12. 我们定义:对角线相等且互相垂直的四边形叫作“宁美四边形”.
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形中,是“宁美四边形”的是.(填序号)
(2)如图,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G,连接AG,EG.求证:四边形ABEG是“宁美四边形”.

12.(1)④
(2)$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°.$
$\therefore ∠ABG+∠CBG=90°.$
$\because BG⊥ AE$，
$\therefore ∠BAE+∠ABG=90°.$
$\therefore ∠BAE=∠CBG.$
在$△ ABE$ 和$△ BCG$ 中，
$\begin{cases}∠BAE=∠CBG,\\AB=BC,\\∠ABE=∠BCG,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ BCG(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AE=BG.$
又 $BG⊥ AE$，
$\therefore$ 四边形 ABEG 是“宁美四边形”.

13.在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F.

(1)连接CF，如图1，求证:AF=FC.
(2)如图2，过点F作FG⊥AE交BC于点G，连接AG，求证:∠EAG=45°.
(3)在(2)的条件下，如图3，连接EG，当BG=4，DE=3时，求$\sqrt{CG^2 + CE^2}$的长.

13.(1)$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线，
$\therefore DA=DC,∠ADF=∠CDF=45°.$
在$△ ADF$ 和$△ CDF$ 中，
$\begin{cases}DA=DC,\\∠ADF=∠CDF,\\DF=DF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌ △ CDF(\mathrm{SAS}).$
$\therefore AF=CF.$
(2)如图,作 $FH⊥ AB$ 于点 H , $FT⊥ BC$ 于点 T ,则$∠AHF=∠GTF=90°.$

$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线，
$\therefore BD$ 平分$∠ABC,∠ABC=90°.$
$\therefore FH=FT.$
$\because FG⊥ AE$，
$\therefore ∠AFG=90°.$
$\because ∠BAF+∠ABG+∠BGF+∠AFG=360°,$
$\therefore ∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°.$
$\therefore ∠BAF=180°-∠BGF=∠FGT.$
在$△ AHF$ 和$△ GTF$ 中，
$\begin{cases}∠FAH=∠FGT,\\∠AHF=∠GTF,\\FH=FT,\end{cases}$
$\therefore △ AHF≌ △ GTF.$
$\therefore FA=FG.$
$\therefore ∠FAG=∠FGA.$
$\because ∠AFG=90°.$
$\therefore ∠EAG=90°×\frac{1}{2}=45°.$
(3)如图,在 CB 延长线上截取 $BK=DE$,连接 AK.

$\because$ 四边形 ABCD 是正方形，
$\therefore ∠C=∠BAD=∠ABC=∠ADC= 90°,AB=AD.$
$\therefore ∠ABK=180°-90°=90°.$
在$△ ABK$ 和$△ ADE$ 中，
$\begin{cases}AB=AD,\\∠ABK=∠ADE,\\BK=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABK≌ △ ADE(\mathrm{SAS}).$
$\therefore AK=AE,∠BAK=∠DAE.$
$\therefore ∠EAK=∠KAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=90°.$
$\because ∠EAG=45°,$
$\therefore ∠KAG=90°-45°=45°.$
在$△ KAG$ 和$△ EAG$ 中，
$\begin{cases}AK=AE,\\∠KAG=∠EAG,\\AG=AG,\end{cases}$
$\therefore △ KAG≌ △ EAG(\mathrm{SAS}).$
$\therefore GK=GE.$
$\because BG=4,DE=3,$
$\therefore GE=GK=BK+BG=DE+BG=4+3=7.$
$\because ∠C=90°,$
$\therefore \sqrt{CG^2+CE^2}=GE=7.$