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13. 在平面直角坐标系中，对于点 $ P(x,y) $ 和 $ Q(x,y') $，给出如下定义：若 $ y' = \begin{cases} y & (x ≥ 0), \\ -y & (x ＜ 0), \end{cases} $ 则称点 $ Q $ 为点 $ P $ 的“可控变点”。
(1)点$(-3,4)$的“可控变点”的坐标为
(2)若点$N(m,2)$是函数$y=x-1$图象上点$M$的“可控变点”，则点$M$的坐标为
(1)点$(-3,4)$的“可控变点”的坐标为
(-3,-4)
；(2)若点$N(m,2)$是函数$y=x-1$图象上点$M$的“可控变点”，则点$M$的坐标为
(3,2),(-1,-2)
。答案
13.(1)$(-3,-4)$ (2)$(3,2),(-1,-2)$
解析
【分析】
解题首先要准确理解“可控变点”的定义：横坐标不变，纵坐标根据横坐标的正负判断，若横坐标非负，纵坐标不变；若横坐标为负，纵坐标变为原纵坐标的相反数。
(1) 先判断给定点的横坐标符号，直接套用定义计算即可得到可控变点坐标。
(2) 可控变点和原点点横坐标相同，因此点M的横坐标也为m，分m≥0和m＜0两种情况，结合可控变点的纵坐标反推点M的纵坐标，再利用点M在一次函数图象上，代入函数解析式求出m的值，即可得到点M的坐标，注意要检验m的取值是否符合对应分类的范围。
【解析】
(1) 已知点坐标为$(-3,4)$，横坐标$x=-3＜0$，根据“可控变点”的定义，$y'=-y=-4$，因此该点的可控变点坐标为$(-3,-4)$。
(2) 由“可控变点”的定义可知，点M的横坐标与点N的横坐标相同，均为$m$，设点M的坐标为$(m, y)$。
① 当$m≥0$时，$y'=y=2$，即点M的纵坐标为2。
因为点M在函数$y=x-1$的图象上，将$x=m, y=2$代入解析式得：$2=m-1$，解得$m=3$，符合$m≥0$的前提，此时点M的坐标为$(3,2)$。
② 当$m＜0$时，$y'=-y=2$，解得$y=-2$，即点M的纵坐标为-2。
将$x=m, y=-2$代入解析式得：$-2=m-1$，解得$m=-1$，符合$m＜0$的前提，此时点M的坐标为$(-1,-2)$。
综上，点M的坐标为$(3,2)$或$(-1,-2)$。
【答案】
(1) $\boxed{(-3,-4)}$；(2) $\boxed{(3,2)}$、$\boxed{(-1,-2)}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 一次函数点坐标特征
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解给定的变换规则，解题时注意根据横坐标的正负分类讨论，避免漏解，能够很好地考察信息提取能力和分类讨论的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要准确理解“可控变点”的定义：横坐标不变，纵坐标根据横坐标的正负判断，若横坐标非负，纵坐标不变；若横坐标为负，纵坐标变为原纵坐标的相反数。
(1) 先判断给定点的横坐标符号，直接套用定义计算即可得到可控变点坐标。
(2) 可控变点和原点点横坐标相同，因此点M的横坐标也为m，分m≥0和m＜0两种情况，结合可控变点的纵坐标反推点M的纵坐标，再利用点M在一次函数图象上，代入函数解析式求出m的值，即可得到点M的坐标，注意要检验m的取值是否符合对应分类的范围。
【解析】
(1) 已知点坐标为$(-3,4)$，横坐标$x=-3＜0$，根据“可控变点”的定义，$y'=-y=-4$，因此该点的可控变点坐标为$(-3,-4)$。
(2) 由“可控变点”的定义可知，点M的横坐标与点N的横坐标相同，均为$m$，设点M的坐标为$(m, y)$。
① 当$m≥0$时，$y'=y=2$，即点M的纵坐标为2。
因为点M在函数$y=x-1$的图象上，将$x=m, y=2$代入解析式得：$2=m-1$，解得$m=3$，符合$m≥0$的前提，此时点M的坐标为$(3,2)$。
② 当$m＜0$时，$y'=-y=2$，解得$y=-2$，即点M的纵坐标为-2。
将$x=m, y=-2$代入解析式得：$-2=m-1$，解得$m=-1$，符合$m＜0$的前提，此时点M的坐标为$(-1,-2)$。
综上，点M的坐标为$(3,2)$或$(-1,-2)$。
【答案】
(1) $\boxed{(-3,-4)}$；(2) $\boxed{(3,2)}$、$\boxed{(-1,-2)}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 一次函数点坐标特征
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解给定的变换规则，解题时注意根据横坐标的正负分类讨论，避免漏解，能够很好地考察信息提取能力和分类讨论的应用能力。
【难度系数】
0.7
14.（跨学科融合）在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛同时点燃.甲蜡烛燃烧时剩余的长度$y$(单位:cm)与燃烧时间$x$(单位:h)之间的关系为$y=-16x+32$，其图象如图所示，乙蜡烛点燃前的长度为24 cm，点燃1 h时两根蜡烛剩余的长度相同.
(1)甲蜡烛点燃前的长度是
(2)求乙蜡烛燃烧时剩余的长度$y$(单位:cm)与燃烧时间$x$(单位:h)之间的函数解析式，并在图示坐标系中画出该函数的图象；
(3)请通过计算说明哪根蜡烛先燃尽，并求出此时另一根蜡烛还剩余多长.
(1)甲蜡烛点燃前的长度是
32
cm，从点燃到燃尽所用的时间是2
h；(2)求乙蜡烛燃烧时剩余的长度$y$(单位:cm)与燃烧时间$x$(单位:h)之间的函数解析式，并在图示坐标系中画出该函数的图象；
(3)请通过计算说明哪根蜡烛先燃尽，并求出此时另一根蜡烛还剩余多长.
答案
14.(1)32 2
(2)解:乙蜡烛点燃前的长度为 24 cm,1 h 时两根蜡烛剩余长度相同,
$\therefore$ 把 $x=1$ 代入 $y=-16x+32$,得 $y=16.$
由题意,设乙蜡烛燃烧时剩余的长度 $y$ 与燃烧时间 $x$ 之间的函数解析式为 $y=kx+24(k≠0),$
把$(1,16)$代入解析式,得 $16=k+24.$ 解得 $k=-8.$ $\therefore y=-8x+24.$ 作图如图所示。
(3)解:乙蜡烛燃烧时剩余的长度 $y$ 与燃烧时间 $x$ 之间的函数解析式为 $y=-8x+24,$
令 $y=0$,则$-8x+24=0.$ 解得 $x=3＞2.$
由(1),可知甲蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是 2 h,
当 $x=2$ 时,$-8x+24=-8×2+24=8(\mathrm{cm}),$
$\therefore$ 甲蜡烛先燃尽,此时另一根蜡烛还剩余 8 cm.
解析
【分析】
(1) 蜡烛点燃前的长度对应燃烧时间$x=0$时的剩余长度，直接代入甲的函数解析式即可求解；蜡烛燃尽时剩余长度$y=0$，代入甲的解析式解方程即可得到甲的燃尽时间。
(2) 乙蜡烛点燃前长度为24cm，说明$x=0$时$y=24$，因此可设乙的函数解析式为$y=kx+24(k≠0)$。根据“点燃1h时两根蜡烛剩余长度相同”，先将$x=1$代入甲的解析式求出此时的剩余长度，再将该点坐标代入乙的解析式求出$k$，即可得到乙的函数解析式；画图像时找到函数与坐标轴的两个交点，连接两点即可。
(3) 令乙的解析式中$y=0$，求出乙的燃尽时间，和甲的燃尽时间比较，数值更小的蜡烛先燃尽；再将先燃尽的时间代入另一根蜡烛的解析式，求出的$y$值就是剩余长度。
【解析】
(1) 对于甲蜡烛的函数$y=-16x+32$：
当$x=0$时，$y=32$，即甲蜡烛点燃前的长度为32cm；
当$y=0$时，$0=-16x+32$，解得$x=2$，即甲蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是2h。
(2) 设乙蜡烛燃烧时剩余长度$y$与燃烧时间$x$的函数解析式为$y=kx+24(k≠0)$。
将$x=1$代入甲的解析式得：$y=-16×1+32=16$，即$x=1$时乙蜡烛的剩余长度为16cm。
把点$(1,16)$代入$y=kx+24$，得$16=k+24$，解得$k=-8$。
因此乙的函数解析式为$y=-8x+24$，取点$(0,24)$和$(3,0)$连接即可画出对应图像。
(3) 对于乙的解析式$y=-8x+24$，令$y=0$，得$0=-8x+24$，解得$x=3$。
因为$3＞2$，所以甲蜡烛先燃尽。
当$x=2$时，代入乙的解析式得：$y=-8×2+24=8(\mathrm{cm})$，即此时乙蜡烛剩余8cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32}$；$\boldsymbol{2}$
(2) 乙蜡烛的函数解析式为$\boldsymbol{y=-8x+24}$，图象如下：
(3) 甲蜡烛先燃尽，此时另一根蜡烛还剩余$\boldsymbol{8\mathrm{cm}}$。
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、一次函数图像
【点评】
本题结合蜡烛燃烧的生活场景考查一次函数的实际应用，要求学生理解一次函数自变量和因变量的实际意义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，能结合函数解析式解决实际问题，侧重基础知识的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 蜡烛点燃前的长度对应燃烧时间$x=0$时的剩余长度，直接代入甲的函数解析式即可求解；蜡烛燃尽时剩余长度$y=0$，代入甲的解析式解方程即可得到甲的燃尽时间。
(2) 乙蜡烛点燃前长度为24cm，说明$x=0$时$y=24$，因此可设乙的函数解析式为$y=kx+24(k≠0)$。根据“点燃1h时两根蜡烛剩余长度相同”，先将$x=1$代入甲的解析式求出此时的剩余长度，再将该点坐标代入乙的解析式求出$k$，即可得到乙的函数解析式；画图像时找到函数与坐标轴的两个交点，连接两点即可。
(3) 令乙的解析式中$y=0$，求出乙的燃尽时间，和甲的燃尽时间比较，数值更小的蜡烛先燃尽；再将先燃尽的时间代入另一根蜡烛的解析式，求出的$y$值就是剩余长度。
【解析】
(1) 对于甲蜡烛的函数$y=-16x+32$：
当$x=0$时，$y=32$，即甲蜡烛点燃前的长度为32cm；
当$y=0$时，$0=-16x+32$，解得$x=2$，即甲蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是2h。
(2) 设乙蜡烛燃烧时剩余长度$y$与燃烧时间$x$的函数解析式为$y=kx+24(k≠0)$。
将$x=1$代入甲的解析式得：$y=-16×1+32=16$，即$x=1$时乙蜡烛的剩余长度为16cm。
把点$(1,16)$代入$y=kx+24$，得$16=k+24$，解得$k=-8$。
因此乙的函数解析式为$y=-8x+24$，取点$(0,24)$和$(3,0)$连接即可画出对应图像。
(3) 对于乙的解析式$y=-8x+24$，令$y=0$，得$0=-8x+24$，解得$x=3$。
因为$3＞2$，所以甲蜡烛先燃尽。
当$x=2$时，代入乙的解析式得：$y=-8×2+24=8(\mathrm{cm})$，即此时乙蜡烛剩余8cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32}$；$\boldsymbol{2}$
(2) 乙蜡烛的函数解析式为$\boldsymbol{y=-8x+24}$，图象如下：
(3) 甲蜡烛先燃尽，此时另一根蜡烛还剩余$\boldsymbol{8\mathrm{cm}}$。
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、一次函数图像
【点评】
本题结合蜡烛燃烧的生活场景考查一次函数的实际应用，要求学生理解一次函数自变量和因变量的实际意义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，能结合函数解析式解决实际问题，侧重基础知识的应用。
【难度系数】
0.7
