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1.如图24.1.2-3，已知$\odot O$的直径$AB\perp CD$于点E，则下列结论不一定正确的是 (
A.$CE = DE$
B.$AE = OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$\triangle OCE\cong\triangle ODE$
]
B
)A.$CE = DE$
B.$AE = OE$
C.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
D.$\triangle OCE\cong\triangle ODE$
]
答案
1.B
解析
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB\perp CD$于点E，
∴根据垂径定理，$CE=DE$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，故A、C正确；
在$\triangle OCE$和$\triangle ODE$中，
$\left\{\begin{array}{l} OC=OD \\ CE=DE \\ OE=OE \end{array}\right.$，
∴$\triangle OCE\cong\triangle ODE$（SSS），故D正确；
AE与OE的关系无法确定，故B不一定正确。
答案：B
∵AB是$\odot O$的直径，$AB\perp CD$于点E，
∴根据垂径定理，$CE=DE$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，故A、C正确；
在$\triangle OCE$和$\triangle ODE$中，
$\left\{\begin{array}{l} OC=OD \\ CE=DE \\ OE=OE \end{array}\right.$，
∴$\triangle OCE\cong\triangle ODE$（SSS），故D正确；
AE与OE的关系无法确定，故B不一定正确。
答案：B
2.如图24.1.2-4，在半径为5cm的$\odot O$中，弦$AB = 6cm$，$OC\perp AB$于点C，则$OC =$
]
4cm
.]
答案
2.4cm
解析
解：连接 $OA$，则 $OA = 5\,cm$。
因为 $OC \perp AB$，所以 $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\,cm$。
在 $Rt\triangle OAC$ 中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\,cm$。
4cm
因为 $OC \perp AB$，所以 $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\,cm$。
在 $Rt\triangle OAC$ 中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\,cm$。
4cm
3.如图24.1.2-5所示，AB是$\odot O$的直径，$\angle BAC = 42^{\circ}$，点D是弦AC的中点，求$\angle DOC$的度数.
]
]
答案
3.解:因为O为圆心,D为弦AC的中点，所以根据垂径定理的推论可知，OD⊥AC，即∠ODC=90°.又因为∠BAC=42°,OA=OC,所以∠OCD=∠BAC=42°,所以∠DOC=180°−∠ODC−∠OCD=180°−90°−42°=48°.
解析
解:因为O为圆心，D为弦AC的中点，所以OD⊥AC，即∠ODC=90°。
因为OA=OC，所以∠OCA=∠BAC=42°。
在△ODC中，∠DOC=180°-∠ODC-∠OCA=180°-90°-42°=48°。
故∠DOC的度数为48°。
因为OA=OC，所以∠OCA=∠BAC=42°。
在△ODC中，∠DOC=180°-∠ODC-∠OCA=180°-90°-42°=48°。
故∠DOC的度数为48°。
【例1】如图24.1.2-6，M是CD的中点，$EM\perp CD$，若$CD = 4$，$EM = 8$，则$\overset{\frown}{CED}$所在圆的半径为
思考1：$EM\perp CD$，M是CD的中点图24.1.2-6点，EM经过圆心O吗？由垂径定理你能得到什么结论？
思考2：若设$\odot O$的半径长为x，你能用x表示出OM吗？
思考3：连接OC，得到的$\triangle OMC$是什么三角形？能得到什么相等关系？
【一题多变】
1.若已知圆的半径是5，$EM = 8$，则$CD =$
2.若已知圆的半径是5，$CD = 6$，则$OM =$
$\frac{17}{4}$
.思考1：$EM\perp CD$，M是CD的中点图24.1.2-6点，EM经过圆心O吗？由垂径定理你能得到什么结论？
思考2：若设$\odot O$的半径长为x，你能用x表示出OM吗？
思考3：连接OC，得到的$\triangle OMC$是什么三角形？能得到什么相等关系？
【一题多变】
1.若已知圆的半径是5，$EM = 8$，则$CD =$
8
.2.若已知圆的半径是5，$CD = 6$，则$OM =$
4
.答案
【例1】$\frac{17}{4}$【一题多变】1.8 2.4
解析
例1
解：设$\odot O$的半径为$x$。
∵$M$是$CD$的中点，$EM\perp CD$，
∴$EM$经过圆心$O$（垂径定理），$CM=\frac{1}{2}CD=2$。
∵$EM=8$，
∴$OM=EM-OE=8-x$。
连接$OC$，则$OC=x$，在$Rt\triangle OMC$中：
$OC^2=OM^2+CM^2$，即$x^2=(8-x)^2+2^2$。
解得$x=\frac{17}{4}$。
一题多变
1. 解：设$OM=y$，半径$OC=5$，$EM=8$，则$OE=5$，$OM=EM-OE=8-5=3$。
在$Rt\triangle OMC$中，$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$CD=2CM=8$。
2. 解：
∵$CD=6$，
∴$CM=3$，半径$OC=5$。
在$Rt\triangle OMC$中，$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
答案：例1 $\frac{17}{4}$；一题多变 1. $8$；2. $4$
解：设$\odot O$的半径为$x$。
∵$M$是$CD$的中点，$EM\perp CD$，
∴$EM$经过圆心$O$（垂径定理），$CM=\frac{1}{2}CD=2$。
∵$EM=8$，
∴$OM=EM-OE=8-x$。
连接$OC$，则$OC=x$，在$Rt\triangle OMC$中：
$OC^2=OM^2+CM^2$，即$x^2=(8-x)^2+2^2$。
解得$x=\frac{17}{4}$。
一题多变
1. 解：设$OM=y$，半径$OC=5$，$EM=8$，则$OE=5$，$OM=EM-OE=8-5=3$。
在$Rt\triangle OMC$中，$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$CD=2CM=8$。
2. 解：
∵$CD=6$，
∴$CM=3$，半径$OC=5$。
在$Rt\triangle OMC$中，$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
答案：例1 $\frac{17}{4}$；一题多变 1. $8$；2. $4$
垂径定理基本图形的四变量、两关系
1.四变量：如图24.1.2-7，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(弓形高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个.
2.两关系：
(1)$(\frac{a}{2})^2 + d^2 = r^2$；
(2)$h + d = r$.
1.四变量：如图24.1.2-7，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(弓形高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个.
2.两关系：
(1)$(\frac{a}{2})^2 + d^2 = r^2$；
(2)$h + d = r$.
答案
垂径定理基本图形中四变量关系如下：
1. 四变量：弦长$a$，圆心到弦的距离$d$，半径$r$，弓形高$h$。
2. 两关系：
(1)$(\frac{a}{2})^2 + d^2 = r^2$；
(2)$h + d = r$。
已知任意两个变量，可通过上述两关系联立方程求解其余两个变量。
1. 四变量：弦长$a$，圆心到弦的距离$d$，半径$r$，弓形高$h$。
2. 两关系：
(1)$(\frac{a}{2})^2 + d^2 = r^2$；
(2)$h + d = r$。
已知任意两个变量，可通过上述两关系联立方程求解其余两个变量。
1.如图24.1.2-8，在$\odot O$中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，$OD = 13cm$，$AB = 24cm$，则$CD =$
]
8
$cm$.]
答案
1.8
解析
解：连接OA。
∵OD⊥AB，AB=24cm，
∴AC=BC=12cm。
∵OD=13cm，
∴OA=OD=13cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
OC=$\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$cm。
∴CD=OD-OC=13-5=8cm。
答案：8
∵OD⊥AB，AB=24cm，
∴AC=BC=12cm。
∵OD=13cm，
∴OA=OD=13cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
OC=$\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$cm。
∴CD=OD-OC=13-5=8cm。
答案：8
2.如图24.1.2-9，AB，CD都是$\odot O$的弦，且$AB// CD$，求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
思考1：利用垂径定理，在圆中作出什么辅助线可以得到等弧？说明理由.
思考2：如图24.1.2-10，同一条直线上的两线段AB，BC有数量关系$AB + BC = AC$，那么同一圆弧上的两段弧$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{AC}$有什么关系？
]
思考1：利用垂径定理，在圆中作出什么辅助线可以得到等弧？说明理由.
思考2：如图24.1.2-10，同一条直线上的两线段AB，BC有数量关系$AB + BC = AC$，那么同一圆弧上的两段弧$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{AC}$有什么关系？
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答案
2.证明:如答图24.1.2−1,过点O作EF⊥CD于点M,交AB于点N,交⊙O于点E,F.因为EF⊥CD,所以$\widehat{CF}=\widehat{DF}$.因为AB//CD,所以EF⊥AB,所以$\widehat{AF}=\widehat{BF}$.所以$\widehat{AF}-\widehat{CF}=\widehat{BF}-\widehat{DF}$,即$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.
解析
证明:如答图24.1.2−1,过点O作EF⊥CD于点M,交AB于点N,交⊙O于点E,F.
因为EF⊥CD,所以$\widehat{CF}=\widehat{DF}$.
因为AB//CD,所以EF⊥AB,所以$\widehat{AF}=\widehat{BF}$.
所以$\widehat{AF}-\widehat{CF}=\widehat{BF}-\widehat{DF}$,即$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.
思考1：过圆心作两条平行弦的垂线，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得到等弧。
思考2：同一圆弧上的两段弧$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{AC}$的关系是$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$（当点B在$\overset{\frown}{AC}$上时）。
因为EF⊥CD,所以$\widehat{CF}=\widehat{DF}$.
因为AB//CD,所以EF⊥AB,所以$\widehat{AF}=\widehat{BF}$.
所以$\widehat{AF}-\widehat{CF}=\widehat{BF}-\widehat{DF}$,即$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.
思考1：过圆心作两条平行弦的垂线，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得到等弧。
思考2：同一圆弧上的两段弧$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{AC}$的关系是$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$（当点B在$\overset{\frown}{AC}$上时）。
