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8.(2025·东台期中)如图,把三角形ABC沿平行于BC的直线DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若∠B=50°,则∠BDF的度数为 （
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
C
）A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
8.C
解析
【分析】
要计算∠BDF的度数，可按以下思路推导：首先根据平行线的性质，由DE平行于BC得到∠ADE与∠B的大小关系；再结合折叠的性质，得出折叠后∠FDE和∠ADE相等；最后利用平角为180°，用180°减去两个相等角的度数即可得到∠BDF的度数。
【解析】
解：
∵DE//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，可得
∠ADE=∠B=50°，
∵△ABC沿DE折叠后点A落在点F处，折叠前后对应角相等，
∴∠FDE=∠ADE=50°，
又
∵∠BDF+∠FDE+∠ADE=180°（平角的定义），
∴∠BDF=180°-∠FDE-∠ADE=180°-50°-50°=80°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，将平行线性质与折叠性质结合考查，解题的核心是准确找到折叠前后相等的角，结合平角的性质即可快速求解，是角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.8
要计算∠BDF的度数，可按以下思路推导：首先根据平行线的性质，由DE平行于BC得到∠ADE与∠B的大小关系；再结合折叠的性质，得出折叠后∠FDE和∠ADE相等；最后利用平角为180°，用180°减去两个相等角的度数即可得到∠BDF的度数。
【解析】
解：
∵DE//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，可得
∠ADE=∠B=50°，
∵△ABC沿DE折叠后点A落在点F处，折叠前后对应角相等，
∴∠FDE=∠ADE=50°，
又
∵∠BDF+∠FDE+∠ADE=180°（平角的定义），
∴∠BDF=180°-∠FDE-∠ADE=180°-50°-50°=80°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，将平行线性质与折叠性质结合考查，解题的核心是准确找到折叠前后相等的角，结合平角的性质即可快速求解，是角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图,把一张长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在点$D'$,$C'$处,$∠AED'=40°$,则$∠BFC'=$
$40°$
.答案
9.$40^{\circ }$
解析
【分析】
解题时先明确两个核心依据：一是折叠前后对应角相等，二是长方形对边平行，平行线的内错角相等、同旁内角互补。首先根据平角定义，结合已知∠AED'=40°求出∠DED'的度数，再利用折叠性质求出∠DEF的度数，接着根据AD//BC求出∠EFB、∠EFC的度数，再由折叠性质得∠EFC'=∠EFC，最后通过角的和差计算出∠BFC'的度数。
【解析】
解：
∵长方形的对边AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB（两直线平行，内错角相等），∠DEF+∠EFC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
由平角的定义可得：∠AED'+∠DED'=180°，
已知∠AED'=40°，
∴∠DED'=180°-40°=140°。
根据折叠的性质：∠DEF=∠D'EF=$\frac{1}{2}$∠DED'=70°，∠EFC=∠EFC'，
∴∠EFB=∠DEF=70°，∠EFC=180°-70°=110°，
∴∠EFC'=110°，
∴∠BFC'=∠EFC'-∠EFB=110°-70°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题是折叠变换与平行线性质结合的基础应用题，解题的关键是准确找到折叠前后对应的相等角，结合平行线的角的关系逐步推导，是平行线章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心依据：一是折叠前后对应角相等，二是长方形对边平行，平行线的内错角相等、同旁内角互补。首先根据平角定义，结合已知∠AED'=40°求出∠DED'的度数，再利用折叠性质求出∠DEF的度数，接着根据AD//BC求出∠EFB、∠EFC的度数，再由折叠性质得∠EFC'=∠EFC，最后通过角的和差计算出∠BFC'的度数。
【解析】
解：
∵长方形的对边AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB（两直线平行，内错角相等），∠DEF+∠EFC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
由平角的定义可得：∠AED'+∠DED'=180°，
已知∠AED'=40°，
∴∠DED'=180°-40°=140°。
根据折叠的性质：∠DEF=∠D'EF=$\frac{1}{2}$∠DED'=70°，∠EFC=∠EFC'，
∴∠EFB=∠DEF=70°，∠EFC=180°-70°=110°，
∴∠EFC'=110°，
∴∠BFC'=∠EFC'-∠EFB=110°-70°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题是折叠变换与平行线性质结合的基础应用题，解题的关键是准确找到折叠前后对应的相等角，结合平行线的角的关系逐步推导，是平行线章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在三角形$ABC$中,$D$为$AC$边上一点,过点$D$作$DE// AB$,交$BC$于点$E$.$F$为$AB$边上一点,连接$DF$并延长,交$CB$的延长线于点$G$,且$∠ DFA=∠ A$.
(1)试说明:$DE$平分$∠ CDF$;
(2)若$∠ C=80°,∠ ABC=60°$,求$∠ G$的度数.
(1)试说明:$DE$平分$∠ CDF$;
(2)若$∠ C=80°,∠ ABC=60°$,求$∠ G$的度数.
答案
10.解:(1)因为$DE// AB$,
所以$∠A=∠CDE,∠DFA=∠FDE$.
因为$∠DFA=∠A$,所以$∠CDE=∠FDE$,
所以$DE$平分$∠CDF$.
(2)因为$∠A+∠C+∠ABC=180^{\circ },∠C=80^{\circ },∠ABC=60^{\circ }$,所以$∠A=180^{\circ }-60^{\circ }-80^{\circ }=40^{\circ }$.
因为$∠DFA=∠A$,所以$∠GFB=∠DFA=40^{\circ }$.
因为$∠FBG=180^{\circ }-∠ABC=120^{\circ }$,
所以$∠G=180^{\circ }-∠FBG-∠GFB=180^{\circ }-120^{\circ }-40^{\circ }=20^{\circ }$.
所以$∠A=∠CDE,∠DFA=∠FDE$.
因为$∠DFA=∠A$,所以$∠CDE=∠FDE$,
所以$DE$平分$∠CDF$.
(2)因为$∠A+∠C+∠ABC=180^{\circ },∠C=80^{\circ },∠ABC=60^{\circ }$,所以$∠A=180^{\circ }-60^{\circ }-80^{\circ }=40^{\circ }$.
因为$∠DFA=∠A$,所以$∠GFB=∠DFA=40^{\circ }$.
因为$∠FBG=180^{\circ }-∠ABC=120^{\circ }$,
所以$∠G=180^{\circ }-∠FBG-∠GFB=180^{\circ }-120^{\circ }-40^{\circ }=20^{\circ }$.
解析
【分析】
(1)要证明DE平分∠CDF，只需证明∠CDE=∠FDE。首先结合已知DE//AB，可利用平行线的性质得到∠A与∠CDE、∠DFA与∠FDE的相等关系，再结合题目给出的∠DFA=∠A，通过等量代换即可推出两个角相等，完成证明。
(2)求∠G的度数时，首先在△ABC中利用三角形内角和定理算出∠A的度数，再通过已知条件和对顶角相等得到△GBF中∠GFB的度数，结合平角的定义求出∠FBG的度数，最后在△GBF中再次利用三角形内角和定理即可求出∠G的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ $DE//AB$，
∴ $∠A=∠CDE$（两直线平行，同位角相等），$∠DFA=∠FDE$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $∠DFA=∠A$，
∴ $∠CDE=∠FDE$（等量代换），
∴ $DE$平分$∠CDF$。
(2)解：
在$△ ABC$中，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-80°-60°=40°$。
∵ $∠DFA=∠A$，
∴ $∠DFA=40°$。
∵ $∠GFB$和$∠DFA$是对顶角，
∴ $∠GFB=∠DFA=40°$。
又
∵ $∠FBG$与$∠ABC$组成平角，
∴ $∠FBG=180°-∠ABC=180°-60°=120°$。
在$△ GBF$中，
$∠G=180°-∠FBG-∠GFB=180°-120°-40°=20°$。
【答案】
(1)DE平分∠CDF，证明成立；
(2)$∠G$的度数为$20°$。
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是平行线性质与三角形角度计算的综合基础题，解题的关键是熟练运用平行线的性质完成角的等量转化，结合三角形内角和、平角、对顶角等基础性质求解，是巩固几何角运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明DE平分∠CDF，只需证明∠CDE=∠FDE。首先结合已知DE//AB，可利用平行线的性质得到∠A与∠CDE、∠DFA与∠FDE的相等关系，再结合题目给出的∠DFA=∠A，通过等量代换即可推出两个角相等，完成证明。
(2)求∠G的度数时，首先在△ABC中利用三角形内角和定理算出∠A的度数，再通过已知条件和对顶角相等得到△GBF中∠GFB的度数，结合平角的定义求出∠FBG的度数，最后在△GBF中再次利用三角形内角和定理即可求出∠G的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ $DE//AB$，
∴ $∠A=∠CDE$（两直线平行，同位角相等），$∠DFA=∠FDE$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ $∠DFA=∠A$，
∴ $∠CDE=∠FDE$（等量代换），
∴ $DE$平分$∠CDF$。
(2)解：
在$△ ABC$中，三角形内角和为$180°$，
∴ $∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-80°-60°=40°$。
∵ $∠DFA=∠A$，
∴ $∠DFA=40°$。
∵ $∠GFB$和$∠DFA$是对顶角，
∴ $∠GFB=∠DFA=40°$。
又
∵ $∠FBG$与$∠ABC$组成平角，
∴ $∠FBG=180°-∠ABC=180°-60°=120°$。
在$△ GBF$中，
$∠G=180°-∠FBG-∠GFB=180°-120°-40°=20°$。
【答案】
(1)DE平分∠CDF，证明成立；
(2)$∠G$的度数为$20°$。
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是平行线性质与三角形角度计算的综合基础题，解题的关键是熟练运用平行线的性质完成角的等量转化，结合三角形内角和、平角、对顶角等基础性质求解，是巩固几何角运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.7
11.如图,点 C 在∠AOB 的一边 OA 上,过点 C 的直线 DE // OB,CF 平分∠ACD,CG⊥CF 于点 C.
(1)若∠O=40°,求∠ECF 的度数;
(2)试说明:CG 平分∠OCD;
(3)当∠O 为多少度时,CD 平分∠OCF,并说明理由.
第 11 题图
(1)若∠O=40°,求∠ECF 的度数;
(2)试说明:CG 平分∠OCD;
(3)当∠O 为多少度时,CD 平分∠OCF,并说明理由.
第 11 题图
答案
11.解:(1)因为$DE// OB$,所以$∠O=∠ACE$.
因为$∠O=40^{\circ }$,所以$∠ACE=40^{\circ }$.
因为$∠ACD+∠ACE=180^{\circ }$,所以$∠ACD=140^{\circ }$.
因为$CF$平分$∠ACD$,
所以$∠ACF=\frac {1}{2}∠ACD=70^{\circ }$,
所以$∠ECF=70^{\circ }+40^{\circ }=110^{\circ }$.
(2)因为$CG⊥CF$,所以$∠FCG=90^{\circ }$,
所以$∠DCG+∠DCF=90^{\circ }$.
又因为$∠ACO=180^{\circ }$,
所以$∠GCO+∠FCA=90^{\circ }$.
因为$∠ACF=∠DCF$,
所以$∠GCO=∠GCD$,
即$CG$平分$∠OCD$.
(3)结论:当$∠O=60^{\circ }$时,$CD$平分$∠OCF$.
理由:当$∠O=60^{\circ }$时,因为$DE// OB$,
所以$∠DCO=∠O=60^{\circ }$,
所以$∠ACD=120^{\circ }$.
又因为$CF$平分$∠ACD$,
所以$∠DCF=60^{\circ }$,
所以$∠DCO=∠DCF$,即$CD$平分$∠OCF$.
因为$∠O=40^{\circ }$,所以$∠ACE=40^{\circ }$.
因为$∠ACD+∠ACE=180^{\circ }$,所以$∠ACD=140^{\circ }$.
因为$CF$平分$∠ACD$,
所以$∠ACF=\frac {1}{2}∠ACD=70^{\circ }$,
所以$∠ECF=70^{\circ }+40^{\circ }=110^{\circ }$.
(2)因为$CG⊥CF$,所以$∠FCG=90^{\circ }$,
所以$∠DCG+∠DCF=90^{\circ }$.
又因为$∠ACO=180^{\circ }$,
所以$∠GCO+∠FCA=90^{\circ }$.
因为$∠ACF=∠DCF$,
所以$∠GCO=∠GCD$,
即$CG$平分$∠OCD$.
(3)结论:当$∠O=60^{\circ }$时,$CD$平分$∠OCF$.
理由:当$∠O=60^{\circ }$时,因为$DE// OB$,
所以$∠DCO=∠O=60^{\circ }$,
所以$∠ACD=120^{\circ }$.
又因为$CF$平分$∠ACD$,
所以$∠DCF=60^{\circ }$,
所以$∠DCO=∠DCF$,即$CD$平分$∠OCF$.
解析
【分析】
(1) 求∠ECF的度数时，先利用平行线的同位角相等，由DE//OB得到∠ACE=∠O，再根据邻补角定义求出∠ACD的度数，结合角平分线的性质算出∠ACF，最后通过∠ECF=∠ACF+∠ACE即可求出结果；
(2) 要说明CG平分∠OCD，只需证明∠GCO=∠GCD。已知CG⊥CF，可得∠FCG=90°，进而得到两组互余的角，再结合CF平分∠ACD的条件，利用等角的余角相等即可证明两个角相等；
(3) 探究∠O的度数时，可先结合CD平分∠OCF的结论得到∠DCO=∠DCF，再结合平行线、角平分线的性质推导∠O与相关角的数量关系，即可求出∠O的度数，也可正向代入角度验证结论。
【解析】
(1) 因为$DE// OB$，所以$∠O=∠ACE$。
因为$∠O=40°$，所以$∠ACE=40°$。
因为$∠ACD+∠ACE=180°$，所以$∠ACD=140°$。
因为$CF$平分$∠ACD$，
所以$∠ACF=\frac{1}{2}∠ACD=70°$，
所以$∠ECF=70°+40°=110°$。
(2) 因为$CG⊥CF$，所以$∠FCG=90°$，
所以$∠DCG+∠DCF=90°$。
又因为平角为$180°$，即$∠ACO=180°$，
所以$∠GCO+∠FCA=90°$。
因为$CF$平分$∠ACD$，所以$∠ACF=∠DCF$，
根据等角的余角相等可得$∠GCO=∠GCD$，
即$CG$平分$∠OCD$。
(3) 结论：当$∠O=60°$时，$CD$平分$∠OCF$。
理由：当$∠O=60°$时，因为$DE// OB$，
所以$∠DCO=∠O=60°$，
所以$∠ACD=180°-∠DCO=120°$。
又因为$CF$平分$∠ACD$，
所以$∠DCF=\frac{1}{2}∠ACD=60°$，
所以$∠DCO=∠DCF$，即$CD$平分$∠OCF$。
【答案】
(1) $\boxed{110°}$
(2) CG平分∠OCD，证明如上
(3) 当$\boxed{∠O=60°}$时，CD平分∠OCF，理由如上
【知识点】
平行线的性质；角平分线的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查了平行线、角平分线、垂线的相关性质，解题的关键是结合图形理清角之间的和差、等量关系，第三问属于探究类问题，可正向验证也可逆向推导，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠ECF的度数时，先利用平行线的同位角相等，由DE//OB得到∠ACE=∠O，再根据邻补角定义求出∠ACD的度数，结合角平分线的性质算出∠ACF，最后通过∠ECF=∠ACF+∠ACE即可求出结果；
(2) 要说明CG平分∠OCD，只需证明∠GCO=∠GCD。已知CG⊥CF，可得∠FCG=90°，进而得到两组互余的角，再结合CF平分∠ACD的条件，利用等角的余角相等即可证明两个角相等；
(3) 探究∠O的度数时，可先结合CD平分∠OCF的结论得到∠DCO=∠DCF，再结合平行线、角平分线的性质推导∠O与相关角的数量关系，即可求出∠O的度数，也可正向代入角度验证结论。
【解析】
(1) 因为$DE// OB$，所以$∠O=∠ACE$。
因为$∠O=40°$，所以$∠ACE=40°$。
因为$∠ACD+∠ACE=180°$，所以$∠ACD=140°$。
因为$CF$平分$∠ACD$，
所以$∠ACF=\frac{1}{2}∠ACD=70°$，
所以$∠ECF=70°+40°=110°$。
(2) 因为$CG⊥CF$，所以$∠FCG=90°$，
所以$∠DCG+∠DCF=90°$。
又因为平角为$180°$，即$∠ACO=180°$，
所以$∠GCO+∠FCA=90°$。
因为$CF$平分$∠ACD$，所以$∠ACF=∠DCF$，
根据等角的余角相等可得$∠GCO=∠GCD$，
即$CG$平分$∠OCD$。
(3) 结论：当$∠O=60°$时，$CD$平分$∠OCF$。
理由：当$∠O=60°$时，因为$DE// OB$，
所以$∠DCO=∠O=60°$，
所以$∠ACD=180°-∠DCO=120°$。
又因为$CF$平分$∠ACD$，
所以$∠DCF=\frac{1}{2}∠ACD=60°$，
所以$∠DCO=∠DCF$，即$CD$平分$∠OCF$。
【答案】
(1) $\boxed{110°}$
(2) CG平分∠OCD，证明如上
(3) 当$\boxed{∠O=60°}$时，CD平分∠OCF，理由如上
【知识点】
平行线的性质；角平分线的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查了平行线、角平分线、垂线的相关性质，解题的关键是结合图形理清角之间的和差、等量关系，第三问属于探究类问题，可正向验证也可逆向推导，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
