地的速度为$v_1$，从乙地原路返回到甲地的速度为$v_2$，则这辆汽车来回的平均速度为（$\quad\quad$）。

A.$\dfrac{v_1+v_2}{2}$
B.$\dfrac{v_1+v_2}{v_1v_2}$
C.$\dfrac{v_1v_2}{v_1+v_2}$
D.$\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

D

设甲乙两地的路程为$s$，根据路程、速度、时间的关系，从甲地到乙地的时间为$t_1=\frac{s}{v_1}$，从乙地返回甲地的时间为$t_2=\frac{s}{v_2}$。来回总路程为$2s$，总时间为$t_1+t_2$，因此平均速度为：
$v=\frac{总路程}{总时间}=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}$，约去$s$后化简得$v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$。