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7.已知正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是
k＜1
。答案
7.$k＜1$
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的图象性质：对于正比例函数$y=mx$（$m$为常数且$m≠0$），当$m＞0$时，图象经过第一、三象限；当$m＜0$时，图象经过第二、四象限。本题中给出的正比例函数比例系数为$k-1$，已知图象过第二、四象限，因此可推出比例系数小于0，列出不等式求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、四象限
∴该函数的比例系数小于0，即：
$k-1＜0$
移项解得：$k＜1$
【答案】
$k＜1$
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数比例系数的符号和图象所经象限的对应关系，只要牢记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆正比例函数的图象性质：对于正比例函数$y=mx$（$m$为常数且$m≠0$），当$m＞0$时，图象经过第一、三象限；当$m＜0$时，图象经过第二、四象限。本题中给出的正比例函数比例系数为$k-1$，已知图象过第二、四象限，因此可推出比例系数小于0，列出不等式求解即可得到$k$的取值范围。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、四象限
∴该函数的比例系数小于0，即：
$k-1＜0$
移项解得：$k＜1$
【答案】
$k＜1$
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数比例系数的符号和图象所经象限的对应关系，只要牢记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
8.若点A(4,y₁),B(6,y₂)都在函数$y=(-a^2 -1)x+2$的图象上,则y₁
＞
y₂.(选填“＞”或“＜”)答案
8.$＞$
解析
【分析】
解题时首先需要确定一次函数的比例系数k的符号：先利用平方的非负性推导$-a^2 -1$的正负，再根据一次函数的增减性规律，结合两个点横坐标的大小关系，就能比较出$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数$a$，都有$a^2≥0$，
∴ $-a^2≤0$，则$-a^2 -1≤ -1 ＜0$，
∴ 一次函数$y=(-a^2 -1)x+2$中，$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小，
又
∵ 点A、B的横坐标满足$4＜6$，
∴ $y_1 ＞ y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
平方的非负性；一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，解题核心是先判断函数的增减性，再结合自变量的大小关系比较函数值，熟练掌握一次函数增减性和k值的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先需要确定一次函数的比例系数k的符号：先利用平方的非负性推导$-a^2 -1$的正负，再根据一次函数的增减性规律，结合两个点横坐标的大小关系，就能比较出$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数$a$，都有$a^2≥0$，
∴ $-a^2≤0$，则$-a^2 -1≤ -1 ＜0$，
∴ 一次函数$y=(-a^2 -1)x+2$中，$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小，
又
∵ 点A、B的横坐标满足$4＜6$，
∴ $y_1 ＞ y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
平方的非负性；一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，解题核心是先判断函数的增减性，再结合自变量的大小关系比较函数值，熟练掌握一次函数增减性和k值的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
9. 下列函数:①$y=3x$;②$y=\frac{-7}{x}$;③$y=3x^2$;④$y=8x+1$,其中一次函数有
①④
,正比例函数有①
.(请填写序号)答案
9.①④ ①
解析
【分析】
解题时首先要回忆一次函数和正比例函数的定义，明确二者的关系：正比例函数是特殊的一次函数（即常数项为0的一次函数）。接下来逐个分析给出的4个函数，对照定义判断所属类型，最后分别归类得到结果。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数，叫做一次函数；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数，叫做正比例函数，本质是常数项$b=0$的特殊一次函数。
逐个判断函数类型：
① $y=3x$：符合$y=kx$（$k=3\ne0$，$b=0$），既是正比例函数，也是一次函数；
② $y=\frac{-7}{x}$：是反比例函数，不符合一次函数的形式，排除；
③ $y=3x^2$：自变量$x$的最高次数为2，是二次函数，排除；
④ $y=8x+1$：符合$y=kx+b$（$k=8\ne0$，$b=1$），属于一次函数，不是正比例函数。
因此一次函数有①④，正比例函数有①。
【答案】
①④；①
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，需要准确区分一次函数和正比例函数的特征，牢记二者的包含关系，判断时注意自变量的次数以及一次项系数不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆一次函数和正比例函数的定义，明确二者的关系：正比例函数是特殊的一次函数（即常数项为0的一次函数）。接下来逐个分析给出的4个函数，对照定义判断所属类型，最后分别归类得到结果。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k\ne0$）的函数，叫做一次函数；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数，叫做正比例函数，本质是常数项$b=0$的特殊一次函数。
逐个判断函数类型：
① $y=3x$：符合$y=kx$（$k=3\ne0$，$b=0$），既是正比例函数，也是一次函数；
② $y=\frac{-7}{x}$：是反比例函数，不符合一次函数的形式，排除；
③ $y=3x^2$：自变量$x$的最高次数为2，是二次函数，排除；
④ $y=8x+1$：符合$y=kx+b$（$k=8\ne0$，$b=1$），属于一次函数，不是正比例函数。
因此一次函数有①④，正比例函数有①。
【答案】
①④；①
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，需要准确区分一次函数和正比例函数的特征，牢记二者的包含关系，判断时注意自变量的次数以及一次项系数不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.9
10.某水果店销售某种水果，销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示.若王叔叔从该水果店一次性购买25 kg该种水果，需要付款
220
元. 答案
10.220
解析
【分析】
本题是一次函数在实际销售问题中的应用，解题思路如下：第一步先观察函数图像，获取已知信息：销售量10kg时销售额100元，销售量20kg时销售额180元；第二步可选择两种方法计算：方法一：先分别求出10kg以内的单价，以及超过10kg部分的单价，再根据25kg的销售量分段计算总费用；方法二：利用待定系数法求出销售量≥10kg时销售额y与销售量x的一次函数解析式，再将x=25代入解析式求出对应的y值即可。
【解析】
解法1：分段计算
由图像可知，10kg水果的销售额为100元，因此10kg及以内的水果单价为：
$100÷10=10$（元/kg）
超过10kg的部分，10kg（20kg-10kg）的销售额为$180-100=80$元，因此超出部分的单价为：
$80÷10=8$（元/kg）
购买25kg水果时，超出10kg的重量为$25-10=15$kg，总付款为：
$10×10 + 15×8=100+120=220$（元）
解法2：待定系数法求函数解析式
设当$x≥10$时，销售额y与销售量x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$
将点$A(10,100)$、$B(20,180)$代入解析式得：
$\begin{cases}10k+b=100\\20k+b=180\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$10k=80$，解得$k=8$
将$k=8$代入$10k+b=100$得：$80+b=100$，解得$b=20$
因此函数解析式为$y=8x+20(x≥10)$
当$x=25$时，$y=8×25+20=200+20=220$（元）
【答案】
220
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合生活中的销售计费问题，考查学生从函数图像中提取信息的能力，既可以通过分段计费的方式直接计算，也可以通过求函数解析式代入求解，解题的关键是理清不同销量对应的计费规则，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数在实际销售问题中的应用，解题思路如下：第一步先观察函数图像，获取已知信息：销售量10kg时销售额100元，销售量20kg时销售额180元；第二步可选择两种方法计算：方法一：先分别求出10kg以内的单价，以及超过10kg部分的单价，再根据25kg的销售量分段计算总费用；方法二：利用待定系数法求出销售量≥10kg时销售额y与销售量x的一次函数解析式，再将x=25代入解析式求出对应的y值即可。
【解析】
解法1：分段计算
由图像可知，10kg水果的销售额为100元，因此10kg及以内的水果单价为：
$100÷10=10$（元/kg）
超过10kg的部分，10kg（20kg-10kg）的销售额为$180-100=80$元，因此超出部分的单价为：
$80÷10=8$（元/kg）
购买25kg水果时，超出10kg的重量为$25-10=15$kg，总付款为：
$10×10 + 15×8=100+120=220$（元）
解法2：待定系数法求函数解析式
设当$x≥10$时，销售额y与销售量x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$
将点$A(10,100)$、$B(20,180)$代入解析式得：
$\begin{cases}10k+b=100\\20k+b=180\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$10k=80$，解得$k=8$
将$k=8$代入$10k+b=100$得：$80+b=100$，解得$b=20$
因此函数解析式为$y=8x+20(x≥10)$
当$x=25$时，$y=8×25+20=200+20=220$（元）
【答案】
220
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合生活中的销售计费问题，考查学生从函数图像中提取信息的能力，既可以通过分段计费的方式直接计算，也可以通过求函数解析式代入求解，解题的关键是理清不同销量对应的计费规则，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，直线$y=kx+b$经过点$A(-5,0),B(-1,4)$。
0| 10 20 x/kg
(1)求点D的坐标；
(2)求直线$CE:y=-2x-4$、直线AB及y轴围成图形的面积。
0| 10 20 x/kg
(1)求点D的坐标；
(2)求直线$CE:y=-2x-4$、直线AB及y轴围成图形的面积。
答案
11.解:(1)$\because$ 直线$y=kx+b$ 经过点$A(-5,0),B(-1,4),\therefore \begin{cases} -5k+b=0,\\ -k+b=4. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=1,\\ b=5. \end{cases}$
$\therefore y=x+5.$
当 $x=0$ 时,$y=5$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为$(0,5).$
(2)$\because$ 直线 $y=-2x-4$ 与直线 $AB$ 相交于点 $C$,
$\therefore \begin{cases} y=-2x-4,\\ y=x+5. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-3,\\ y=2. \end{cases}$ 故点 $C(-3,2).$
$\because$ 直线 $y=-2x-4$ 交 $y$ 轴于点 $E$,$\therefore E(0,-4).$
$\therefore$ 直线 $CE:y=-2x-4$、直线 $AB$ 及 $y$ 轴围成图形的面积为 $\frac{1}{2}DE|x_C|=\frac{1}{2}×9×3=\frac{27}{2}.$
$\therefore y=x+5.$
当 $x=0$ 时,$y=5$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为$(0,5).$
(2)$\because$ 直线 $y=-2x-4$ 与直线 $AB$ 相交于点 $C$,
$\therefore \begin{cases} y=-2x-4,\\ y=x+5. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-3,\\ y=2. \end{cases}$ 故点 $C(-3,2).$
$\because$ 直线 $y=-2x-4$ 交 $y$ 轴于点 $E$,$\therefore E(0,-4).$
$\therefore$ 直线 $CE:y=-2x-4$、直线 $AB$ 及 $y$ 轴围成图形的面积为 $\frac{1}{2}DE|x_C|=\frac{1}{2}×9×3=\frac{27}{2}.$
解析
【分析】
(1) 点D是直线AB与y轴的交点，首先需要用待定系数法求出直线AB的解析式：将已知的A、B两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组得到$k$和$b$的值，再令$x=0$计算对应的$y$值，即可得到D点坐标。
(2) 求两条直线与y轴围成图形的面积，首先确定围成图形的三个顶点：联立两条直线的解析式解方程组得到交点C的坐标；分别令两条直线解析式中$x=0$，得到两条直线与y轴的交点D、E。该图形为三角形，底是D、E两点在y轴上的距离$DE$，高是C点横坐标的绝对值（底在y轴上，水平距离即为高），代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 直线$y=kx+b$经过点$A(-5,0)$、$B(-1,4)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} -5k+b=0\\ -k+b=4 \end{cases}$
两式相减得$4k=4$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-5k+b=0$得$b=5$，因此直线AB的解析式为$y=x+5$。
点D是直线AB与y轴的交点，令$x=0$，得$y=0+5=5$，因此点D的坐标为$(0,5)$。
(2) 联立直线CE和直线AB的解析式求交点C：
$\begin{cases} y=-2x-4\\ y=x+5 \end{cases}$
联立得$x+5=-2x-4$，解得$x=-3$，代入$y=x+5$得$y=2$，因此点C坐标为$(-3,2)$。
直线$y=-2x-4$与y轴的交点E：令$x=0$，得$y=-4$，因此E点坐标为$(0,-4)$。
围成的三角形底$DE=|5-(-4)|=9$，高为$|x_C|=|-3|=3$，因此面积为：
$S=\frac{1}{2} × DE × |x_C|=\frac{1}{2} ×9 ×3=\frac{27}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,5)}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{27}{2}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点计算，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的常规综合题型，解题核心是先求出相关直线的解析式，再通过联立方程、求坐标轴交点得到对应点坐标，结合图形特征选择简便的面积计算方法，计算时注意坐标符号不要出错。
【难度系数】
0.7
(1) 点D是直线AB与y轴的交点，首先需要用待定系数法求出直线AB的解析式：将已知的A、B两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组得到$k$和$b$的值，再令$x=0$计算对应的$y$值，即可得到D点坐标。
(2) 求两条直线与y轴围成图形的面积，首先确定围成图形的三个顶点：联立两条直线的解析式解方程组得到交点C的坐标；分别令两条直线解析式中$x=0$，得到两条直线与y轴的交点D、E。该图形为三角形，底是D、E两点在y轴上的距离$DE$，高是C点横坐标的绝对值（底在y轴上，水平距离即为高），代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$ 直线$y=kx+b$经过点$A(-5,0)$、$B(-1,4)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} -5k+b=0\\ -k+b=4 \end{cases}$
两式相减得$4k=4$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-5k+b=0$得$b=5$，因此直线AB的解析式为$y=x+5$。
点D是直线AB与y轴的交点，令$x=0$，得$y=0+5=5$，因此点D的坐标为$(0,5)$。
(2) 联立直线CE和直线AB的解析式求交点C：
$\begin{cases} y=-2x-4\\ y=x+5 \end{cases}$
联立得$x+5=-2x-4$，解得$x=-3$，代入$y=x+5$得$y=2$，因此点C坐标为$(-3,2)$。
直线$y=-2x-4$与y轴的交点E：令$x=0$，得$y=-4$，因此E点坐标为$(0,-4)$。
围成的三角形底$DE=|5-(-4)|=9$，高为$|x_C|=|-3|=3$，因此面积为：
$S=\frac{1}{2} × DE × |x_C|=\frac{1}{2} ×9 ×3=\frac{27}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,5)}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{27}{2}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点计算，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的常规综合题型，解题核心是先求出相关直线的解析式，再通过联立方程、求坐标轴交点得到对应点坐标，结合图形特征选择简便的面积计算方法，计算时注意坐标符号不要出错。
【难度系数】
0.7
12.小刚家的水龙头坏了,一直滴水.他发现22时以后由于水压变高,滴水速度变快了,到了次日7时滴水速度又变慢了,于是他分不同的时段统计了滴水量如下表:
表1 7时到22时
表2 22时到次日7时
试写出V关于t的函数解析式,并据此估算小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量.
表1 7时到22时
表2 22时到次日7时
试写出V关于t的函数解析式,并据此估算小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量.
答案
12.解:7 时到 22 时:$V_1=5t(t≥0)$;22 时到次日 7 时:$V_2=8t(t≥0).$
$\therefore V=V_1+V_2=5×60×15+8×60×9=8\ 820(\mathrm{mL}).$
$\therefore$ 小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为 8 820 mL.
$\therefore V=V_1+V_2=5×60×15+8×60×9=8\ 820(\mathrm{mL}).$
$\therefore$ 小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为 8 820 mL.
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察到两个时段滴水速度均保持恒定，因此滴水量与滴水时间成正比例函数关系。第一步先计算两个时段的总时长：7时到22时共15小时，22时到次日7时共9小时；第二步结合统计数据得到两个时段的滴水速度分别为5mL/分钟、8mL/分钟，分别写出两个时段V关于t的正比例函数解析式；第三步统一时间单位，将两个时段的总时长代入对应解析式计算漏水量，求和即可得到一天的总漏水量。
【解析】
解：首先计算两个滴水时段的时长：
7时到22时的时长：$22 - 7 = 15$（小时）
22时到次日7时的时长：$24 - 22 + 7 = 9$（小时）
根据匀速滴水的规律，两个时段滴水量$V$与滴水时间$t$（单位：分钟）均为正比例函数关系：
① 7时到22时，滴水速度为5mL/分钟，函数解析式为：$V_1 = 5t\ (t≥0)$
② 22时到次日7时，滴水速度为8mL/分钟，函数解析式为：$V_2 = 8t\ (t≥0)$
计算一天总漏水量，先将时长换算为分钟：
总漏水量$V = V_1 + V_2 = 5×60×15 + 8×60×9 = 4500 + 4320 = 8820\ (\mathrm{mL})$
【答案】
7时到22时：$V_1=5t(t≥0)$；22时到次日7时：$V_2=8t(t≥0)$；一天漏水量为8820 mL
【知识点】
1. 正比例函数应用
2. 分段函数
3. 有理数运算
【点评】
本题结合生活中的漏水场景命题，考查学生将实际问题转化为函数模型的能力，解题核心是明确不同时段的速度与对应时长，注意统一单位即可顺利求解，也能让学生意识到节约用水的重要性。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察到两个时段滴水速度均保持恒定，因此滴水量与滴水时间成正比例函数关系。第一步先计算两个时段的总时长：7时到22时共15小时，22时到次日7时共9小时；第二步结合统计数据得到两个时段的滴水速度分别为5mL/分钟、8mL/分钟，分别写出两个时段V关于t的正比例函数解析式；第三步统一时间单位，将两个时段的总时长代入对应解析式计算漏水量，求和即可得到一天的总漏水量。
【解析】
解：首先计算两个滴水时段的时长：
7时到22时的时长：$22 - 7 = 15$（小时）
22时到次日7时的时长：$24 - 22 + 7 = 9$（小时）
根据匀速滴水的规律，两个时段滴水量$V$与滴水时间$t$（单位：分钟）均为正比例函数关系：
① 7时到22时，滴水速度为5mL/分钟，函数解析式为：$V_1 = 5t\ (t≥0)$
② 22时到次日7时，滴水速度为8mL/分钟，函数解析式为：$V_2 = 8t\ (t≥0)$
计算一天总漏水量，先将时长换算为分钟：
总漏水量$V = V_1 + V_2 = 5×60×15 + 8×60×9 = 4500 + 4320 = 8820\ (\mathrm{mL})$
【答案】
7时到22时：$V_1=5t(t≥0)$；22时到次日7时：$V_2=8t(t≥0)$；一天漏水量为8820 mL
【知识点】
1. 正比例函数应用
2. 分段函数
3. 有理数运算
【点评】
本题结合生活中的漏水场景命题，考查学生将实际问题转化为函数模型的能力，解题核心是明确不同时段的速度与对应时长，注意统一单位即可顺利求解，也能让学生意识到节约用水的重要性。
【难度系数】
0.7
