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4. 分解因式:$(3n+1)^{2}-25=$.
答案
$3(n+2)(3n-4)$
解析
$(3n+1)^2-25=(3n+1)^2-5^2=(3n+1+5)(3n+1-5)=(3n+6)(3n-4)=3(n+2)(3n-4)$
5. 分解因式:
(1)$9x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}$;
(2)$(x+2y)^{2}-9z^{2}$;
(3)$(x+2y)^{2}-(x-y)^{2}$.
(1)$9x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}$;
(2)$(x+2y)^{2}-9z^{2}$;
(3)$(x+2y)^{2}-(x-y)^{2}$.
答案
(1)
解：原式$=(3x)^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2}$
$=(3x+\frac{1}{2}y)(3x - \frac{1}{2}y)$
(2)
解：原式$=(x + 2y)^{2}-(3z)^{2}$
$=(x+2y + 3z)(x+2y-3z)$
(3)
解：原式$=[(x + 2y)+(x - y)][(x + 2y)-(x - y)]$
$=(x+2y+x - y)(x+2y-x + y)$
$=(2x+y)×3y$
$=3y(2x + y)$
解：原式$=(3x)^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2}$
$=(3x+\frac{1}{2}y)(3x - \frac{1}{2}y)$
(2)
解：原式$=(x + 2y)^{2}-(3z)^{2}$
$=(x+2y + 3z)(x+2y-3z)$
(3)
解：原式$=[(x + 2y)+(x - y)][(x + 2y)-(x - y)]$
$=(x+2y+x - y)(x+2y-x + y)$
$=(2x+y)×3y$
$=3y(2x + y)$
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是().
A.$x^{2}+y^{2}$
B.$-a^{2}-b^{2}$
C.$x^{3}-y^{2}$
D.$a^{2}-b^{2}$
A.$x^{2}+y^{2}$
B.$-a^{2}-b^{2}$
C.$x^{3}-y^{2}$
D.$a^{2}-b^{2}$
答案
D
解析
平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，要求多项式是两个平方项的差。
选项A：$x^2 + y^2$是两平方项的和，不能用平方差公式分解。
选项B：$-a^2 - b^2 = - (a^2 + b^2)$，是两平方项和的相反数，不能用平方差公式分解。
选项C：$x^3 - y^2$，其中一项是三次项，不是平方项，不能用平方差公式分解。
选项D：$a^2 - b^2$是两个平方项的差，可以用平方差公式分解为$(a + b)(a - b)$。
选项A：$x^2 + y^2$是两平方项的和，不能用平方差公式分解。
选项B：$-a^2 - b^2 = - (a^2 + b^2)$，是两平方项和的相反数，不能用平方差公式分解。
选项C：$x^3 - y^2$，其中一项是三次项，不是平方项，不能用平方差公式分解。
选项D：$a^2 - b^2$是两个平方项的差，可以用平方差公式分解为$(a + b)(a - b)$。
2. 分解因式$(x-1)^{2}-9$,结果是().
A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
答案
D
解析
原式 $(x-1)^{2} - 9$ 可以看作是平方差的形式，即 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$。
在这里，$a = (x-1)$，$b = 3$。
代入平方差公式，得到：
$(x-1)^{2} - 9 = (x-1 + 3)(x-1 - 3) = (x+2)(x-4)$
在这里，$a = (x-1)$，$b = 3$。
代入平方差公式，得到：
$(x-1)^{2} - 9 = (x-1 + 3)(x-1 - 3) = (x+2)(x-4)$
3. 分解因式:
(1)$1-m^{2}=$;
(2)$4a^{2}-1=$;
(3)$9x^{2}-y^{2}=$.
(1)$1-m^{2}=$;
(2)$4a^{2}-1=$;
(3)$9x^{2}-y^{2}=$.
答案
(1)$(1 + m)(1 - m)$
(2)$(2a + 1)(2a - 1)$
(3)$(3x + y)(3x - y)$
(2)$(2a + 1)(2a - 1)$
(3)$(3x + y)(3x - y)$
解析
(1) 对于 $1 - m^{2}$，可以将其视为 $1^{2} - m^{2}$，根据平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，代入$a=1, b=m$，可得：
$1 - m^{2} = (1 + m)(1 - m)$；
(2) 对于 $4a^{2} - 1$，可以将其视为 $(2a)^{2} - 1^{2}$，根据平方差公式，代入$a=2a, b=1$，可得：
$4a^{2} - 1 = (2a + 1)(2a - 1)$；
(3) 对于 $9x^{2} - y^{2}$，可以将其视为 $(3x)^{2} - y^{2}$，根据平方差公式，代入$a=3x, b=y$，可得：
$9x^{2} - y^{2} = (3x + y)(3x - y)$；
$1 - m^{2} = (1 + m)(1 - m)$；
(2) 对于 $4a^{2} - 1$，可以将其视为 $(2a)^{2} - 1^{2}$，根据平方差公式，代入$a=2a, b=1$，可得：
$4a^{2} - 1 = (2a + 1)(2a - 1)$；
(3) 对于 $9x^{2} - y^{2}$，可以将其视为 $(3x)^{2} - y^{2}$，根据平方差公式，代入$a=3x, b=y$，可得：
$9x^{2} - y^{2} = (3x + y)(3x - y)$；
4. 分解因式:
(1)$16-x^{2}$;
(2)$4x^{2}-25y^{2}$;
(3)$(a+b)^{2}-c^{2}$.
(1)$16-x^{2}$;
(2)$4x^{2}-25y^{2}$;
(3)$(a+b)^{2}-c^{2}$.
答案
(1) $16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 + x)(4 - x)$
(2) $4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x + 5y)(2x - 5y)$
(3) $(a + b)^2 - c^2 = [(a + b) + c][(a + b) - c] = (a + b + c)(a + b - c)$
(2) $4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x + 5y)(2x - 5y)$
(3) $(a + b)^2 - c^2 = [(a + b) + c][(a + b) - c] = (a + b + c)(a + b - c)$
5. 利用因式分解计算:
(1)$101^{2}-99^{2}$;
(2)$2025^{2}-2024^{2}$.
(1)$101^{2}-99^{2}$;
(2)$2025^{2}-2024^{2}$.
答案
(1)
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对于$101^{2}-99^{2}$，其中$a = 101$，$b = 99$。
则$101^{2}-99^{2}=(101 + 99)(101 - 99)$
$=(200)×(2)$
$=400$
(2)
同样根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对于$2025^{2}-2024^{2}$，其中$a = 2025$，$b = 2024$。
则$2025^{2}-2024^{2}=(2025 + 2024)(2025 - 2024)$
$=(4049)×(1)$
$=4049$
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对于$101^{2}-99^{2}$，其中$a = 101$，$b = 99$。
则$101^{2}-99^{2}=(101 + 99)(101 - 99)$
$=(200)×(2)$
$=400$
(2)
同样根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对于$2025^{2}-2024^{2}$，其中$a = 2025$，$b = 2024$。
则$2025^{2}-2024^{2}=(2025 + 2024)(2025 - 2024)$
$=(4049)×(1)$
$=4049$
6. 将$(x+3)^{2}-(x-1)^{2}$分解因式,正确的是().
A.$8(x-1)$
B.$4(2x+1)$
C.$4(x+1)$
D.$8(x+1)$
A.$8(x-1)$
B.$4(2x+1)$
C.$4(x+1)$
D.$8(x+1)$
答案
D
解析
原式 $(x+3)^{2} - (x-1)^{2}$ 可以运用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ 分解。
设 $a = x + 3$，$b = x - 1$，
则原式 $= (x+3 + x-1)(x+3 - (x-1))$
$= (2x + 2)(4)$
$= 8(x + 1)$。
设 $a = x + 3$，$b = x - 1$，
则原式 $= (x+3 + x-1)(x+3 - (x-1))$
$= (2x + 2)(4)$
$= 8(x + 1)$。
7. 下列单项式中,使多项式$16a^{2}+M$能用平方差公式分解因式的$M$是().
A.$a$
B.$b^{2}$
C.$-16a$
D.$-b^{2}$
A.$a$
B.$b^{2}$
C.$-16a$
D.$-b^{2}$
答案
D
解析
根据平方差公式$A^{2}-B^{2}=(A + B)(A - B)$，对于多项式$16a^{2}+M$（这里可变形为$16a^{2}-(-M)$），要能用平方差公式分解因式，则$16a^{2}$和$-M$都应该是能开尽方的数或式。
因为$16a^{2}=(4a)^{2}$，当$-M = b^{2}$即$M=-b^{2}$时，$16a^{2}+M = 16a^{2}-b^{2}=(4a + b)(4a - b)$。
因为$16a^{2}=(4a)^{2}$，当$-M = b^{2}$即$M=-b^{2}$时，$16a^{2}+M = 16a^{2}-b^{2}=(4a + b)(4a - b)$。
8. 对任意整数$n,(2n+1)^{2}-25$都能().
A.被3整除
B.被4整除
C.被5整除
D.被6整除
A.被3整除
B.被4整除
C.被5整除
D.被6整除
答案
B
解析
原式 $(2n + 1)^2 - 25$ 可以运用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 分解。
这里，$a = 2n + 1$，$b = 5$，所以：
$(2n + 1)^2 - 25 = (2n + 1 + 5)(2n + 1 - 5) = (2n + 6)(2n - 4)=2(n + 3) × 2(n - 2)=4(n + 3)(n - 2)$。
因为4是该表达式的因数，所以对于任意整数$n$，原式都能被4整除。
这里，$a = 2n + 1$，$b = 5$，所以：
$(2n + 1)^2 - 25 = (2n + 1 + 5)(2n + 1 - 5) = (2n + 6)(2n - 4)=2(n + 3) × 2(n - 2)=4(n + 3)(n - 2)$。
因为4是该表达式的因数，所以对于任意整数$n$，原式都能被4整除。
9. 计算:$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+···+2^{2}-1=$.
答案
5050
解析
原式可以利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 进行分解。
$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \ldots + 2^2 - 1$
$= (100 + 99)(100 - 99) + (98 + 97)(98 - 97) + \ldots + (2 + 1)(2 - 1)$
$= 100 + 99 + 98 + 97 + \ldots + 2 + 1$
这是一个等差数列，首项为1，末项为100，项数为100。
等差数列求和公式为 $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，其中 $n$ 是项数，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是末项。
$S = \frac{100 × (1 + 100)}{2} = 5050$
$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \ldots + 2^2 - 1$
$= (100 + 99)(100 - 99) + (98 + 97)(98 - 97) + \ldots + (2 + 1)(2 - 1)$
$= 100 + 99 + 98 + 97 + \ldots + 2 + 1$
这是一个等差数列，首项为1，末项为100，项数为100。
等差数列求和公式为 $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，其中 $n$ 是项数，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是末项。
$S = \frac{100 × (1 + 100)}{2} = 5050$
