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9. 如图，一个平行四边形被分成面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$的四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，则$S_1S_4$与$S_2S_3$的大小关系为
$S_1 S_4 = S_2 S_3$
。答案
9. $S_1 S_4 = S_2 S_3$
解析
【分析】
题目中CD沿AB平行滑动时，四个小四边形始终是平行四边形，可利用平行四边形面积公式推导二者关系：首先观察到同列的$S_1$和$S_2$底相等，$S_3$和$S_4$底相等；同行的$S_1$和$S_3$高相等，$S_2$和$S_4$高相等。我们可以通过设参数表示四个小平行四边形的底和高，分别计算两个乘积后对比结果即可，滑动过程中底和高的对应关系不变，不影响最终乘积的大小。
【解析】
设竖直分割线将大平行四边形的水平对边分成长度为$a$、$b$的两段，水平分割线将大平行四边形竖直方向的高分为$h_1$（上方部分的高）、$h_2$（下方部分的高）。
根据平行四边形面积=底×高，可得：
$S_1 = a h_1$，$S_2 = a h_2$，$S_3 = b h_1$，$S_4 = b h_2$
分别计算乘积：
$S_1 S_4 = a h_1 · b h_2 = ab h_1 h_2$
$S_2 S_3 = a h_2 · b h_1 = ab h_1 h_2$
因此可得$S_1 S_4 = S_2 S_3$。
【答案】
$S_1 S_4 = S_2 S_3$
【知识点】
平行四边形面积公式；代数式运算
【点评】
本题考查平行四边形面积公式的应用，解题的关键是找到四个小平行四边形底、高的公共关系，通过设参数的方法将面积量化后比较，无需被CD滑动的动态条件迷惑，二者的乘积关系不受滑动位置影响，是平行四边形面积相关的典型结论题。
【难度系数】
0.7
题目中CD沿AB平行滑动时，四个小四边形始终是平行四边形，可利用平行四边形面积公式推导二者关系：首先观察到同列的$S_1$和$S_2$底相等，$S_3$和$S_4$底相等；同行的$S_1$和$S_3$高相等，$S_2$和$S_4$高相等。我们可以通过设参数表示四个小平行四边形的底和高，分别计算两个乘积后对比结果即可，滑动过程中底和高的对应关系不变，不影响最终乘积的大小。
【解析】
设竖直分割线将大平行四边形的水平对边分成长度为$a$、$b$的两段，水平分割线将大平行四边形竖直方向的高分为$h_1$（上方部分的高）、$h_2$（下方部分的高）。
根据平行四边形面积=底×高，可得：
$S_1 = a h_1$，$S_2 = a h_2$，$S_3 = b h_1$，$S_4 = b h_2$
分别计算乘积：
$S_1 S_4 = a h_1 · b h_2 = ab h_1 h_2$
$S_2 S_3 = a h_2 · b h_1 = ab h_1 h_2$
因此可得$S_1 S_4 = S_2 S_3$。
【答案】
$S_1 S_4 = S_2 S_3$
【知识点】
平行四边形面积公式；代数式运算
【点评】
本题考查平行四边形面积公式的应用，解题的关键是找到四个小平行四边形底、高的公共关系，通过设参数的方法将面积量化后比较，无需被CD滑动的动态条件迷惑，二者的乘积关系不受滑动位置影响，是平行四边形面积相关的典型结论题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
答案
10. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠EAC = ∠FCA.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA = OC，∠EOA = ∠FOC，EA = EC. 在△EOA和△FOC中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠EOA=∠FOC，
∴△EOA≌△FOC.
∴AE = CF.
∴四边形AFCE是平行四边形. 又
∵EA = EC，
∴四边形AFCE是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠EAC = ∠FCA.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA = OC，∠EOA = ∠FOC，EA = EC. 在△EOA和△FOC中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠EOA=∠FOC，
∴△EOA≌△FOC.
∴AE = CF.
∴四边形AFCE是平行四边形. 又
∵EA = EC，
∴四边形AFCE是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形AFCE是菱形，我们优先选择“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的判定路径：首先利用平行四边形ABCD的对边平行得到内错角相等，再结合AC垂直平分线的性质找到相等的线段和角，证明△EOA和△FOC全等，得到一组对边平行且相等，即可判定AFCE是平行四边形；最后利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得到一组邻边相等，即可证明该平行四边形是菱形。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAC = ∠FCA。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA = OC，∠EOA = ∠FOC=90°，EA = EC。
在△EOA和△FOC中，
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FCO\\ AO=CO\\ ∠ EOA=∠ FOC\end{array} $
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴AE = CF。
又
∵AE//CF，
∴四边形AFCE是平行四边形。
又
∵EA = EC，
∴四边形AFCE是菱形。
【答案】
四边形AFCE是菱形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题是四边形证明的基础题型，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定和性质，结合三角形全等、线段垂直平分线的性质按逻辑推导即可，解题时可根据已知条件灵活选择菱形的判定方法，简化推导过程。
【难度系数】
0.7
要证明四边形AFCE是菱形，我们优先选择“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的判定路径：首先利用平行四边形ABCD的对边平行得到内错角相等，再结合AC垂直平分线的性质找到相等的线段和角，证明△EOA和△FOC全等，得到一组对边平行且相等，即可判定AFCE是平行四边形；最后利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得到一组邻边相等，即可证明该平行四边形是菱形。
【解析】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAC = ∠FCA。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA = OC，∠EOA = ∠FOC=90°，EA = EC。
在△EOA和△FOC中，
$\{\begin{array}{l}∠ EAO=∠ FCO\\ AO=CO\\ ∠ EOA=∠ FOC\end{array} $
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴AE = CF。
又
∵AE//CF，
∴四边形AFCE是平行四边形。
又
∵EA = EC，
∴四边形AFCE是菱形。
【答案】
四边形AFCE是菱形，证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题是四边形证明的基础题型，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定和性质，结合三角形全等、线段垂直平分线的性质按逻辑推导即可，解题时可根据已知条件灵活选择菱形的判定方法，简化推导过程。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在平行四边形ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长. 
答案
11. 4
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到已知对应边的长度和边的平行关系；再结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，推导得出相等的角，进而判定等腰三角形，得到CF的长度；最后用CF的长度减去CD的长度即可求出DF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD=BC=10，AB//CD（即AB//CF），
∴∠ABF=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠F，
∴BC=CF=10，
∴DF=CF - CD=10 - 6=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是掌握“平行线+角平分线”的常见几何模型，可快速推导得到等腰三角形进而得到对应边相等，是平行四边形相关计算中的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到已知对应边的长度和边的平行关系；再结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，推导得出相等的角，进而判定等腰三角形，得到CF的长度；最后用CF的长度减去CD的长度即可求出DF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD=BC=10，AB//CD（即AB//CF），
∴∠ABF=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠F，
∴BC=CF=10，
∴DF=CF - CD=10 - 6=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是掌握“平行线+角平分线”的常见几何模型，可快速推导得到等腰三角形进而得到对应边相等，是平行四边形相关计算中的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
(1)求证：BM=MN；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长.
(1)求证：BM=MN；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长.
答案
12. (1)略 (2) $\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1)要证明BM=MN，可分别推导两条线段与AC、AD的数量关系：首先在Rt△ABC中，利用直角三角形斜边中线的性质可得BM=½AC；再由M、N是AC、CD的中点，根据三角形中位线定理可得MN=½AD，结合已知AC=AD，等量代换即可证明结论。
(2)求BN的长度时，先结合角平分线的性质和已知角度推导∠BMN的度数：由AC平分∠BAD可得∠BAC=∠CAD=30°，先通过等腰三角形外角性质求出∠BMC=60°，再根据中位线平行于第三边的性质得到∠NMC=30°，即可推出∠BMN=90°，结合(1)的结论可知△BMN是等腰直角三角形，代入AC的长度求出BM、MN的长后，用勾股定理即可计算BN的长度。
【解析】
(1)证明：
∵∠ABC=90°，M是AC的中点，
∴在Rt△ABC中，BM是斜边AC的中线，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC。
又
∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD，且MN//AD。
已知AC=AD，
∴$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AD，即BM=MN。
(2)解：
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD=30°。
由(1)可知BM=$\frac{1}{2}$AC，又AM=$\frac{1}{2}$AC，
∴BM=AM，
∴∠BAM=∠ABM=30°，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=60°。
由(1)知MN//AD，
∴∠NMC=∠CAD=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=60°+30°=90°。
∵AC=2，
∴BM=MN=$\frac{1}{2}$AC=1，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：
BN=$\sqrt{BM^2+MN^2}$=$\sqrt{1^2+1^2}$=$\sqrt{2}$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\sqrt{2}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题的核心是熟练运用直角三角形斜边中线、三角形中位线的性质推导边与角的关系，第二问需先判断三角形的形状再进行边长计算，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)要证明BM=MN，可分别推导两条线段与AC、AD的数量关系：首先在Rt△ABC中，利用直角三角形斜边中线的性质可得BM=½AC；再由M、N是AC、CD的中点，根据三角形中位线定理可得MN=½AD，结合已知AC=AD，等量代换即可证明结论。
(2)求BN的长度时，先结合角平分线的性质和已知角度推导∠BMN的度数：由AC平分∠BAD可得∠BAC=∠CAD=30°，先通过等腰三角形外角性质求出∠BMC=60°，再根据中位线平行于第三边的性质得到∠NMC=30°，即可推出∠BMN=90°，结合(1)的结论可知△BMN是等腰直角三角形，代入AC的长度求出BM、MN的长后，用勾股定理即可计算BN的长度。
【解析】
(1)证明：
∵∠ABC=90°，M是AC的中点，
∴在Rt△ABC中，BM是斜边AC的中线，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC。
又
∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD，且MN//AD。
已知AC=AD，
∴$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AD，即BM=MN。
(2)解：
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD=30°。
由(1)可知BM=$\frac{1}{2}$AC，又AM=$\frac{1}{2}$AC，
∴BM=AM，
∴∠BAM=∠ABM=30°，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=60°。
由(1)知MN//AD，
∴∠NMC=∠CAD=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=60°+30°=90°。
∵AC=2，
∴BM=MN=$\frac{1}{2}$AC=1，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：
BN=$\sqrt{BM^2+MN^2}$=$\sqrt{1^2+1^2}$=$\sqrt{2}$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\sqrt{2}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题的核心是熟练运用直角三角形斜边中线、三角形中位线的性质推导边与角的关系，第二问需先判断三角形的形状再进行边长计算，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ. 当$△ CDQ ≌ △ CPQ$时，求AQ的长. 
答案
13. $\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知全等三角形的性质，得到对应边相等的关系，再利用矩形对边相等、内角为直角的性质，先在Rt△PBC中用勾股定理求出PB的长度，进而得到AP的长；最后设AQ的长为未知数，结合全等得到的PQ=DQ的关系，在Rt△APQ中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，CD=AB=5，BC=AD=3。
∵△CDQ ≌ △CPQ，
∴CP=CD=5，PQ=DQ。
在Rt△PBC中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{CP^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$，
∴$AP=AB-PB=5-4=1$。
设$AQ=x$，则$DQ=AD-AQ=3-x$，
∴$PQ=DQ=3-x$。
在Rt△APQ中，由勾股定理得：
$AQ^2+AP^2=PQ^2$，即$x^2+1^2=(3-x)^2$，
展开得：$x^2+1=9-6x+x^2$，
化简得：$6x=8$，解得$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是利用全等三角形的性质转化相等线段，再结合勾股定理建立方程求解，体现了数形结合的思想，是平面几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知全等三角形的性质，得到对应边相等的关系，再利用矩形对边相等、内角为直角的性质，先在Rt△PBC中用勾股定理求出PB的长度，进而得到AP的长；最后设AQ的长为未知数，结合全等得到的PQ=DQ的关系，在Rt△APQ中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，CD=AB=5，BC=AD=3。
∵△CDQ ≌ △CPQ，
∴CP=CD=5，PQ=DQ。
在Rt△PBC中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{CP^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$，
∴$AP=AB-PB=5-4=1$。
设$AQ=x$，则$DQ=AD-AQ=3-x$，
∴$PQ=DQ=3-x$。
在Rt△APQ中，由勾股定理得：
$AQ^2+AP^2=PQ^2$，即$x^2+1^2=(3-x)^2$，
展开得：$x^2+1=9-6x+x^2$，
化简得：$6x=8$，解得$x=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是利用全等三角形的性质转化相等线段，再结合勾股定理建立方程求解，体现了数形结合的思想，是平面几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
