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1.圭表测影
“立表测影”是中国天文传统之一，用来观察季节或时间。首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，第三是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间。如图所示，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AM$平分$∠ BAC$交$BC$于点$M$，$MD⊥ AC$于点$D$。
(1)若“表”$AB=6$，$AC=10$，求$CM$的长；
(2)连接$BD$，若$AM=CM$，判断$△ ABD$的形状，并说明理由。
“立表测影”是中国天文传统之一，用来观察季节或时间。首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，第三是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间。如图所示，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AM$平分$∠ BAC$交$BC$于点$M$，$MD⊥ AC$于点$D$。
(1)若“表”$AB=6$，$AC=10$，求$CM$的长；
(2)连接$BD$，若$AM=CM$，判断$△ ABD$的形状，并说明理由。
答案
1.解:(1)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,AC=10,
∴BC=√(AC²-AB²)=√(10²-6²)=8.
∵AM平分∠BAC,MD⊥AC,∠ABC=90°(MB⊥AB),
∴BM=MD.
设CM=x,则BM=8-x,MD=8-x.
∵S△ABC=S△ABM+S△ACM,S△ABC=1/2 AB×BC
=1/2×6×8=24,
S△ABM=1/2 AB×BM=1/2×6×(8-x),
S△ACM=1/2 AC×MD=1/2×10×(8-x),
∴1/2×6×(8-x)+1/2×10×(8-x)=24,
解得x=5,即CM=5.
(2)△ABD是等边三角形.理由如下:
∵AM=CM,
∴∠MAC=∠C.
又AM平分∠BAC,
∴∠BAM=∠MAC.
∴∠BAM=∠MAC=∠C.
在Rt△ABC中,∠BAM+∠MAC+∠C=90°,
∴∠BAM=∠MAC=∠C=30°,∠BAC=60°.
∵∠ABM=∠ADM=90°,BM=MD,AM=AM,
∴Rt△ABM≌Rt△ADM(HL).
∴AB=AD.
又∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴BC=√(AC²-AB²)=√(10²-6²)=8.
∵AM平分∠BAC,MD⊥AC,∠ABC=90°(MB⊥AB),
∴BM=MD.
设CM=x,则BM=8-x,MD=8-x.
∵S△ABC=S△ABM+S△ACM,S△ABC=1/2 AB×BC
=1/2×6×8=24,
S△ABM=1/2 AB×BM=1/2×6×(8-x),
S△ACM=1/2 AC×MD=1/2×10×(8-x),
∴1/2×6×(8-x)+1/2×10×(8-x)=24,
解得x=5,即CM=5.
(2)△ABD是等边三角形.理由如下:
∵AM=CM,
∴∠MAC=∠C.
又AM平分∠BAC,
∴∠BAM=∠MAC.
∴∠BAM=∠MAC=∠C.
在Rt△ABC中,∠BAM+∠MAC+∠C=90°,
∴∠BAM=∠MAC=∠C=30°,∠BAC=60°.
∵∠ABM=∠ADM=90°,BM=MD,AM=AM,
∴Rt△ABM≌Rt△ADM(HL).
∴AB=AD.
又∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形.
解析
【分析】
(1) 解题时首先在Rt△ABC中，已知AB和AC的长度，可先用勾股定理求出BC的长度。再结合AM是∠BAC的角平分线，且MB⊥AB、MD⊥AC，根据角平分线的性质可得BM=MD。此时可以通过△ABC的面积等于△ABM和△ACM的面积和建立等量关系，设CM为未知数列方程求解即可。
(2) 判断△ABD的形状时，先由AM=CM可得∠MAC=∠C，再结合角平分线的性质可推出∠BAM=∠MAC=∠C，在Rt△ABC中三个锐角和为90°，即可求出∠BAC=60°。再通过证明Rt△ABM≌Rt△ADM得到AB=AD，结合∠BAC=60°即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，
∴$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵AM平分∠BAC，MD⊥AC，∠ABC=90°（即MB⊥AB），
∴BM=MD。
设CM=x，则BM=8-x，MD=8-x。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ ACM}$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2} AB× BM=\frac{1}{2}×6×(8-x)$，
$S_{△ ACM}=\frac{1}{2} AC× MD=\frac{1}{2}×10×(8-x)$，
∴$\frac{1}{2}×6×(8-x)+\frac{1}{2}×10×(8-x)=24$，
解得x=5，即CM=5。
(2) $△ ABD$是等边三角形，理由如下：
∵AM=CM，
∴∠MAC=∠C。
又AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠MAC。
∴∠BAM=∠MAC=∠C。
在Rt△ABC中，∠BAM+∠MAC+∠C=90°，
∴∠BAM=∠MAC=∠C=30°，∠BAC=60°。
∵∠ABM=∠ADM=90°，BM=MD，AM=AM，
∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL）。
∴AB=AD。
又∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形。
【答案】
(1) $CM=5$；(2) $△ ABD$是等边三角形。
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；等边三角形的判定
【点评】
本题结合我国古代圭表测影的传统天文知识设置问题，实现了传统文化与数学知识的融合。题目侧重考查直角三角形、角平分线、全等三角形及特殊三角形判定的基础知识点，解题时需灵活利用面积法或全等性质寻找等量关系，能够较好地考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时首先在Rt△ABC中，已知AB和AC的长度，可先用勾股定理求出BC的长度。再结合AM是∠BAC的角平分线，且MB⊥AB、MD⊥AC，根据角平分线的性质可得BM=MD。此时可以通过△ABC的面积等于△ABM和△ACM的面积和建立等量关系，设CM为未知数列方程求解即可。
(2) 判断△ABD的形状时，先由AM=CM可得∠MAC=∠C，再结合角平分线的性质可推出∠BAM=∠MAC=∠C，在Rt△ABC中三个锐角和为90°，即可求出∠BAC=60°。再通过证明Rt△ABM≌Rt△ADM得到AB=AD，结合∠BAC=60°即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，
∴$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵AM平分∠BAC，MD⊥AC，∠ABC=90°（即MB⊥AB），
∴BM=MD。
设CM=x，则BM=8-x，MD=8-x。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ ACM}$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△ ABM}=\frac{1}{2} AB× BM=\frac{1}{2}×6×(8-x)$，
$S_{△ ACM}=\frac{1}{2} AC× MD=\frac{1}{2}×10×(8-x)$，
∴$\frac{1}{2}×6×(8-x)+\frac{1}{2}×10×(8-x)=24$，
解得x=5，即CM=5。
(2) $△ ABD$是等边三角形，理由如下：
∵AM=CM，
∴∠MAC=∠C。
又AM平分∠BAC，
∴∠BAM=∠MAC。
∴∠BAM=∠MAC=∠C。
在Rt△ABC中，∠BAM+∠MAC+∠C=90°，
∴∠BAM=∠MAC=∠C=30°，∠BAC=60°。
∵∠ABM=∠ADM=90°，BM=MD，AM=AM，
∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL）。
∴AB=AD。
又∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形。
【答案】
(1) $CM=5$；(2) $△ ABD$是等边三角形。
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；等边三角形的判定
【点评】
本题结合我国古代圭表测影的传统天文知识设置问题，实现了传统文化与数学知识的融合。题目侧重考查直角三角形、角平分线、全等三角形及特殊三角形判定的基础知识点，解题时需灵活利用面积法或全等性质寻找等量关系，能够较好地考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2.漏刻计时
漏刻是中国古代的一种计时工具，其工作原理主要是基于水位的均匀变化来显示时间.水从上面的漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而测得比较精确的时刻.小宇所在的兴趣小组复制了一个漏刻模型，下面是他们研究过程中记录的数据，其中y表示小棍露出的部分(单位:cm)，x表示时间(单位:min).
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并顺次连接各点；再确定符合实际的函数类型，求出相应的函数解析式；
(2)当小棍露出部分为7.4 cm时，求对应的时间x.
漏刻是中国古代的一种计时工具，其工作原理主要是基于水位的均匀变化来显示时间.水从上面的漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而测得比较精确的时刻.小宇所在的兴趣小组复制了一个漏刻模型，下面是他们研究过程中记录的数据，其中y表示小棍露出的部分(单位:cm)，x表示时间(单位:min).
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并顺次连接各点；再确定符合实际的函数类型，求出相应的函数解析式；
(2)当小棍露出部分为7.4 cm时，求对应的时间x.
答案
2.解:(1)描点,连线如图所示.
由图象可知,y(cm)是时间x(min)的一次函数,
故设y=kx+b(k≠0),
将(0,2),(10,2.6)代入函数解析式,
得$\begin{cases} b=2, \\ 10k+b=2.6, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\dfrac{3}{50}, \\ b=2. \end{cases}$
∴y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{3}{50}x+2$.
(2)当y=7.4 cm时,则有$\dfrac{3}{50}x+2=7.4$,
解得x=90.
故当小棍露出部分为7.4 cm时,对应的时间x为90 min.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先按要求描点连线，观察图像为直线，可判断y是x的一次函数，接下来用待定系数法求解析式：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，从图像中选取两个已知点坐标代入，解二元一次方程组得到k、b的值，即可确定函数解析式。解决第(2)问时，将$y=7.4$代入已求出的函数解析式，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到对应的时间x。
【解析】
(1) 按照记录的数据在坐标系中描点，顺次连接各点如图所示。
由图像可知y与x为一次函数关系，设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(0,2)$、$(10,2.6)$代入解析式得：
$\begin{cases} b=2 \\ 10k+b=2.6 \end{cases}$
将$b=2$代入第二个方程，解得$10k=0.6$，即$k=\dfrac{3}{50}$，因此可得$\begin{cases} k=\dfrac{3}{50} \\ b=2 \end{cases}$
所以y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{3}{50}x+2$。
(2) 当小棍露出部分$y=7.4\ \mathrm{cm}$时，将y代入解析式得：
$\dfrac{3}{50}x+2=7.4$
移项计算得$\dfrac{3}{50}x=5.4$，解得$x=90$。
【答案】
(1) 描点连线如图所示，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{50}x+2}$；
(2) 对应的时间x为$\boldsymbol{90\ \mathrm{min}}$。
【知识点】
一次函数应用；待定系数法；解一元一次方程
【点评】
本题结合中国古代漏刻计时的传统文化背景，考查一次函数在实际问题中的应用，解题核心是正确判断函数类型，用待定系数法求出解析式后代入求值，既考查数学基础能力，也体现了跨学科知识融合的特点。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，先按要求描点连线，观察图像为直线，可判断y是x的一次函数，接下来用待定系数法求解析式：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，从图像中选取两个已知点坐标代入，解二元一次方程组得到k、b的值，即可确定函数解析式。解决第(2)问时，将$y=7.4$代入已求出的函数解析式，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到对应的时间x。
【解析】
(1) 按照记录的数据在坐标系中描点，顺次连接各点如图所示
。由图像可知y与x为一次函数关系，设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(0,2)$、$(10,2.6)$代入解析式得：
$\begin{cases} b=2 \\ 10k+b=2.6 \end{cases}$
将$b=2$代入第二个方程，解得$10k=0.6$，即$k=\dfrac{3}{50}$，因此可得$\begin{cases} k=\dfrac{3}{50} \\ b=2 \end{cases}$
所以y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{3}{50}x+2$。
(2) 当小棍露出部分$y=7.4\ \mathrm{cm}$时，将y代入解析式得：
$\dfrac{3}{50}x+2=7.4$
移项计算得$\dfrac{3}{50}x=5.4$，解得$x=90$。
【答案】
(1) 描点连线如图所示
，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{50}x+2}$；(2) 对应的时间x为$\boldsymbol{90\ \mathrm{min}}$。
【知识点】
一次函数应用；待定系数法；解一元一次方程
【点评】
本题结合中国古代漏刻计时的传统文化背景，考查一次函数在实际问题中的应用，解题核心是正确判断函数类型，用待定系数法求出解析式后代入求值，既考查数学基础能力，也体现了跨学科知识融合的特点。
【难度系数】
0.8
