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1 下列运用等式的基本性质变形正确的是 （
A.由$ac=bc$，得$a=b$
B.由$a=b$，得$ac=bc$
C.由$a=b$，得$a+c=b-c$
D.由$a^2=3a$，得$a=3$
B
）A.由$ac=bc$，得$a=b$
B.由$a=b$，得$ac=bc$
C.由$a=b$，得$a+c=b-c$
D.由$a^2=3a$，得$a=3$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题时首先要明确等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求：①等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，否则变形无意义；②等式两边加或减的必须是同一个数或式子，乘的可以是任意数。接下来逐个分析每个选项的变形是否满足上述要求即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆等式的基本性质：
1. 等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；
2. 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对各选项逐一分析：
A选项：当c=0时，无论a、b取何值，$ac=bc$都成立，此时不能推出$a=b$，变形错误；
B选项：若$a=b$，等式两边同时乘任意实数c，都有$ac=bc$，符合等式的基本性质2，变形正确；
C选项：根据等式基本性质1，$a=b$时应变形为$a+c=b+c$或$a-c=b-c$，选项中一边加c一边减c，不符合性质，变形错误；
D选项：由$a^2=3a$移项得$a^2-3a=0$，即$a(a-3)=0$，解得$a=3$或$a=0$，所以仅得$a=3$是错误的，漏了$a=0$的情况。
综上，变形正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质、等式变形的注意事项
【点评】
本题属于等式性质的基础考查题，解题的核心是准确把握等式性质的适用条件，尤其要注意除以含字母的式子时，必须确认该式子不为0，避免出现漏解或错判的情况。
【难度系数】
0.85
这道题考查等式基本性质的应用，解题时首先要明确等式的两条基本性质，再逐一验证每个选项的变形是否符合性质要求：①等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，否则变形无意义；②等式两边加或减的必须是同一个数或式子，乘的可以是任意数。接下来逐个分析每个选项的变形是否满足上述要求即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆等式的基本性质：
1. 等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；
2. 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
对各选项逐一分析：
A选项：当c=0时，无论a、b取何值，$ac=bc$都成立，此时不能推出$a=b$，变形错误；
B选项：若$a=b$，等式两边同时乘任意实数c，都有$ac=bc$，符合等式的基本性质2，变形正确；
C选项：根据等式基本性质1，$a=b$时应变形为$a+c=b+c$或$a-c=b-c$，选项中一边加c一边减c，不符合性质，变形错误；
D选项：由$a^2=3a$移项得$a^2-3a=0$，即$a(a-3)=0$，解得$a=3$或$a=0$，所以仅得$a=3$是错误的，漏了$a=0$的情况。
综上，变形正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质、等式变形的注意事项
【点评】
本题属于等式性质的基础考查题，解题的核心是准确把握等式性质的适用条件，尤其要注意除以含字母的式子时，必须确认该式子不为0，避免出现漏解或错判的情况。
【难度系数】
0.85
2 若关于 $ x $ 的方程 $(a + 2)x^{|a| - 1} - 2 = 1$ 是一元一次方程，则 $ a $ 的值为 ______.
答案
2. 2
解析
【分析】
要确定a的取值，需结合一元一次方程的定义推导：一元一次方程需同时满足两个核心条件，一是只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0（否则方程不含未知数，不属于一元一次方程）。我们可以先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(a + 2)x^{|a| - 1} - 2 = 1$是一元一次方程
∴第一步，满足未知数x的次数为1：
$\vert a\vert -1=1$
解得$\vert a\vert=2$，即$a=2$或$a=-2$
第二步，满足一次项系数不为0：
$a+2≠0$
解得$a≠-2$
综上，排除$a=-2$，可得$a=2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制，直接得出$a=\pm2$的错误结论，解题时需紧扣定义的全部要求，逐一验证条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值，需结合一元一次方程的定义推导：一元一次方程需同时满足两个核心条件，一是只含1个未知数，且未知数的最高次数为1；二是未知数的系数不能为0（否则方程不含未知数，不属于一元一次方程）。我们可以先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(a + 2)x^{|a| - 1} - 2 = 1$是一元一次方程
∴第一步，满足未知数x的次数为1：
$\vert a\vert -1=1$
解得$\vert a\vert=2$，即$a=2$或$a=-2$
第二步，满足一次项系数不为0：
$a+2≠0$
解得$a≠-2$
综上，排除$a=-2$，可得$a=2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的定义，绝对值的性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制，直接得出$a=\pm2$的错误结论，解题时需紧扣定义的全部要求，逐一验证条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
3 若关于 $ x $ 的方程 $ 2k - 3x = 4 $ 的解与方程 $ \frac{1}{2}x - 3 = 0 $ 的解相同，则 $ k $ 的值为________.
答案
3. 11
解析
【分析】
本题属于同解方程问题，解题思路清晰明了：首先求解不含参数的方程$\frac{1}{2}x - 3 = 0$，得到$x$的具体值；再利用两个方程解相同的性质，将求出的$x$代入含参数$k$的方程$2k - 3x = 4$，得到仅含$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
第一步：解方程$\frac{1}{2}x - 3 = 0$
移项，得$\frac{1}{2}x = 3$
方程两边同时乘2，得$x = 6$
第二步：将$x=6$代入方程$2k - 3x = 4$求$k$
把$x=6$代入得：$2k - 3×6 = 4$
计算得：$2k - 18 = 4$
移项得：$2k = 4 + 18$，即$2k = 22$
方程两边同时除以2，得$k = 11$
【答案】
11
【知识点】
同解方程，解一元一次方程
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，解题核心是先求解无参数的方程得到公共解，再将公共解代入含参数的方程计算未知参数，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
本题属于同解方程问题，解题思路清晰明了：首先求解不含参数的方程$\frac{1}{2}x - 3 = 0$，得到$x$的具体值；再利用两个方程解相同的性质，将求出的$x$代入含参数$k$的方程$2k - 3x = 4$，得到仅含$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
第一步：解方程$\frac{1}{2}x - 3 = 0$
移项，得$\frac{1}{2}x = 3$
方程两边同时乘2，得$x = 6$
第二步：将$x=6$代入方程$2k - 3x = 4$求$k$
把$x=6$代入得：$2k - 3×6 = 4$
计算得：$2k - 18 = 4$
移项得：$2k = 4 + 18$，即$2k = 22$
方程两边同时除以2，得$k = 11$
【答案】
11
【知识点】
同解方程，解一元一次方程
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，解题核心是先求解无参数的方程得到公共解，再将公共解代入含参数的方程计算未知参数，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
4 小张解关于$ x $的方程$ 5a - x = 13 $时，误将“$-x$”看成“$+x$”，得到方程的解为$ x = -2 $，则原方程的解为________.
答案
4. $x=2$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先，小张看错符号后得到的方程为$5a+x=13$，且$x=-2$是这个错误方程的正确解，因此先将$x=-2$代入错误方程求出参数$a$的值；其次，将求出的$a$代入原正确方程，解一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
1. 确定小张看错后求解的方程：
小张误将“$-x$”看成“$+x$”，因此他实际解的方程为$\boldsymbol{5a + x = 13}$。
2. 代入错误方程的解求$a$的值：
已知$x=-2$是方程$5a + x =13$的解，将$x=-2$代入该方程：
$\begin{aligned}5a + (-2) &= 13 \\5a -2 &=13 \\5a &=13+2 \\5a &=15 \\a &=3\end{aligned}$
3. 代入$a$的值求解原方程：
原方程为$5a -x =13$，将$a=3$代入得：
$\begin{aligned}5×3 -x &=13 \\15 -x &=13 \\-x &=13-15 \\-x &=-2 \\x &=2\end{aligned}$
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是明确“错解”是看错符号后所得方程的正确解，先求出未知参数的值，再代入原方程求解，是一元一次方程章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先，小张看错符号后得到的方程为$5a+x=13$，且$x=-2$是这个错误方程的正确解，因此先将$x=-2$代入错误方程求出参数$a$的值；其次，将求出的$a$代入原正确方程，解一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
1. 确定小张看错后求解的方程：
小张误将“$-x$”看成“$+x$”，因此他实际解的方程为$\boldsymbol{5a + x = 13}$。
2. 代入错误方程的解求$a$的值：
已知$x=-2$是方程$5a + x =13$的解，将$x=-2$代入该方程：
$\begin{aligned}5a + (-2) &= 13 \\5a -2 &=13 \\5a &=13+2 \\5a &=15 \\a &=3\end{aligned}$
3. 代入$a$的值求解原方程：
原方程为$5a -x =13$，将$a=3$代入得：
$\begin{aligned}5×3 -x &=13 \\15 -x &=13 \\-x &=13-15 \\-x &=-2 \\x &=2\end{aligned}$
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是明确“错解”是看错符号后所得方程的正确解，先求出未知参数的值，再代入原方程求解，是一元一次方程章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
5 当k的值为
2
时，关于x的方程$8 - k = 2(x + 1)$的解与方程$3(2x - 1) = 1 - 2x$的解互为倒数。答案
5. 2
解析
【分析】
本题要求参数k的值，已知两个方程的解互为倒数，解题思路分为三步：第一步先求解不含参数的方程$3(2x - 1) = 1 - 2x$，得到它的解；第二步根据“互为倒数的两个数乘积为1”，求出第一个方程的解；第三步将第一个方程的解代入含k的方程，即可求出k的值。
【解析】
首先解方程$3(2x - 1) = 1 - 2x$：
1. 去括号：$6x - 3 = 1 - 2x$
2. 移项：$6x + 2x = 1 + 3$
3. 合并同类项：$8x = 4$
4. 系数化为1：$x = \frac{1}{2}$
因为两个方程的解互为倒数，所以方程$8 - k = 2(x + 1)$的解为$1÷\frac{1}{2}=2$。
将$x=2$代入$8 - k = 2(x + 1)$得：
$8 - k = 2×(2 + 1)$
计算右边得：$8 - k = 6$
解得：$k = 8 - 6 = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解法；倒数的定义；方程的解的定义
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是先求出不含参数的方程的解，再利用倒数关系得到含参数方程的解，代入即可求出未知参数，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题要求参数k的值，已知两个方程的解互为倒数，解题思路分为三步：第一步先求解不含参数的方程$3(2x - 1) = 1 - 2x$，得到它的解；第二步根据“互为倒数的两个数乘积为1”，求出第一个方程的解；第三步将第一个方程的解代入含k的方程，即可求出k的值。
【解析】
首先解方程$3(2x - 1) = 1 - 2x$：
1. 去括号：$6x - 3 = 1 - 2x$
2. 移项：$6x + 2x = 1 + 3$
3. 合并同类项：$8x = 4$
4. 系数化为1：$x = \frac{1}{2}$
因为两个方程的解互为倒数，所以方程$8 - k = 2(x + 1)$的解为$1÷\frac{1}{2}=2$。
将$x=2$代入$8 - k = 2(x + 1)$得：
$8 - k = 2×(2 + 1)$
计算右边得：$8 - k = 6$
解得：$k = 8 - 6 = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解法；倒数的定义；方程的解的定义
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是先求出不含参数的方程的解，再利用倒数关系得到含参数方程的解，代入即可求出未知参数，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
6 解方程：
(1) $ x + 5 = \frac{1}{2}(x + 3) $；
(2) $ \frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4 $；
(3) $ x - \frac{x - 2}{2} = 1 + \frac{2x - 1}{3} $；
(4) $ \frac{x + 4}{0.3} - \frac{2x - 0.3}{0.5} = 1 $
(1) $ x + 5 = \frac{1}{2}(x + 3) $；
(2) $ \frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4 $；
(3) $ x - \frac{x - 2}{2} = 1 + \frac{2x - 1}{3} $；
(4) $ \frac{x + 4}{0.3} - \frac{2x - 0.3}{0.5} = 1 $
答案
6. (1) $x=-7$ (2) $x=7$ (3) $x=2$ (4) $x=19.4$
解析
【分析】
这四道题均为一元一次方程求解类题目，解题遵循一元一次方程通用步骤：①若分母为小数，先利用分数基本性质将分母化为整数；②去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；③去括号：按照去括号法则运算，括号前为负号时括号内各项要变号；④移项：含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号；⑤合并同类项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；⑥系数化为1得到方程的解，每道题按对应步骤逐步运算即可。
【解析】
(1) 解$x + 5 = \frac{1}{2}(x + 3)$：
方程两边同乘2去分母，得$2(x+5)=x+3$
去括号，得$2x + 10 = x + 3$
移项，得$2x - x = 3 - 10$
合并同类项，得$x=-7$
(2) 解$\frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$：
方程两边同乘2和3的最小公倍数6去分母，得$3(x-3) + 2(x-1) = 24$
去括号，得$3x - 9 + 2x - 2 = 24$
合并同类项，得$5x - 11 = 24$
移项，得$5x=35$
系数化为1，得$x=7$
(3) 解$x - \frac{x - 2}{2} = 1 + \frac{2x - 1}{3}$：
方程两边同乘2和3的最小公倍数6去分母，得$6x - 3(x - 2) = 6 + 2(2x - 1)$
去括号，得$6x - 3x + 6 = 6 + 4x - 2$
合并同类项，得$3x + 6 = 4x + 4$
移项，得$3x - 4x = 4 - 6$
合并同类项得$-x=-2$
系数化为1，得$x=2$
(4) 解$\frac{x + 4}{0.3} - \frac{2x - 0.3}{0.5} = 1$：
利用分数基本性质，分子分母同乘10将小数分母化为整数，得$\frac{10x + 40}{3} - \frac{20x - 3}{5} = 1$
方程两边同乘3和5的最小公倍数15去分母，得$5(10x + 40) - 3(20x - 3) = 15$
去括号，得$50x + 200 - 60x + 9 = 15$
合并同类项，得$-10x + 209 = 15$
移项得$-10x=-194$
系数化为1，得$x=19.4$
【答案】
(1) $x=-7$；(2) $x=7$；(3) $x=2$；(4) $x=19.4$
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 等式的性质
3. 分数基本性质
【点评】
这组题目是一元一次方程的典型训练题，覆盖了含括号、含普通分母、含小数分母等各类常考形式，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，去括号注意符号变化，小数化整时不要漏算分子里的常数项，熟练掌握通用解题步骤即可高效准确作答。
【难度系数】
0.7
这四道题均为一元一次方程求解类题目，解题遵循一元一次方程通用步骤：①若分母为小数，先利用分数基本性质将分母化为整数；②去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；③去括号：按照去括号法则运算，括号前为负号时括号内各项要变号；④移项：含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号；⑤合并同类项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；⑥系数化为1得到方程的解，每道题按对应步骤逐步运算即可。
【解析】
(1) 解$x + 5 = \frac{1}{2}(x + 3)$：
方程两边同乘2去分母，得$2(x+5)=x+3$
去括号，得$2x + 10 = x + 3$
移项，得$2x - x = 3 - 10$
合并同类项，得$x=-7$
(2) 解$\frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$：
方程两边同乘2和3的最小公倍数6去分母，得$3(x-3) + 2(x-1) = 24$
去括号，得$3x - 9 + 2x - 2 = 24$
合并同类项，得$5x - 11 = 24$
移项，得$5x=35$
系数化为1，得$x=7$
(3) 解$x - \frac{x - 2}{2} = 1 + \frac{2x - 1}{3}$：
方程两边同乘2和3的最小公倍数6去分母，得$6x - 3(x - 2) = 6 + 2(2x - 1)$
去括号，得$6x - 3x + 6 = 6 + 4x - 2$
合并同类项，得$3x + 6 = 4x + 4$
移项，得$3x - 4x = 4 - 6$
合并同类项得$-x=-2$
系数化为1，得$x=2$
(4) 解$\frac{x + 4}{0.3} - \frac{2x - 0.3}{0.5} = 1$：
利用分数基本性质，分子分母同乘10将小数分母化为整数，得$\frac{10x + 40}{3} - \frac{20x - 3}{5} = 1$
方程两边同乘3和5的最小公倍数15去分母，得$5(10x + 40) - 3(20x - 3) = 15$
去括号，得$50x + 200 - 60x + 9 = 15$
合并同类项，得$-10x + 209 = 15$
移项得$-10x=-194$
系数化为1，得$x=19.4$
【答案】
(1) $x=-7$；(2) $x=7$；(3) $x=2$；(4) $x=19.4$
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 等式的性质
3. 分数基本性质
【点评】
这组题目是一元一次方程的典型训练题，覆盖了含括号、含普通分母、含小数分母等各类常考形式，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，去括号注意符号变化，小数化整时不要漏算分子里的常数项，熟练掌握通用解题步骤即可高效准确作答。
【难度系数】
0.7
7 教材 P126 练习 T1 变式 已知梯形的面积公式为 $S=\frac{1}{2}(a+b)h$.
（1）若 $S=30,a=6,h=4$,求 $b$ 的值；
（2）若 $S=50,a=6,b=\frac{5}{3}a$,求 $h$ 的值.
（1）若 $S=30,a=6,h=4$,求 $b$ 的值；
（2）若 $S=50,a=6,b=\frac{5}{3}a$,求 $h$ 的值.
答案
7. (1) 将 $S,a,h$ 的值代入 $S=\frac{1}{2}(a+b)h$,得 $30=\frac{1}{2}(6+b)×4$,解得 $b=9$
(2) 由 $a=6,b=\frac{5}{3}a$,得 $b=10$. 将 $S,a,b$ 的值代入 $S=\frac{1}{2}(a+b)h$,得 $50=\frac{1}{2}×(6+10)h$,解得 $h=\frac{25}{4}$
(2) 由 $a=6,b=\frac{5}{3}a$,得 $b=10$. 将 $S,a,b$ 的值代入 $S=\frac{1}{2}(a+b)h$,得 $50=\frac{1}{2}×(6+10)h$,解得 $h=\frac{25}{4}$
解析
【分析】
本题是梯形面积公式的应用类题目，解题核心是将已知量代入公式转化为一元一次方程，再求解未知量。（1）问中S、a、h均为已知量，直接代入公式即可得到关于b的一元一次方程，解方程就能求出b的值；（2）问需要先根据a和b的数量关系求出b的具体值，再将S、a、b代入公式得到关于h的一元一次方程，解方程即可求出h的值。
【解析】
（1）将$S=30,a=6,h=4$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$30=\frac{1}{2}×(6+b)×4$
化简右侧得：$30=2(6+b)$
方程两边同时除以2，得：$15=6+b$
移项计算得：$b=15-6=9$
（2）已知$a=6,b=\frac{5}{3}a$，先计算b的值：
$b=\frac{5}{3}×6=10$
将$S=50,a=6,b=10$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$50=\frac{1}{2}×(6+10)h$
化简右侧得：$50=8h$
方程两边同时除以8，得：$h=\frac{50}{8}=\frac{25}{4}$
【答案】
(1) $b=9$；(2) $h=\frac{25}{4}$
【知识点】
梯形面积公式，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用类题目，侧重考查对公式的灵活运用能力和一元一次方程的求解能力，掌握代入求值的方法和一元一次方程的基本解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
本题是梯形面积公式的应用类题目，解题核心是将已知量代入公式转化为一元一次方程，再求解未知量。（1）问中S、a、h均为已知量，直接代入公式即可得到关于b的一元一次方程，解方程就能求出b的值；（2）问需要先根据a和b的数量关系求出b的具体值，再将S、a、b代入公式得到关于h的一元一次方程，解方程即可求出h的值。
【解析】
（1）将$S=30,a=6,h=4$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$30=\frac{1}{2}×(6+b)×4$
化简右侧得：$30=2(6+b)$
方程两边同时除以2，得：$15=6+b$
移项计算得：$b=15-6=9$
（2）已知$a=6,b=\frac{5}{3}a$，先计算b的值：
$b=\frac{5}{3}×6=10$
将$S=50,a=6,b=10$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$50=\frac{1}{2}×(6+10)h$
化简右侧得：$50=8h$
方程两边同时除以8，得：$h=\frac{50}{8}=\frac{25}{4}$
【答案】
(1) $b=9$；(2) $h=\frac{25}{4}$
【知识点】
梯形面积公式，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础应用类题目，侧重考查对公式的灵活运用能力和一元一次方程的求解能力，掌握代入求值的方法和一元一次方程的基本解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
