2.如图24.1.2-11，在$\odot O$中，AB为$\odot O$的弦，C，D是直线AB上的两点，且$AC = BD$.求证：$\triangle OCD$是等腰三角形.
]

2.证明:过点O作OM⊥AB,垂足为M .因为OM⊥AB，所以AM=BM.又因为AC=BD,所以CM=DM.又因为OM⊥AB,所以OM是CD的垂直平分线，所以OC=OD,所以△OCD为等腰三角形.

证明:过点$O$作$OM \perp AB$，垂足为$M$。
因为$OM \perp AB$，所以$AM = BM$。
又因为$AC = BD$，所以$AC + AM = BD + BM$，即$CM = DM$。
又因为$OM \perp AB$，所以$OM$是$CD$的垂直平分线，
所以$OC = OD$，
因此$\triangle OCD$是等腰三角形。

【例3】如图24.1.2-12，秋千链子的长度为3m，静止时踏板到地面的距离为0.5m，摆到最大高度时踏板距地面2m.试问：当秋千摆动时，踏板前后摆动的最大距离为多少米？(秋千踏板的大小忽略不计)
思考1：把实际问题转化为垂径定理模型后，踏板前后摆动的最大距离相当于圆中什么元素？
思考2：题目中秋千链子的长度可转化为圆的的长.
思考3：由思考1和思考2可知，此题是知半径，求弦长，所以解决问题的关键是得到什么元素的长度？
解：

解:如答图24.1.2−2,设秋千链子的上端固定于点A处，静止时踏板位于点D处，秋千踏板摆动到最高位置时，踏板位于点B处或点C处.连接BC,交AD于点E,则BC⊥AD.在Rt△ABE中,AB=3m,AE=3+0.5−2=1.5(m).所以$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$m.所以$BC=2BE=3\sqrt{3}$m.
答:秋千摆动时，踏板前后摆动的最大距离为$3\sqrt{3}$m.

3.如图24.1.2-13，水平放置的圆柱形排水管的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，求排水管内水的深度.
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3.解:排水管内水的深度为0.8m.

解：设圆柱形排水管的截面圆心为$O$，过$O$作$OC \perp AB$于$C$，交$\odot O$于$D$，连接$OA$。
$\because AB = 0.8m$，$\therefore AC=\frac{1}{2}AB = 0.4m$。
$\because$直径为$1m$，$\therefore OA=\frac{1}{2}m = 0.5m$。
在$Rt\triangle OAC$中，$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{0.5^{2}-0.4^{2}} = 0.3m$。
当水面在圆心下方时，水的深度为$OD - OC=0.5 - 0.3=0.2m$；当水面在圆心上时，水的深度为$OD + OC=0.5 + 0.3=0.8m$。
由图可知水面在圆心下方，故排水管内水的深度为$0.2m$。
1

1.下列说法正确的是 ()

A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心

1.D