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10.已知函数 $ f(x)=\begin{cases}2x, & x＞0, \\ f(x+1), & x≤ 0,\end{cases}$ 则 $ f(-1)+f(1)= $ ______ .
答案
10.4 因为$f(x)=\begin{cases}2x, & x＞0, \\ f(x+1), & x≤ 0,\end{cases}$ 所以$f(-1)=f(0)=f(1)=2$,故$f(-1)+f(1)=4$.
11.已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且满足以下两个条件：①对任意$x,y\in\mathbf{R}$，都有$f(x+y)=f(x)+f(y)$；②当$x＞0$时，$f(x)＜0$，且$f(1)=-5$，则函数$f(x)$在$[-2,3]$上的最大值为
10
。答案
11.10 设$x_1,x_2\in\mathbf{R}$,且$x_1＜x_2$,所以$x_2-x_1＞0$.由条件②,得$f(x_2-x_1)＜0$.由条件①,得$f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)$,所以$f(x_2)-f(x_1)=f(x_2-x_1)＜0$,即$f(x_2)＜f(x_1)$,所以$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上单调递减的奇函数.因为$f(1)=-5$,所以$f(x)$在$[-2,3]$上的最大值为$f(-2)=f(-1)+f(-1)=-f(1)-f(1)=10$.
12.已知函数$f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}.$
(1)求$f(x)$的定义域；
(2)求$f(-3),f(1)$的值.
(1)求$f(x)$的定义域；
(2)求$f(-3),f(1)$的值.
答案
12.解:(1)因为$f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$,所以$\begin{cases}x+3≥0, \\x-2≠0,\end{cases}$所以$x≥-3$,且$x≠2$,所以$f(x)$的定义域为$[-3,2)\cup(2,+∞)$.
(2)因为$f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$,所以$f(-3)=\sqrt{-3+3}+\frac{1}{-3-2}=0-\frac{1}{5}=-\frac{1}{5}$,$f(1)=\sqrt{1+3}+\frac{1}{1-2}=2-1=1$.
(2)因为$f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$,所以$f(-3)=\sqrt{-3+3}+\frac{1}{-3-2}=0-\frac{1}{5}=-\frac{1}{5}$,$f(1)=\sqrt{1+3}+\frac{1}{1-2}=2-1=1$.
13.已知$f(x)=\frac{x}{x^2+4},x\in[-2,2]$。
(1)判断$f(x)$的奇偶性,并说明理由；
(2)求证:函数$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增；
(3)若不等式$f(x)≤ a^2-\frac{7}{4}$对任意的$x\in[-2,2]$恒成立,求实数$a$的取值范围。
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(1)判断$f(x)$的奇偶性,并说明理由；
(2)求证:函数$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增；
(3)若不等式$f(x)≤ a^2-\frac{7}{4}$对任意的$x\in[-2,2]$恒成立,求实数$a$的取值范围。
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答案
13.解:(1)$f(x)$为奇函数.理由如下:
当$x\in[-2,2]$时,$-x\in[-2,2]$,所以$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+4}=\frac{-x}{x^2+4}=-f(x)$,故$f(x)$为奇函数.
(2)证明:令$-2≤ x_1＜x_2≤2$,则$f(x_1)-f(x_2)$
$=\frac{x_1}{x_1^2+4}-\frac{x_2}{x_2^2+4}$
$=\frac{x_1(x_2^2+4)-x_2(x_1^2+4)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}$
$=\frac{x_1x_2(x_2-x_1)+4(x_1-x_2)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}$
$=\frac{(x_2-x_1)(x_1x_2-4)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}$.
因为$-2≤ x_1＜x_2≤2$,
所以$x_2-x_1＞0$,$x_1x_2-4＜0$,$x_1^2+4＞0$,$x_2^2+4＞0$,
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$,
所以$f(x_1)＜f(x_2)$,
所以函数$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增.
(3)因为$f(x)≤ a^2-\frac{7}{4}$对任意的$x\in[-2,2]$恒成立,且由(2),知$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增,所以$f(x)_{\mathrm{max}}=f(2)=\frac{1}{4}$,所以$a^2-\frac{7}{4}≥\frac{1}{4}$,即$a^2≥2$,解得$a≥\sqrt{2}$或$a≤-\sqrt{2}$,所以$a\in(-∞,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+∞)$.
当$x\in[-2,2]$时,$-x\in[-2,2]$,所以$f(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+4}=\frac{-x}{x^2+4}=-f(x)$,故$f(x)$为奇函数.
(2)证明:令$-2≤ x_1＜x_2≤2$,则$f(x_1)-f(x_2)$
$=\frac{x_1}{x_1^2+4}-\frac{x_2}{x_2^2+4}$
$=\frac{x_1(x_2^2+4)-x_2(x_1^2+4)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}$
$=\frac{x_1x_2(x_2-x_1)+4(x_1-x_2)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}$
$=\frac{(x_2-x_1)(x_1x_2-4)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}$.
因为$-2≤ x_1＜x_2≤2$,
所以$x_2-x_1＞0$,$x_1x_2-4＜0$,$x_1^2+4＞0$,$x_2^2+4＞0$,
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$,
所以$f(x_1)＜f(x_2)$,
所以函数$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增.
(3)因为$f(x)≤ a^2-\frac{7}{4}$对任意的$x\in[-2,2]$恒成立,且由(2),知$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增,所以$f(x)_{\mathrm{max}}=f(2)=\frac{1}{4}$,所以$a^2-\frac{7}{4}≥\frac{1}{4}$,即$a^2≥2$,解得$a≥\sqrt{2}$或$a≤-\sqrt{2}$,所以$a\in(-∞,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+∞)$.
14.已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，且$f(0)=1$.
(1)若函数$f(x)$的最小值为$f(-1)=0$，求$f(x)$的解析式；
(2)若$b=-2$，求函数$f(x)$在区间$[0,2]$上的最小值.
(提示:(1)根据$f(0)=1$，最小值$f(-1)=0$列出方程(方程组);(2)二次函数$f(x)$的解析式中$a$不确定，故需要根据开口方向和对称轴的位置进行分类讨论)
(1)若函数$f(x)$的最小值为$f(-1)=0$，求$f(x)$的解析式；
(2)若$b=-2$，求函数$f(x)$在区间$[0,2]$上的最小值.
(提示:(1)根据$f(0)=1$，最小值$f(-1)=0$列出方程(方程组);(2)二次函数$f(x)$的解析式中$a$不确定，故需要根据开口方向和对称轴的位置进行分类讨论)
答案
14.解:(1)因为二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$,且$f(0)=1$,所以$c=1$.
由题意,得$\begin{cases}a＞0, \\-\frac{b}{2a}=-1, \\f(-1)=a-b+1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=2,\end{cases}$
所以$f(x)=x^2+2x+1$.
(2)因为$b=-2$,$f(0)=1$,所以二次函数$f(x)=ax^2-2x+1$,
其图象的对称轴为$x=\frac{1}{a} (a≠0)$.
①当$a＜0$时,$f(x)$的图象是开口向下的抛物线,且在区间$[0,2]$上单调递减,
所以当$x=2$时,$f(x)$取得最小值,即$f(x)_{\mathrm{min}}=f(2)=4a-3$;
②当$0＜\frac{1}{a}＜2$,即$a＞\frac{1}{2}$时,$f(x)$在区间$[0,\frac{1}{a}]$上单调递减,在区间$[\frac{1}{a},2]$上单调递增,
所以$f(x)_{\mathrm{min}}=f(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}+1=1-\frac{1}{a}$;
③当$\frac{1}{a}≥2$,即$0＜a≤\frac{1}{2}$时,$f(x)$的图象开口向上,且函数在区间$[0,2]$上单调递减,所以$f(x)_{\mathrm{min}}=f(2)=4a-3$.
综上所述,当$a＜0$或$0＜a≤\frac{1}{2}$时,$f(x)_{\mathrm{min}}=4a-3$;当$a＞\frac{1}{2}$时,$f(x)_{\mathrm{min}}=1-\frac{1}{a}$.
由题意,得$\begin{cases}a＞0, \\-\frac{b}{2a}=-1, \\f(-1)=a-b+1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=2,\end{cases}$
所以$f(x)=x^2+2x+1$.
(2)因为$b=-2$,$f(0)=1$,所以二次函数$f(x)=ax^2-2x+1$,
其图象的对称轴为$x=\frac{1}{a} (a≠0)$.
①当$a＜0$时,$f(x)$的图象是开口向下的抛物线,且在区间$[0,2]$上单调递减,
所以当$x=2$时,$f(x)$取得最小值,即$f(x)_{\mathrm{min}}=f(2)=4a-3$;
②当$0＜\frac{1}{a}＜2$,即$a＞\frac{1}{2}$时,$f(x)$在区间$[0,\frac{1}{a}]$上单调递减,在区间$[\frac{1}{a},2]$上单调递增,
所以$f(x)_{\mathrm{min}}=f(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}+1=1-\frac{1}{a}$;
③当$\frac{1}{a}≥2$,即$0＜a≤\frac{1}{2}$时,$f(x)$的图象开口向上,且函数在区间$[0,2]$上单调递减,所以$f(x)_{\mathrm{min}}=f(2)=4a-3$.
综上所述,当$a＜0$或$0＜a≤\frac{1}{2}$时,$f(x)_{\mathrm{min}}=4a-3$;当$a＞\frac{1}{2}$时,$f(x)_{\mathrm{min}}=1-\frac{1}{a}$.
