登录
14.【情境题】在古代中国，弓箭是战争中的武器之一，“弓箭”文化也是中国最古老的文化之一. 如图1是一种弓箭的箭头实物图，图2是其示意图. 若AB // GF，∠B = ∠F = 45°，∠C = ∠E = 20°，求∠D的度数. 
答案
∠D的度数是50°.
解析
【分析】
本题是结合传统文化情境的平行线应用类题目，属于常见的平行线拐点问题。解题思路如下：首先明确已知条件：$AB// GF$，$∠ B=∠ F=45°$，$∠ C=∠ E=20°$，要求$∠ D$的度数。遇到平行线间存在多个拐点的问题，我们可以通过过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，将已知角和未知角建立联系，再通过角的和差计算即可得到$∠ D$的度数。
【解析】
解：过点$C$作$CM// AB$，过点$E$作$EN// GF$。
$\because AB// GF$（已知），
$\therefore CM// AB// GF// EN$（平行线的传递性）。
$\therefore ∠ BCM=∠ B=45°$，$∠ FEN=∠ F=45°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ BCD=20°$，$∠ FED=20°$（已知），
$\therefore ∠ DCM=∠ BCM-∠ BCD=45°-20°=25°$，
$∠ DEN=∠ FEN-∠ FED=45°-20°=25°$。
又$\because CM// EN$，
$\therefore ∠ CDE=∠ DCM+∠ DEN=25°+25°=50°$。
【答案】
$∠ D$的度数是$50°$。
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；平行线的传递性
【点评】
本题将传统文化与几何知识结合，考查平行线拐点问题的解法，解题核心是合理构造辅助线，利用平行线的性质完成已知角和未知角的转化，熟练掌握平行线的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是结合传统文化情境的平行线应用类题目，属于常见的平行线拐点问题。解题思路如下：首先明确已知条件：$AB// GF$，$∠ B=∠ F=45°$，$∠ C=∠ E=20°$，要求$∠ D$的度数。遇到平行线间存在多个拐点的问题，我们可以通过过拐点作已知平行线的辅助线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，将已知角和未知角建立联系，再通过角的和差计算即可得到$∠ D$的度数。
【解析】
解：过点$C$作$CM// AB$，过点$E$作$EN// GF$。
$\because AB// GF$（已知），
$\therefore CM// AB// GF// EN$（平行线的传递性）。
$\therefore ∠ BCM=∠ B=45°$，$∠ FEN=∠ F=45°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ BCD=20°$，$∠ FED=20°$（已知），
$\therefore ∠ DCM=∠ BCM-∠ BCD=45°-20°=25°$，
$∠ DEN=∠ FEN-∠ FED=45°-20°=25°$。
又$\because CM// EN$，
$\therefore ∠ CDE=∠ DCM+∠ DEN=25°+25°=50°$。
【答案】
$∠ D$的度数是$50°$。
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；平行线的传递性
【点评】
本题将传统文化与几何知识结合，考查平行线拐点问题的解法，解题核心是合理构造辅助线，利用平行线的性质完成已知角和未知角的转化，熟练掌握平行线的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
15. 如图，已知$AB // CD$，$AE$和$DF$分别是$∠ BAD$和$∠ CDA$的平分线.
(1)求证:$AE // DF$.
(2)将题中$AE$和$DF$改为$∠ HAG$和$∠ CDA$的平分线，$AE$和$DF$有怎样的位置关系？证明你的结论.
(3)将题中$AE$和$DF$改为$∠ BAD$和$∠ KDA$的平分线呢？(直接写出结论)
(1)求证:$AE // DF$.
(2)将题中$AE$和$DF$改为$∠ HAG$和$∠ CDA$的平分线，$AE$和$DF$有怎样的位置关系？证明你的结论.
(3)将题中$AE$和$DF$改为$∠ BAD$和$∠ KDA$的平分线呢？(直接写出结论)
答案
(1)证明:
∵AB//CD,
∴∠BAD=∠ADC.
∵AE和DF分别是∠BAD和∠CDA的平分线,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠FDA=$\frac{1}{2}$∠CDA.
∴∠DAE=∠FDA.
∴AE//DF.
(2)解:AE//DF.
证明:
∵AB//CD,
∴∠HAG=∠CDA.
当AE和DF分别是∠HAG和∠CDA的平分线时,∠GAE=$\frac{1}{2}$∠HAG,∠FDA=$\frac{1}{2}$∠CDA,
∴∠GAE=∠FDA.
∴AE//DF.
(3)AE⊥DF.
∵AB//CD,
∴∠BAD=∠ADC.
∵AE和DF分别是∠BAD和∠CDA的平分线,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD,∠FDA=$\frac{1}{2}$∠CDA.
∴∠DAE=∠FDA.
∴AE//DF.
(2)解:AE//DF.
证明:
∵AB//CD,
∴∠HAG=∠CDA.
当AE和DF分别是∠HAG和∠CDA的平分线时,∠GAE=$\frac{1}{2}$∠HAG,∠FDA=$\frac{1}{2}$∠CDA,
∴∠GAE=∠FDA.
∴AE//DF.
(3)AE⊥DF.
解析
【分析】
(1)要证明AE//DF，可通过平行线的判定定理，找相等的内错角。首先利用AB//CD的性质得到∠BAD=∠CDA，再结合角平分线定义推出两个角的一半也相等，即∠DAE=∠FDA，即可证平行。
(2)判断AE和DF的位置关系仍从角的关系入手，先由AB//CD得到同位角∠HAG=∠CDA，结合角平分线定义得∠GAE=∠FDA，根据同位角相等即可证两直线平行。
(3)由AB//CD可得同旁内角∠BAD与∠KDA互补，结合角平分线定义可推出两个角平分线分出的角之和为90°，即可得到垂直关系。
【解析】
(1)证明：
∵$AB // CD$，
∴$∠BAD=∠ADC$（两直线平行，内错角相等）。
∵$AE$和$DF$分别是$∠BAD$和$∠CDA$的平分线，
∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠BAD$，$∠FDA=\frac{1}{2}∠CDA$，
∴$∠DAE=∠FDA$，
∴$AE // DF$（内错角相等，两直线平行）。
(2)$AE // DF$，证明如下：
∵$AB // CD$，
∴$∠HAG=∠CDA$（两直线平行，同位角相等）。
∵$AE$和$DF$分别是$∠HAG$和$∠CDA$的平分线，
∴$∠GAE=\frac{1}{2}∠HAG$，$∠FDA=\frac{1}{2}∠CDA$，
∴$∠GAE=∠FDA$，
∴$AE // DF$（同位角相等，两直线平行）。
(3)直接可得结论：$AE⊥DF$。
【答案】
(1)证明成立，$AE // DF$；
(2)$AE // DF$，证明见解析；
(3)$AE⊥DF$。
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的判定
【点评】
本题是平行线相关的典型变式题，围绕平行线的性质、判定和角平分线定义层层递进设置问题，核心考查平行关系和角的数量关系的互相转化，解题时准确识别角的位置关系是突破的关键。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AE//DF，可通过平行线的判定定理，找相等的内错角。首先利用AB//CD的性质得到∠BAD=∠CDA，再结合角平分线定义推出两个角的一半也相等，即∠DAE=∠FDA，即可证平行。
(2)判断AE和DF的位置关系仍从角的关系入手，先由AB//CD得到同位角∠HAG=∠CDA，结合角平分线定义得∠GAE=∠FDA，根据同位角相等即可证两直线平行。
(3)由AB//CD可得同旁内角∠BAD与∠KDA互补，结合角平分线定义可推出两个角平分线分出的角之和为90°，即可得到垂直关系。
【解析】
(1)证明：
∵$AB // CD$，
∴$∠BAD=∠ADC$（两直线平行，内错角相等）。
∵$AE$和$DF$分别是$∠BAD$和$∠CDA$的平分线，
∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠BAD$，$∠FDA=\frac{1}{2}∠CDA$，
∴$∠DAE=∠FDA$，
∴$AE // DF$（内错角相等，两直线平行）。
(2)$AE // DF$，证明如下：
∵$AB // CD$，
∴$∠HAG=∠CDA$（两直线平行，同位角相等）。
∵$AE$和$DF$分别是$∠HAG$和$∠CDA$的平分线，
∴$∠GAE=\frac{1}{2}∠HAG$，$∠FDA=\frac{1}{2}∠CDA$，
∴$∠GAE=∠FDA$，
∴$AE // DF$（同位角相等，两直线平行）。
(3)直接可得结论：$AE⊥DF$。
【答案】
(1)证明成立，$AE // DF$；
(2)$AE // DF$，证明见解析；
(3)$AE⊥DF$。
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的判定
【点评】
本题是平行线相关的典型变式题，围绕平行线的性质、判定和角平分线定义层层递进设置问题，核心考查平行关系和角的数量关系的互相转化，解题时准确识别角的位置关系是突破的关键。
【难度系数】
0.7
