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一、选择题
1. 下列命题中，真命题是 （
A.四边相等的四边形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分
D.矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
1. 下列命题中，真命题是 （
B
）A.四边相等的四边形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分
D.矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查特殊平行四边形的判定与性质及真假命题的判断，解题时需逐个分析选项，结合矩形、菱形、正方形的相关性质和判定定理，逐一排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：四边相等的四边形是菱形，若要判定为正方形，还需满足有一个内角为直角（或对角线相等）的条件，因此A是假命题；
选项B：菱形是特殊的平行四边形，其对角线互相垂直平分，若菱形的对角线相等，则该菱形同时满足矩形的判定条件（对角线相等的平行四边形是矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形，因此B是真命题；
选项C：正方形的对角线不仅相等，还互相垂直平分且平分每一组对角，因此C是假命题；
选项D：矩形和正方形的对角线相等，但菱形的对角线仅互相垂直平分，不一定相等，因此D是假命题。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.正方形的判定与性质
2.菱形的性质
3.矩形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分矩形、菱形、正方形的性质和判定差异，只要准确记忆各类特殊平行四边形的相关概念，避免混淆性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊平行四边形的判定与性质及真假命题的判断，解题时需逐个分析选项，结合矩形、菱形、正方形的相关性质和判定定理，逐一排除错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：四边相等的四边形是菱形，若要判定为正方形，还需满足有一个内角为直角（或对角线相等）的条件，因此A是假命题；
选项B：菱形是特殊的平行四边形，其对角线互相垂直平分，若菱形的对角线相等，则该菱形同时满足矩形的判定条件（对角线相等的平行四边形是矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形，因此B是真命题；
选项C：正方形的对角线不仅相等，还互相垂直平分且平分每一组对角，因此C是假命题；
选项D：矩形和正方形的对角线相等，但菱形的对角线仅互相垂直平分，不一定相等，因此D是假命题。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.正方形的判定与性质
2.菱形的性质
3.矩形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分矩形、菱形、正方形的性质和判定差异，只要准确记忆各类特殊平行四边形的相关概念，避免混淆性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE. 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF. 有下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③$S_{△ FGC}=\frac{9}{10}$. 其中正确的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
）A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
2.B
解析
【分析】
首先梳理已知条件：正方形ABCD边长为3，由CD=3DE可得DE=1、EC=2；折叠后△ADE与△AFE全等，可得AF=AD=AB、∠AFG=∠B=90°，可先通过HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得到BG=FG。接下来设BG为x，用含x的式子表示EG、GC的长度，在Rt△EGC中利用勾股定理列方程求出x，即可判断结论①；再通过相似三角形求出FC的长度，和FG比较判断结论②；最后计算△FGC的面积判断结论③即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AD=AB=BC=CD=3，∠B=∠D=∠BCD=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=1，EC=CD-DE=2，
将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD=3，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，
∴AF=AB，∠AFG=∠B=90°，
又
∵AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则GC=3-x，EG=EF+FG=1+x，
在Rt△EGC中，由勾股定理得：$EG^2=EC^2+GC^2$，
即$(1+x)^2=2^2+(3-x)^2$，
展开得：$1+2x+x^2=4+9-6x+x^2$，
化简得：$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，
∴$BG=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}BC$，即G是BC中点，故①正确；
$FG=\frac{3}{2}$，$GC=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，$EG=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，
过F作FH⊥BC于点H，
∴FH//EC，
∴△GFH∽△GEC，相似比为$\frac{FG}{EG}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}$，
∴$FH=EC×\frac{3}{5}=2×\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$，
∴$S_{△ FGC}=\frac{1}{2}×GC×FH=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{6}{5}=\frac{9}{10}$，故③正确；
又$GH=GC×\frac{3}{5}=\frac{3}{2}×\frac{3}{5}=\frac{9}{10}$，
∴$HC=GC-GH=\frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}$，
在Rt△FHC中，$FC=\sqrt{FH^2+HC^2}=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{3}{5})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{5}≠\frac{3}{2}=FG$，故②错误；
综上，正确的是①③。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形折叠类综合题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的边和角，结合全等三角形、勾股定理求解未知线段，再通过相似三角形或者面积公式验证相关结论，解题时注意运用设未知数列方程的方法简化计算。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：正方形ABCD边长为3，由CD=3DE可得DE=1、EC=2；折叠后△ADE与△AFE全等，可得AF=AD=AB、∠AFG=∠B=90°，可先通过HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得到BG=FG。接下来设BG为x，用含x的式子表示EG、GC的长度，在Rt△EGC中利用勾股定理列方程求出x，即可判断结论①；再通过相似三角形求出FC的长度，和FG比较判断结论②；最后计算△FGC的面积判断结论③即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AD=AB=BC=CD=3，∠B=∠D=∠BCD=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=1，EC=CD-DE=2，
将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD=3，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，
∴AF=AB，∠AFG=∠B=90°，
又
∵AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则GC=3-x，EG=EF+FG=1+x，
在Rt△EGC中，由勾股定理得：$EG^2=EC^2+GC^2$，
即$(1+x)^2=2^2+(3-x)^2$，
展开得：$1+2x+x^2=4+9-6x+x^2$，
化简得：$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，
∴$BG=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}BC$，即G是BC中点，故①正确；
$FG=\frac{3}{2}$，$GC=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，$EG=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，
过F作FH⊥BC于点H，
∴FH//EC，
∴△GFH∽△GEC，相似比为$\frac{FG}{EG}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}$，
∴$FH=EC×\frac{3}{5}=2×\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$，
∴$S_{△ FGC}=\frac{1}{2}×GC×FH=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{6}{5}=\frac{9}{10}$，故③正确；
又$GH=GC×\frac{3}{5}=\frac{3}{2}×\frac{3}{5}=\frac{9}{10}$，
∴$HC=GC-GH=\frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}$，
在Rt△FHC中，$FC=\sqrt{FH^2+HC^2}=\sqrt{(\frac{6}{5})^2+(\frac{3}{5})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{5}≠\frac{3}{2}=FG$，故②错误；
综上，正确的是①③。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形折叠类综合题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的边和角，结合全等三角形、勾股定理求解未知线段，再通过相似三角形或者面积公式验证相关结论，解题时注意运用设未知数列方程的方法简化计算。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°。已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（
A.25
B.20
C.15
D.10
B
）A.25
B.20
C.15
D.10
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边长度相等，对角线平分一组对角。首先根据∠BAD=120°，结合AC平分∠BAD可推出∠BAC=60°，再结合菱形中AB=BC的特点，可判定△ABC是等边三角形，随后根据△ABC的周长求出其边长，也就是菱形的边长，最后用边长乘4即可得到菱形的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=60°$，
又
∵AB=BC，
∴△ABC是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
已知△ABC的周长是15，
∴$AB=15÷3=5$，
∴菱形ABCD的周长$=4× AB=4×5=20$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是结合菱形的性质判定△ABC为等边三角形，从而快速得到菱形的边长，计算周长时要注意区分三角形和菱形的周长计算规则，熟练掌握特殊几何图形的性质可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边长度相等，对角线平分一组对角。首先根据∠BAD=120°，结合AC平分∠BAD可推出∠BAC=60°，再结合菱形中AB=BC的特点，可判定△ABC是等边三角形，随后根据△ABC的周长求出其边长，也就是菱形的边长，最后用边长乘4即可得到菱形的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BAD=60°$，
又
∵AB=BC，
∴△ABC是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
已知△ABC的周长是15，
∴$AB=15÷3=5$，
∴菱形ABCD的周长$=4× AB=4×5=20$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是结合菱形的性质判定△ABC为等边三角形，从而快速得到菱形的边长，计算周长时要注意区分三角形和菱形的周长计算规则，熟练掌握特殊几何图形的性质可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 如图，DE是$△ ABC$的中位线，过点C作$CF // BD$交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（
A.$EF=CF$
B.$EF=DE$
C.$CF＜BD$
D.$EF＞DE$
B
）A.$EF=CF$
B.$EF=DE$
C.$CF＜BD$
D.$EF＞DE$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且经过对应边的中点，可得点E是AC中点，即AE=CE；再结合CF//BD的条件，可推出AB与CF平行，得到一组内错角相等，结合对顶角相等即可证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等就能得到DE和EF的数量关系，最后逐一验证选项即可。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，即$AE=CE$，且$AD=BD$，$DE// BC$。
又
∵$CF// BD$，
∴$CF// AB$，可得$∠ A=∠ ECF$。
在$△ ADE$和$△ CFE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ ECF\\AE=CE\\∠ AED=∠ CEF（对顶角相等）\end{array} $
∴$△ ADE≌△ CFE（ASA）$，
∴$DE=EF$，故B选项正确，D选项错误；
由全等可得$AD=CF$，结合$AD=BD$，可得$CF=BD$，故C选项错误；
题中无已知条件可证明$EF=CF$，故A选项错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用中位线的性质得到线段相等与平行关系，再通过全等三角形推导线段的等量关系，是中位线和全等三角形结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且经过对应边的中点，可得点E是AC中点，即AE=CE；再结合CF//BD的条件，可推出AB与CF平行，得到一组内错角相等，结合对顶角相等即可证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等就能得到DE和EF的数量关系，最后逐一验证选项即可。
【解析】
∵DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，即$AE=CE$，且$AD=BD$，$DE// BC$。
又
∵$CF// BD$，
∴$CF// AB$，可得$∠ A=∠ ECF$。
在$△ ADE$和$△ CFE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ ECF\\AE=CE\\∠ AED=∠ CEF（对顶角相等）\end{array} $
∴$△ ADE≌△ CFE（ASA）$，
∴$DE=EF$，故B选项正确，D选项错误；
由全等可得$AD=CF$，结合$AD=BD$，可得$CF=BD$，故C选项错误；
题中无已知条件可证明$EF=CF$，故A选项错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用中位线的性质得到线段相等与平行关系，再通过全等三角形推导线段的等量关系，是中位线和全等三角形结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（
A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.2
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，由此可推出OA=OD，结合已知∠AOD=60°，可判定△AOD是等边三角形，得到OA的长度后，再根据AC=2OA即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OD$，
又
∵$∠ AOD=60°$，
∴$△ AOD$是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴$OA=AD=2$，
∴$AC=2OA=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是矩形性质和等边三角形判定的综合基础题，解题的关键是利用矩形对角线的性质得到等腰$△ AOD$，再结合60°的特殊角判断其为等边三角形，从而快速求出对角线长度。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，由此可推出OA=OD，结合已知∠AOD=60°，可判定△AOD是等边三角形，得到OA的长度后，再根据AC=2OA即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等且互相平分，即$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OD$，
又
∵$∠ AOD=60°$，
∴$△ AOD$是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴$OA=AD=2$，
∴$AC=2OA=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是矩形性质和等边三角形判定的综合基础题，解题的关键是利用矩形对角线的性质得到等腰$△ AOD$，再结合60°的特殊角判断其为等边三角形，从而快速求出对角线长度。
【难度系数】
0.8
6. 四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
① $AD// BC$；② $AD=BC$；③ $OA=OC$；④ $OB=OD$。
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有 （
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
① $AD// BC$；② $AD=BC$；③ $OA=OC$；④ $OB=OD$。
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有 （
B
）A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
答案
6.B
解析
【分析】
解决本题的核心思路是：先罗列出从4个条件中任选2个的所有组合，再结合平行四边形的判定定理，逐一验证每种组合是否能判定四边形ABCD为平行四边形，最后统计符合要求的组合数即可。验证时可结合平行线性质、全等三角形判定等知识推导边或对角线的关系，注意“边边角”不能判定三角形全等，避免判断错误。
【解析】
从4个条件中任选2个，共有6种组合，逐一验证如下：
1. 选条件①②：
∵$AD// BC$且$AD=BC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，符合要求；
2. 选条件①③：
∵$AD// BC$，
∴$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，
又
∵$OA=OC$，
∴$△ AOD≌△ COB$（AAS），
∴$OB=OD$，即对角线AC、BD互相平分，可判定四边形ABCD是平行四边形，符合要求；
3. 选条件①④：
与选①③的推导同理，由$AD// BC$得对应角相等，结合$OB=OD$可证$△ AOD≌△ COB$（AAS），得$OA=OC$，对角线互相平分，可判定是平行四边形，符合要求；
4. 选条件②③：
仅给出$AD=BC$、$OA=OC$，无法证明$△ AOD$与$△ COB$全等（边边角不能判定三角形全等），无法推导出平行四边形判定所需的边或对角线的关系，不能判定是平行四边形，不符合要求；
5. 选条件②④：
与选②③同理，仅$AD=BC$、$OB=OD$，无法证明三角形全等，不能判定是平行四边形，不符合要求；
6. 选条件③④：
∵$OA=OC$，$OB=OD$，即对角线AC、BD互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定是平行四边形，符合要求。
综上，符合要求的选法共有4种。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题重点考查平行四边形判定定理的灵活运用，解题时需对所有组合有序验证，避免漏选或错选，同时要注意全等三角形判定的适用条件，不要误用“边边角”判定全等。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是：先罗列出从4个条件中任选2个的所有组合，再结合平行四边形的判定定理，逐一验证每种组合是否能判定四边形ABCD为平行四边形，最后统计符合要求的组合数即可。验证时可结合平行线性质、全等三角形判定等知识推导边或对角线的关系，注意“边边角”不能判定三角形全等，避免判断错误。
【解析】
从4个条件中任选2个，共有6种组合，逐一验证如下：
1. 选条件①②：
∵$AD// BC$且$AD=BC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形ABCD是平行四边形，符合要求；
2. 选条件①③：
∵$AD// BC$，
∴$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$，
又
∵$OA=OC$，
∴$△ AOD≌△ COB$（AAS），
∴$OB=OD$，即对角线AC、BD互相平分，可判定四边形ABCD是平行四边形，符合要求；
3. 选条件①④：
与选①③的推导同理，由$AD// BC$得对应角相等，结合$OB=OD$可证$△ AOD≌△ COB$（AAS），得$OA=OC$，对角线互相平分，可判定是平行四边形，符合要求；
4. 选条件②③：
仅给出$AD=BC$、$OA=OC$，无法证明$△ AOD$与$△ COB$全等（边边角不能判定三角形全等），无法推导出平行四边形判定所需的边或对角线的关系，不能判定是平行四边形，不符合要求；
5. 选条件②④：
与选②③同理，仅$AD=BC$、$OB=OD$，无法证明三角形全等，不能判定是平行四边形，不符合要求；
6. 选条件③④：
∵$OA=OC$，$OB=OD$，即对角线AC、BD互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定是平行四边形，符合要求。
综上，符合要求的选法共有4种。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题重点考查平行四边形判定定理的灵活运用，解题时需对所有组合有序验证，避免漏选或错选，同时要注意全等三角形判定的适用条件，不要误用“边边角”判定全等。
【难度系数】
0.7
